Pertinence d'une reformulation des PFD ?

[stefjm]

Merci.
Je n'arrive pas à comprendre comment mon premier calcul implique cette rigidité et ce référentiel particulier.
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[gts2]

Cela vient de votre interprétation de comme accélération de Coriolis, ce qui implique que est la vitesse relative et la vitesse de rotation du référentiel.

[stefjm]

D'accord, ce n'est pas le calcul en lui même.
Et du coup, ce référentiel tourne à variable puisqu'il y a accélération?

[gts2]

Et du coup, ce référentiel tourne à variable puisqu'il y a accélération?

En prenant le cas général, oui.

[OnlineMeteo]

J'ai pu lire un peu le livre de Stommel (Yale, M.I.T, WoodsHole) sur la force de Coriolis.

Il confirme que pour la géophysique [et pour Mr Coriolis], la force de Coriolis est liée à une dynamique particulière. La dynamique est analogue à des liaisons ressorts reliés à un centre, subissant l'effet centrifuge, également analogue à une combinaison de liaisons rigides. L'effet centrifuge doit être expliqué, il faut faire tourner la force centripète, c'est là que tout n'est pas simple.

La complexité est que cette force de Coriolis a la même expression que la 2e force d'inertie de changement de repère qui est une "force de Coriolis" purement virtuelle. Sans la dynamique précédente, tout se résout bien a priori par le PFD dans le repère galiléen.

On le sait, 99% des cours de mécanique exposent la force de Coriolis comme 2e force d'inertie de changement de repère, avec notamment les ballons lancés au-dessus d'un plateau, ce qui ne permet en fait pas de comprendre la géophysique [ni les écrits de Mr Coriolis].

[OnlineMeteo]

Puisque le sujet est mort, j'aimerais rappeler la formulation quasi-originale (avec traduction française) de Newton pour prouver que contester une formulation du PFD n'implique pas contester Newton.

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D'après Newton, la 3e loi n'implique pas forcément des forces au même sens que les forces de la 2nde loi.

Ceci est un détail important sachant que la loi action-réaction donne une action centrifuge réactive à l'action centripète, qui peut sous certaines conditions ne pas être une force motrice de la 2nde loi.

[gts2]

D'après Newton, la 3e loi n'implique pas forcément des forces au même sens que les forces de la 2nde loi... la loi action-réaction donne une action centrifuge réactive à l'action centripète, qui peut sous certaines conditions ne pas être une force motrice de la 2nde loi.

Il faudrait être plus précis :
- quelles conditions ?
- quelle force autre que 2nde loi ?
- un exemple ...

[OnlineMeteo]

J'ai déjà fait un topic sur la vraie force de Coriolis dans un continuum de matière avec liaisons, qui donne les pistes de réflexion.

Je veux juste ici dédramatiser l'idée de contredire des formulations du PFD, à savoir qu'on peut contredire ces formulations sans contredire Newton.
Comme j'ai bien lu, il y a un courant du XXIe siècle de vouloir re-comprendre ce que disait Newton.

"Over the last few years a resurgence of Newtonian studies has led to a deeper understanding of several aspects of his Philosophiae naturalis principia mathematica." (Bertoloni Meli, 2006)

De plus, je répète que contredire des formulations du PFD est probablement important que pour des cas très précis. Il n'y a rien de forcément révolutionnaire.

[Nekama]

Si on raisonne en termes d'action-réaction, il est nécessaire de prendre en compte une réaction à la force centrifuge dans certains cas. Par exemple, dans le cas d'un cylindre creux en rotation autour de son axe avec un objet plaqué par la force centrifuge sur le cylindre, il faut introduire une réaction à la force centrifuge.

C'est "irritant" dans ce contexte de parler de "force fictive" et du principe de "réaction à de forces d'actions", ce que la force centrifuge n'est pas censé être.
On sort la "tête haute" en supprimant la causalité (ce qui est pertinent) et en parlant d'interactions.

[stefjm]

On sort la "tête haute" en supprimant la causalité (ce qui est pertinent) et en parlant d'interactions.

Pour la causalité, les "vraies" forces sont des causes, car par intégration on obtient des variation de vitesse. C'est une causalité intégrale qui ne souffre d'aucun débat.
Les forces d'inerties sont obtenues comme conséquence de vitesse par dérivation. La causalité dérivée est beaucoup plus problématique, en particulier en commande de procédé, qui ne la reconnait pas comme causalité.

Au sens bondgraph, une force vraie est une source parfaite de tension et une vitesse imposée est une source parfaite de flux qui va générer une tension induite : une force d'inertie.

[gts2]

Par exemple, dans le cas d'un cylindre creux en rotation autour de son axe avec un objet plaqué par la force centrifuge sur le cylindre, il faut introduire une réaction à la force centrifuge.

Pourquoi introduire une force centrifuge sur l'objet : celui-ci est soumis à deux forces, son poids et l'action du cylindre avec une composante tangentielle et une centripète.
La force subie par le cylindre de la part de l'objet a une composante centrifuge et une tangentielle (l'opposé de l'action du cylindre sur l'objet).

[stefjm]

Pourquoi introduire une force centrifuge sur l'objet : celui-ci est soumis à deux forces, son poids et l'action du cylindre avec une composante tangentielle et une centripète.

Je n'avais jamais fait attention à un point qui me gène désormais.
La composante tangentielle provoquerait une accélération angulaire ce qui est contredit par la vitesse constante constante du cylindre et de l'objet.
Il y aurait aussi une puissance non nulle Force tangentielle * vitesse tangentielle.

[gts2]

Personne empêche la composante tangentielle d'être nulle (c'est juste la décomposition usuelle de la réaction d'un support), celle-ci est non nulle lors du démarrage.

Si le cylindre est vertical, il faut bien une force tangentielle pour compenser le poids.

[stefjm]

Ok, et cette composante tangentielle opposé au poids ne travaille pas lors de la rotation.

[Nekama]

Pourquoi introduire une force centrifuge sur l'objet : celui-ci est soumis à deux forces, son poids et l'action du cylindre avec une composante tangentielle et une centripète.
La force subie par le cylindre de la part de l'objet a une composante centrifuge et une tangentielle (l'opposé de l'action du cylindre sur l'objet).

Si on se met dans le référentiel du cylindre, 4 forces agissent sur l'objet :
- Le poids (et il tombe en glissant ?)
- Non car il y a force centrifuge qui agit sur l'objet (et lui même qui -action- pousse sur le cylindre)
- En conséquence, la réaction du cylindre sur l'objet ;
- La force de frottement (que l'on met ou non dans la réaction; c'est selon)

Et tu dis la même chose ici : "La force subie par le cylindre de la part de l'objet a une composante centrifuge"
Le cylindre subit une force centrifuge (notamment).

[gts2]

Si on se met dans le référentiel du cylindre.

J'avais oublié le titre de la discussion : "Pertinence d'une reformulation des PFD ?"
Dans ce cadre, les forces centrifuges sont des forces comme les autres et il n'y a pas de problème (le tout est d'arriver à formuler tout cela).

Et tu dis la même chose ici : "La force subie par le cylindre de la part de l'objet a une composante centrifuge"

Oui, c'est une tautologie, par le 3ieme principe s'il y a une force centripète, il y a une force centrifuge.

[Amanuensis]

Si vous voulez étudier le cas d'un cylindre tournant, faut commencer par le cas en l'absence de toute gravitation, et avec vitesse de rotation constante.

Ainsi il n'y a pas de "poids" (au sens de la gravitation), ni de "force "tangentielle".

Dans le référentiel du cylindre, une personne placée à la surface intérieure est dans une situation assez comparable à la surface d'une planète, au premier ordre. Et on peut se poser la question de la "physique" que la personne va développer, dont le PFD.

En première approche, la personne va appliquer le PFD.

Et d'entrée on est confronté avec des difficultés de vocabulaire. Le mot "poids" par exemple.

Par analogie, deux forces (et deux seulement) agissent sur la personne, en première analyse.

- une poussée centripète du support
- une "force centrifuge"

Cette dernière est présentée très couramment comme venant de la 3ème loi, et est comprise comme l'homologue du poids.

Donc dire qu'elle subit son poids et la force centrifuge est impropre, ou au minimum source de confusion.

Autre difficulté: par homologie "haut" et "centripète" désigne la même direction, celle de la verticale orientée à l'opposé de la poussée exercée par le support.

Prenons maintenant la "force centrifuge", sa "nature" ou sa "cause".

Le support (la paroi du cylindre) exerce une poussée (contact de deux corps ne s'interprénétrant pas). Elle est, par géométrie, centripète (simple constat). Par application du PFD, la personne étant immobile dans le référentiel choisi, elle est compensée par une autre force, qui est par géométrie contrifuge. Mais c'est une simple force de contact, dont la causalité est la non pénétration entre solides, rien d'autre.

Dès qu'on associe le terme de "force centrifuge" à l'idée de la rotation du cylindre, le terme devient très ambigu, et donc source de confusion!

Autrement dit, la force de réaction est bien géométriquement centrifuge, ce n'est pas du tout la "force fictive" dont il est question dans les référentiels en rotation.

Il y a donc à bien regarder TROIS "forces" à étudier:

- la poussée du support sur la personne (centripète)
- la poussée de la personne sur le support (centrifuge)
- une "force d'inertie" (la "force fictive"), centrifuge.

J'arrête là, pour que la distinction soit "absorbée", et qu'on se mette d'accord pour utiliser une terminologie évitant la confusion.

[gts2]

Si vous voulez étudier le cas d'un cylindre tournant, faut commencer par le cas en l'absence de toute gravitation, et avec vitesse de rotation constante.

C'est une dérive de ma part : j'avais oublié le titre de la discussion.
On peut supprimer (si nécessaire) #41 #43 #45.

[OnlineMeteo]

Je me permets de dire quelque chose. Sur ce terrain compliqué des forces d'inertie, lire les explications de la vraie force de Coriolis pour vous en convaincre, qui sont réellement compliquées, il faut etre prudent sur les affirmations.

Sur ce problème de l'objet intérieur plaqué sur le cylindre, l'action de l'inertie est déjà prise en compte par la force "géométriquement centrifuge" appliquée par l'objet sur le cylindre. Je ne vois pas pourquoi il faudrait chercher une autre force d'inertie suivant des équations de changement de référentiel. Les équations de changement de référentiel doivent etre utilisées uniquement s'il manque une force centrifuge initiale, à mon avis. Ici, je pense que meme sans connaitre le concept de liaison, l'étude dans le référentiel galiléen donne la solution. La "réaction du support" est la théorie standard pour s'éviter de rentrer dans le concept de liaison.

Par contre, le concept de liaison est intéressant dès qu'on n'arrive plus à identifier une réaction du support, notamment dans les continuum de matière, ce qui correspond à d'autres cas.

[Amanuensis]

Je ne vois pas pourquoi il faudrait chercher une autre force d'inertie suivant

Pas grave. Vous n'avez qu'à ne pas lire mes messages.

[Amanuensis]

Suite des explications, pas si compliquées que cela.

Donc, dans le cas d'immobilité relativement au cylindre, on a deux forces, la poussée verticale du support sur les pieds, et la réaction, c'est à dire la poussée des pieds sur le cylindre. une centrifuge, l'autre centripète.

Que faire de la "force centrifuge" au sens "usuel"? Et pourquoi la traite-t-on de "fictive" ?

La première remarque est que la formule est évidemment correcte, et qu'elle donne une vraie force. Mais il s'agit de la force centripète, changée de signe! La centripète est la force qui entraîne la personne dans le mouvement de rotation, même rôle que la fronde qui fait tourner le projectile.

L'autre, la "force fictive" n'est pas une force. Et cela est lié à la confusion. Une autre terminologie est "accélération centrifuge", ou encore "accélération centrifuge d'entraînement".

Ce n'est pas une force, et n'a aucune raison de respecter la troisième loi. Et elle ne la respecte pas, l'accélération centrifuge n'a pas de "réaction". C'est l'une des raisons de la traiter de "fictive"

Comme passe-t-on d'une accélération à l'idée de force (l'idée, pas la chose)? En multipliant par la masse de l'objet. Ainsi, l'accélération est réelle, mais la "force", obtenue par ce calcul, est fictive.

Et si le point de la première partie a été compris, il devrait être clair qu'on ne "ressent" pas la force fictive, mais seulement la poussée sous les pieds (centripète). Et la réaction des pieds sur support est une force réelle, centrifuge (vers le bas).

Qu'est-ce que cela signifie pour le PFD? Eh bien qu'il faut modifier la deuxième loi, en rajoutant l'accélération d'entraînement, tout en comprenant que ce n'est pas une force. Donc

F = m (a - P(X))

où P dépend du lieu (relatif au référentiel) mais pas de l'objet, et que cela ne s'applique que si la vitesse relative au référentiel est nulle. Le signe négatif est pour le bon signe en faisant passer le terme "à gauche", côté des "forces".

Dans un référentiel inertiel, P est nulle partout.

Nouvel arrêt...

(La suite introduira Coriolis (et c'est simple), et le but est la formulation à la Cartan, version simplifiée (oublions la torsion!). Mais pas à pas.)

[Amanuensis]

PS:

Je dois expliciter un point : avec la formulation proposée, la force centrifuge réelle ne s'exerce pas sur la personne, mais sur le support! Dans le cas étudié, l'application à la personne, le terme F ne contient qu'une seule force, la poussée du support sur la personne.

[Amanuensis]

Pas de réaction, pas de question?

Soit cela n'intéresse personne (nul, pas clair, ne répond pas au sujet, "on ne voit pas l'intérêt", ...), soit (rêvons), c'est clair.

Quoi qu'il en soit, je continue...

Suite, la chute libre

Continuons à travailler en "physicien de paillasse", en expérimentateur. Après le cas statique (immobilité relativement au référentiel), et avant le cas général, voyons le cas de la chute libre, F=0.

Dans le cylindre, lâchons un objet initialement immobile. À ce moment initial, le PFD modifié s'applique, F = m(a-P(X)) = 0, donc a = -mP(X). L'objet tombe, avec une accélération initiale non nulle, orientée centrifuge (vers le bas). (Plus proprement axifuge, mais gardons la terminologie usuelle.)

Mais l'observation montre que rapidement sa vitesse n'est plus centrifuge, il y a une composante tangentielle. Il y a donc une composante tangentielle qui est apparue dans l'accélération, et cela demande une modification du PFD.

Il s'agit, dans le cas du cylindre, de l'accélération de Coriolis, mais on va généraliser d'entrée, ce qui évite le calcul du cas particulier d'une rotation pure.

Là encore, on rencontre le concept de "force de Coriolis", mais c'est la même "astuce" que pour la "force centrifuge". L'accélération est réelle, mais multiplier par m et passer côté force dans le PFD ne "fabrique" qu'une "force" fictive.

D'où vient ce terme? L'idée la plus simple est la bonne : de la vitesse relative au référentiel.

Deuxième idée la plus simple, c'est une fonction linéaire de la vitesse. La modification du PFD est alors

F = m(a - P(X) - C(X, V))

Où X est la position dans le référentiel, V la vitesse relative au référentiel, et V -> C(X, X) une fonction vectorielle linéaire en V.

Pour une fonction C particulière (calcul de Coriolis), cela rend compte parfaitement du mouvement de chute libre dans le cylindre.

Généralsation

Le cas étudié est stationnaire, au sens où les champs P(X) et C(X, .) sont constants dans le temps. Cela est homologue au cas sur Terre, mais n'a rien de général. Par exemple cela ne s'applique pas lors du démarrage ou l'arrêt de la rotation du cylindre. La modification est simple :

F(t) = m(a(t) - P(t, X) - C(t, X, V))

F(t) la force réelle
P(t, X) un champ vectoriel d'accélération
C(t, X, .) un champ de fonctions vectorielles linéaires en leur troisième argument
a(t) l'accélération relative au référentiel (ou "en coordonnées")

Les référentiels inertiels ont une caractérisation directe et simple : P et C sont partout nulles.

Voilà. C'est tout et c'est général. C'est la reformulation recherchée, celle proposée par Elie Cartan.

Elle ne change rien aux lois de Newton, c'est juste une formulation différente.

Elle a une propriété majeure: elle est formellement stable par changement entre référentiels quelconques, au sens qu'on trouve P' et C' (pour un référentiel) à partir de P et C (d'un autre référentiel) par des formules qu'on obtient à partir des formules de changement de référentiel pour les coordonnés des événements.


À suivre... (Argumentation de comment "y voir un intérêt".)

[gts2]

Pas de réaction, pas de question ?
Soit cela n'intéresse personne (nul, pas clair, ne répond pas au sujet, "on ne voit pas l'intérêt", ...), soit (rêvons), c'est clair.

Moi cela m'intéresse (j'avais bien aimé le texte sur la pesanteur), j'attends donc le dernier épisode...

[Amanuensis]

Suite : Argumentation sur l'intérêt de modifier la formulation des lois de Newton

Cette argumentation va se diviser en deux parties : en se limitant à la mécanique de Newton, ou en allant plus loin.

Car ce n'était pas vraiment le but d'Elie Cartan que de réécrire Newton. La formulation alternative ne répond pas à un "besoin" criant, preuve en est qu'on continue à enseigner la formulation en terme de forces, qui date de la fin du XVIIème, et beaucoup s'en satisfont.

Le but de Cartan est la théorie de la gravitation, et le passage à la relativité générale. Çà, c'est "aller plus loin"...

Commençons par l'aspect limité.

Comme les approches sont équivalentes quant aux prédictions, les seuls arguments sont subjectifs et portent sur des points non physiques, comme l'enseignement, la clarté conceptuelle, etc.

Je ne vais donc présenter que ma vision, subjective, du sujet.

En gros, je trouve l'approche à la Cartan conceptuellement plus claire, moins source de confusions genre "forces fictives". Je considère l'approche usuelle (centrée sur la notion de force) datée (fin XVIIème...), et prenant un chemin qui rend l'abord des théories modernes (essentiellement la RG) plus difficile.

Je pense que vu des élèves, elle est aussi simple que l'approche datée.

Par contre elle est plus difficile pour les enseignants, comme à chaque fois qu'il est question de transmission de savoirs: il est plus facile d'enseigner "comme on l'a appris" qu'autrement. C'est assez général, et explique bien d'autres cas dans l'enseignement en général.

Pour moi c'est le passage à la RG, qui ne concerne qu'une toute petite partie des enseignés, qui est l'argument pertinent. Seulement il est assez "élitiste", au sens où justement la RG n'intéresse qu'une minorité, est "difficile", et peu (pas?) utile en pratique.

Fin de mon point de vue, et place éventuellement à un débat (constructif si possible), qui ne peut être qu'un débat d'opinions (donc sans conclusion).

========

La suite sera sur la gravitation, et la "connexion" (concept mathématique avancé), puisque cela va suivre Cartan! On y retrouvera des considérations déjà présentes dans mon vieux texte sur la pesanteur.

Pour le sujet du fil, je pourrais m'arrêter là, car il me semble que cela propose une réponse complète à la question de Nekama (et dans le sens des réponses initiales, #3 de ThM55 et #4 de Mach3).

La prochaine partie sera donc plus compliquée (tant conceptuellement que côté mathématiques, mais je vais essayer de viser le simple sans tomber dans le simplisme, exercice délicat ; en particulier pas d'excursion sur la torsion non nulle, comme dans le message #5), et un peu hors sujet, d'un certain point de vue (pas du mien).

Mach3 (en tant que modérateur) pourrait avoir un avis différent sur la poursuite du fil.

[mach3]

Mach3 (en tant que modérateur) pourrait avoir un avis différent sur la poursuite du fil.

A moins que Nekama ne considère cela comme un détournement de son fil, je ne vois pas d'inconvénient à la poursuite de cet exposé très intéressant.

m@ch3

[Nekama]

Aucun détournement. C'est très intéressant.

[Amanuensis]

Etape suivante : la connexion

Caveat lector, là on passe à la vitesse supérieure, considérer cela comme une "tentative pédagogique", plutôt dense, format forum oblige.

===

L'argument majeur de l'approche de Cartan pour la mécanique classique est le parallèle avec la Relativité Générale, en ce que cette approche va se centrer sur la notion de connexion, tout comme la RG.

Pour expliquer cette affirmation, faut introduire la notion mathématique de connexion, en expliquer le rôle et l'importance. Faut ensuite montrer en quoi l'expression du PFD avec les accélérations d'entrainement permet d'y voir l'intervention d'une connexion. Et, troisième point, introduire la gravitation, par une "petite" modification de la connexion.

Dans l'expression F = m(a - P - C(V)) [je laisse sous-entendus les arguments X et t, pour alléger], un mathématicien peut reconnaître dans a - P - C(V) une "dérivation" de la vitesse, à un sens du mot "dérivation' plus large que la dérivation coordonnée par coordonnée. Cette "dérivation" est celle donnée par une connexion. On parle de "dérivée covariante". Notons la (convention locale à mon texte) D.

L'approche de Cartan consiste à écrire le PFD F = m DV, avec D la "dérivation" venue d'une connexion particulière, et V "quelque chose" représentant la vitesse.

On reviendra plus tard sur cette écriture, concentrons l'explication sur la connexion, sur son rôle, et sur pourquoi introduire un tel concept dont, apparemment, on s'était passé dans l'approche historique.

Le fait mathématique essentiel est qu'on ne peut pas dériver une quantité vectorielle (donc on ne peut pas parler de l'accélération d'un mouvement, puisque cela est une dérivée de la vitesse, une quantité vectorielle) sans impliquer une connexion.

"Avec les mains", une connexion (précisément une "connexion affine") détermine comment mettre en correspondance ("connecter") les vecteurs en un point avec ceux en un point infiniment proche. Ce qui permet alors de parler de la modification d'un vecteur en passant d'un point à un autre point infiniment proche.

Une remarque attendue est alors qu'en mécanique classique on se permet bien de dériver des quantités vectorielles (et en particulier d'utiliser la notion d'accélération de mouvement) sans parler de connexion.

Il se trouve qu'en prenant deux hypothèses, la géométrie euclidienne spatiale et le temps absolu (deux "hypothèses" considérées comme des évidences au-delà de tout doute au XVIIème siècle), on a imposé, sans le dire, sans même en avoir le concept, une connexion particulière. Et donc permis de travailler avec la notion d'accélération (entre autres).

La mécanique classique utilise une connexion comme M. Jourdain faisait de la prose...

En bref, une connexion est indispensable pour dériver des vecteurs, et donc à toute physique!

La dérivation venant de la connexion est notée ici D. Une fois un référentiel choisi, son expression (appliquée à la vitesse) est de la forme a - P - C(V), et on se retrouve avec F = DV, avec V qui a un rapport avec la vitesse, sans être la vitesse.

D est déterminée par la géométrie (par le choix de la connexion), et ne dépend pas du choix de référentiel (ce qui a un rapport avec son nom de "dérivée covariante") ; par contre l'expression la décomposant en P et C dépend du référentiel, un peu comme la décomposition du champ électro-magnétique en champ électrique et champ magnétique dépend du référentiel alors que le champ électro-magnétique n'en dépend pas.

Dans la mécanique classique, la connexion est celle déterminée par spatial euclidien + temps absolu. Et avec ces idées, Cartan a reformulé les lois de Newton.

Avec une expression du PFD où le seul changement est la définition de la dérivation d'un vecteur!!!

À suivre. Dans le prochain message, on va expliquer "qui a un rapport avec la vitesse, sans être la vitesse", et donc pourquoi on peut voir le PFD comme F = DV.

[stefjm]

Pas de réaction, pas de question?

Je n'étais pas là, trop occupé par ailleurs.
J'espère bien arriver à comprendre avec tes explications pourquoi le calcul de l'accélération en polaire redonne les relations classiques.

[coussin]

Je n'étais pas là, trop occupé par ailleurs.
J'espère bien arriver à comprendre avec tes explications pourquoi le calcul de l'accélération en polaire redonne les relations classiques.

Voir la fin de ce petit paragraphe : https://en.wikipedia.org/wiki/Christ...tic)_mechanics
Cela découle de l'utilisation d'un système de coordonnées curvilignes.