Pertinence d'une reformulation des PFD ?

[Nekama]

Bonjour,

On sait (et on l'a encore vu dernièrement sur ce forum) que caractériser du vocable "fictives" les force centrifuge et de Coriolis sème le trouble. L'argument (pertinent) étant qu'elles n'ont rien de fictifs. (On les ressent.) C'est souvent dû à un problème de compréhension de la notion de référentiel et à un refus de penser mathématiquement. si on challenge ChatGPT (pour avoir une vision du "savoir commun" "probable" sur le sujet), on voit il n'intègre pas non plus la notion et on peut en conclure que le problème est général du coup.

Mais y aurait-il un paradoxe ou des problèmes à reformuler les PFDs ainsi :

Dans tout repère, inertiel ou non :
* (1) ma = F où F est la résultante vectorielle des forces fondamentales et d'inertie agissant sur un corps.
* (2) quand 2 corps interagissent, ils exercent l'un sur l'autre des forces égales et opposées.
* Corollaire : si F = 0, a = 0 et v = cst

On perd que l'expression des forces est indépendante du référentiel inertiel. (Mais l'avait-on ? F = q v X B n'y obéit pas par exemple.)
On y gagne en clarté tout en entrouvrant la porte à la RG.

Peut-être y a-t-il une évidence qui m'échappe ?
-----

[stefjm]

Bonjour,
Je n'ai pas de réponse mais je m'étais déjà posé ce genre de question.


https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post1796313
https://forums.futura-sciences.com/p...-accelere.html

[ThM55]

Elie Cartan avait déjà fait cet exercice, écrire la dynamique newtonienne en référentiel quelconque, en prenant la relativité générale comme modèle. Comme il y a aussi introduit la gravitation et le principe d'équivalence (c'était le but de son exercice), cela pose le problème de séparer les forces d'inertie et celle de l'attraction gravitationnelle. Voir la page Wikipedia, qui, c'est un comble, n'existe même pas en français: https://en.wikipedia.org/wiki/Newton...3Cartan_theory . Il y a un paragraphe sur ce sujet dans le "Advanced General Relativity" de John Stewart (Cambridge), mais il ne cite par Cartan.

[mach3]

Misner, Thorne et Wheeler consacrent tout un chapitre à cette formulation de Newton-Cartan de la mécanique classique. Sa lecture est éclairante, notamment sur le fait qu’on peut déjà penser en terme d’espace-temps courbe en mécanique classique.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Oui, c'est exact, j'avais oublié. C'est le chapitre 12. Approche très pédagogique. Il est utile de faire les exercices, on y voit que la description de Cartan est équivalente à celle de Newton. C'est une manière de formaliser la théorie de Newton sans privilégier a priori les référentiels inertiels, mais dans ce cas il faut tenir compte de la gravitation car le principe d'équivalence n'est pas seulement un principe, mais d'abord un fait expérimental (Eötvös).

On trouve les articles de Cartan (1923 & 1924) sur Numdam:

https://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.751/

https://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.753/

L'idée de Cartan est que c'est la connexion affine qui est nécessaire pour décrire la courbure et les effets de la gravitation. Parmi les connexions possibles, la connexion métrique, choisie par Einstein, est un cas particulier. Il explique comment d'autres choix, notamment ceux qui possèdent une torsion, peuvent conduire à la présence d'un moment angulaire intrinsèque dans un fluide. Cartan était d'abord un mathématicien, il voulait voir d'où proviennent les théorèmes, à partir de quels axiomes et de quelles hypothèses, et comment ils se modifient si on lève certains des axiomes. Mais il est remarquable qu'il identifie dans ces articles ce qui dépend de l'expérience. Einstein s'est rallié plus tard à cette conception, il le décrit clairement dans une lettre à son ami Besso le 10 août 1954: "Cette notion de champ de déplacement est en soi indépendante de l'existence d'un champ métrique ; qu'elle ait été introduite au début seulement à propos du champ métrique, s'explique par le fait que Riemann est parti de la théorie de Gauss de la courbure des surfaces, dans laquelle la surface obtenait une métrique grâce au fait qu'elle était plongée dans un espace euclidien" (cf Correspondanceavec Michele Besso, Hermann). Il décrit ensuite pourquoi ce "champ de déplacement" (la connexion) permet de franchit "l'obstacle du système inertiel". On voit qu'il a soigneusement étudié les articles de Cartan!

[ThM55]

Pour compléter, je dois aussi mentionner la deuxième partie:

https://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.761/

Mais elle est nettement plus mathématique, il étudie les aspects géométriques des connexions, les propriétés des tenseurs de courbure, les groupes d'holonomie, etc. Ce sont des notions qui ont été largement généralisées par la suite. En physique, ces généralisations concernent les théorie de jauge, les fibrés principaux, mais aussi les problèmes épineux posés par la quantification de ces théories.

[OnlineMeteo]

Contrairement aux laisser-dires sur mon topic de la force de Coriolis, moi et mes auteurs préférés sont moins impertinents que vous et vos auteurs.
Mon doute sur la formulation du PFD n'intervient que dans un cas précis, un cas généralement peu considéré par les physiciens fondamentaux, rien qui ne soit donc au stade de révolution.
Je soutiens l'idée d'un topic comme celui-ci mais finalement chacun aura sa théorie préférée et ses auteurs préférés.

[stefjm]

Bonjour,
Personne n'a réagi à la double dérivation purement cinématique que j'ai proposé en post du fil fermé (pour je ne sais quelle raison)
https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post7283134

J'ignore si le calcul et l'analyse est complètement à l'ouest ou si cela se tient.

Je n'ai pas eu le temps de l'écrire sous la forme plus classique :



On peut y voir que l'accélération d'entrainement et peut être compensée par l'accélération centripète .
Par contre l'accélération de Coriolis ne peut être compensée que par une accéléation de la vitesse du référentiel tournant.

Et au passage, pas de conservation de l'énergie mécanique en référentiel tournant.

Cordialement
Stefjm

[ThM55]

Je n'ai pas lu tout ce fil qui était assez long, je n'ai malheureusement pas assez de temps pour tout lire et répondre aux questions et j'ignore pourquoi il a été fermé (c'est souvent quand on constate que cela dérive ou tourne en rond).

En ce qui concerne le choix de la théorie "préférée", il me semble que celle de Cartan (décrite au chapitre 12 de MTW) répond directement à la question posée sur le présent fil, en notant toutefois que si on veut considérer les forces dites "fictives" comme réelles, ce que je trouve légitime, en tant que physiciens on se doit aussi de prendre en compte le principe d'équivalence, qui n'est plus à considérer comme un principe mais comme une réalité démontrée par l'expérience (au moins le principe faible).

[coussin]

Pour ma part, je ne comprends même pas le sujet de ce fil...
Si le référentiel lui-même mesure une accélération propre, indépendamment de l'objet que l'on étudie, il me semble évident qu'il faille en tenir compte. Et c'est ça que font ces "forces fictives", non ?

[Nekama]

Une (bonne) raison pour ne pas reformuler les PFDs pour tout référentiel est que les forces y dépendent du référentiel.
La symétrie qu'on obtient pour les référentiels inertiels est "perdue de vue".

Un avantage d'une reformulation est que comme il n'existe pas de référentiel inertiel, on introduit les forces d'inertie et on évite les ambiguïtés des forces fictives.
Un autre avantage est aussi au niveau de l'action-réaction (à reformuler en interaction). On est plus à l'aise pour considérer une réaction à des forces d'inerties plutôt qu'à des "forces fictives"

Personne n'a tiqué mais j'ai fait exprès de présenter le 1er PFD comme un corollaire du 2nd.
A titre personnel, je n'ai jamais compris pourquoi il y a en avait 3 et pas juste 2.

[stefjm]

Une (bonne) raison pour ne pas reformuler les PFDs pour tout référentiel est que les forces y dépendent du référentiel.
Un avantage d'une reformulation est que comme il n'existe pas de référentiel inertiel, on introduit les forces d'inertie et on évite les ambiguïtés des forces fictives.
Un autre avantage est aussi au niveau de l'action-réaction (à reformuler en interaction). On est plus à l'aise pour considérer une réaction à des forces d'inerties plutôt qu'à des "forces fictives".

D'autant plus qu'un dynamomètre à ressort mesure par son déplacement la différence entre deux forces, considérées dans le référentiel en accélération.

Personne n'a tiqué mais j'ai fait exprès de présenter le 1er PFD comme un corollaire du 2nd.
A titre personnel, je n'ai jamais compris pourquoi il y a en avait 3 et pas juste 2.

Je n'ai pas eu besoin de tiquer, je n'ai jamais compris pourquoi il y en avait 3, sinon historiquement. A mon époque, je n'ai appris que le principe fondamental de la dynamique qui implique tout le reste.

[Nekama]

J'ignore si le calcul et l'analyse est complètement à l'ouest ou si cela se tient.

r'' = (r'' - r th'²) e_r + (r th'' + 2 r' th') e_th

Le calcul est correct mais je ne saisis pas l'analyse.

Supposons qu'on ait un référentiel uniformément accéléré : th'' = w' = b et qu'on prenne l'origine du temps quand w = 0 donc w' = bt

r'' = (r'' - r (bt)²) e_r + (r b + 2 r' (bt)) e_th

Si on applique Newton dans ce référentiel, il faut introduire une force centrifuge et de Coriolis fonction du temps ( r (bt)² e_r ; -2 r' (bt)) e_th ) et une force d'entraînement -r(bt) e_th

Mais je ne vois pas ce que tu entends par compensation (?).

[stefjm]

r'' = (r'' - r th'²) e_r + (r th'' + 2 r' th') e_th
Le calcul est correct mais je ne saisis pas l'analyse.
Supposons qu'on ait un référentiel uniformément accéléré : th'' = w' = b et qu'on prenne l'origine du temps quand w = 0 donc w' = bt
r'' = (r'' - r (bt)²) e_r + (r b + 2 r' (bt)) e_th
Si on applique Newton dans ce référentiel, il faut introduire une force centrifuge et de Coriolis fonction du temps ( r (bt)² e_r ; -2 r' (bt)) e_th ) et une force d'entraînement -r(bt) e_th

Il me semble qu'on dit et calcule bien la même chose.

Mais je ne vois pas ce que tu entends par compensation (?).

L'idée des forces fictives est bien de faire en sorte de se retrouver en statique dans le référentiel accéléré, non? Et donc de compenser les forces d'inerties par des forces fictives opposées.

Je pointais simplement le fait que dans un référentiel tournant à vitesse constante, on peut équilibrer à 0 la composante e_r et rester à vitesse constante, alors que ce n'est pas possible pour la composante e_th. Le fait qu'il y ait un 2 r' th' implique une accélération angulaire r th'', impossible dans un référentiel tournant à vitesse constante.

On ne doit pas être très loin de la conservation du moment cinétique vu de façon purement cinématique.
Cela donnerait un truc du genre .

[OnlineMeteo]

Je ne sais pas quelle reformulation de Newton est la plus adaptée mais il est vrai qu'au minimum il y a un problème.

Anders Persson relate dans un papier
- un collègue géophysicien à lui qui disait : "la force de Coriolis ne peut pas être expliquée, simplement dérivée mathématiquement"
- un professeur de géosciences disant : "Les étudiants, tout en reconnaissant l’efficacité du procédé de Coriolis, ne saisissent pas bien sa signification physique, ce qui ne laisse pas de les troubler"

On ne dit pas çà s'il n'y a pas de problème.

Je n'ai pas envie d'insister sur les tentatives d'explication d'Anders Persson, qui je pense tournent autour du pot sans indiquer le pot, mais au minimum de répéter son alerte initiale sur le fait qu'il y a un problème.

[stefjm]

Il faut croire que ces profs n'ont jamais jouer au ballon dans un cylindre tournant dans lequel les forces d'entraînement se mesurent et s'expliquent très bien.

[stefjm]

r'' = (r'' - r th'²) e_r + (r th'' + 2 r' th') e_th

Je me suis demandé s'il était facile d'étudier le cas général pour se ramener à dans le référentiel tournant.

J'ai donc chercher à annuler r'' en permanence (quel que soit t).
C'est un système différentiel à deux équations et deux inconnues et r et th.



On peut trouver une intégrale première de .

qui s'intègre en

et donc


On peut reporter ce résultat dans e_r.
, ce qui donne

.

Si je ne me suis pas trompé.
Je n'ai pas trouvé ce genre de calcul dans la littérature.

Deux cas faciles : (au centre au départ) ou (pas de rotation au départ).
(toujours au centre) ou


Je regarde les cas plus compliqués si quelqu'un me confirme que les calculs exposés sont corrects.

Cordialement.

[Nekama]

De manière générale, il faut faire attention et distinguer ce dont on parle.

Pour étudier le mouvement de l'objet, il faut formuler :

* w : la vitesse de rotation de R' dans R
* th' : la vitesse angulaire de l'objet étudié dans R'

[stefjm]

Dans toute la problématique, je ne me suis intéressé qu'à un point matériel de coordonnée dans le plan et à ses deux dérivées temporelle première et seconde pour chacune de ses coordonnées polaires en fonction de .

Je ne fais aucune hypothèse supplémentaire.

[gts2]

En prenant la constante à 1

et
Qui est l'équation bien compliquée d'une droite comme on pouvait s'y attendre avec

Les calculs sont corrects mais je ne vois qu'un référentiel.

[stefjm]

Merci pour le calcul.

Il n'y a qu'un référentiel et l'écriture en polaire des équations donnent l'expression des accélérations d'entrainement, centripète et de Coriolis, par simple cinématique.
Je n'ai jamais trop vu cette dérivation dans les ouvrages habituels.

[gts2]

Je ne comprends pas trop, s'il n'y a qu'un référentiel l'accélération d'entrainement c'est l'accélération de quoi par rapport à quoi ?

[stefjm]

Il y a un point fixe, l'origine et un point mobile de coordonnée polaire .

[gts2]

OK, et donc l'accélération d'entrainement c'est l'accélération de quoi ?

[Nekama]

@Stephjm : tu as un point matériel sur lequel n'agit aucune force et tu l'étudies en coordonnées polaires ?

r' e_r + r th' e_th = v_o


r' = r'_o

r th' = r_o th'_o


etc.

[stefjm]

Bonjour,

OK, et donc l'accélération d'entrainement c'est l'accélération de quoi ?

Si je le savais... c'est un peu comme se demander par rapport à quoi tourne le pendule de Foucault ou le seau de Newton.

Je ne fais que repérer un point M par rapport à une origine O, en coordonnée de Frenet ou en complexe.
:
ou


Je calcule formellement en complexe la vitesse M/O. Cela rejoint la formule de Bour et il apparait une vitesse d'entrainement. Mais par rapport à quoi? Je ne sais pas trop.
:
ou


Je recommence la dérivée formelle en complexe pour l'accélération.
:
ou


De ce que je comprends, je me retrouve avec une accélération absolue à deux composantes ), une accélération d'entrainement centripète et une accélération de Coriolis orthoradiale .

J'ai l'impression que j'obtiens ces termes par "le bon choix" d'un système de coordonnées polaire. Faire de l'origine un pôle me semble caractériser le référentiel de façon plus complète (ou pertinente) qu'en cartésien.

Pour l'instant, je retrouve des résultats classiques, mais avec un seul référentiel. Il doit y avoir un implicite quelque part que je ne vois pas.
Je n'en comprends guère plus...

Cordialement

[stefjm]

@Stephjm : tu as un point matériel sur lequel n'agit aucune force et tu l'étudies en coordonnées polaires ?

Aucune force dans le référentiel "absolu", mais avec des accélérations qui se compensent dans le calcul en polaire et qui ressemblent quand même pas mal aux accélérations classiques d'entrainement et de Coriolis.

[gts2]

"OK, et donc l'accélération d'entrainement c'est l'accélération de quoi ?"
Si je le savais... c'est un peu comme se demander par rapport à quoi tourne le pendule de Foucault ou le seau de Newton.

La définition de l'accélération d'entrainement est claire, c'est l'accélération du point du référentiel qui coïncide avec le point étudié à l'instant t.

De ce que je comprends, je me retrouve avec une accélération absolue à deux composantes

Je ne vois aucun point dont l'accélération puisse s'écrire : mais j'ai peut-être mal cherché.
D'autre part l'accélération absolue, c'est celle que vous avez calculée, en totalité : .

une accélération d'entrainement centripète et une accélération de Coriolis orthoradiale

Si est la force de Coriolis, cela signifie que le référentiel "secondaire" R' (R étant le référentiel Oxy) tourne à θ' et donc à la même vitesse que le point M, c'est un référentiel très particulier ...
Et donc que le point dans R' a uniquement un mouvement selon r, et donc dans ce cas r'' est l'accélération relative (par rapport à R') et r' sa vitesse relative.
Et toujours dans ce cas rθ'' est l'autre composante de l'accélération d'entrainement.

Pour l'instant, je retrouve des résultats classiques, mais avec un seul référentiel. Il doit y avoir un implicite quelque part que je ne vois pas.

Vous ne pouvez pas retrouver les résultats classiques puisque ceux-ci sont relatifs à deux référentiels.
Cela commence à ressembler à qqch si R' est le référentiel de centre O, tournant à la vitesse θ'.
Mais il faut dans ce cas revoir la nomenclature de vos accélérations.

[stefjm]

Merci beaucoup.
Je comprend un peu mieux la signification de mon calcul et la signification du second référentiel qui me manquait.
Il faut que je turbine tout cela dans ma tête.

[gts2]

Un exemple : une tige qui tourne autour d'un axe repéré par θ(t)
Un anneau M qui coulisse sur la tige, P est le point de la tige qui coïncide avec M à l'instant t.
R=Oxy
R'=Ox'y'

En coordonnées polaires :
Accélération absolue
Accélération d'entrainement (r=constante)
Accélération relative [TEX]
Accélération complémentaire

On a bien