Pertinence d'une reformulation des PFD ?

[Amanuensis]

Je continue...

Curieusement, la question de Stefjm (et la réponse) ont des "résonances" dans le texte...

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Pour qui connaît la formulation d'une dérivée covariante, il y a quelque chose qui cloche dans l'affirmation que a - P - C(V) soit une dérivée covariante. On s'attend à a - C(V). (Car le deuxième terme rappelle bien les coefficients de Christofell.) P n'a pas apparemment sa place.

L'explication vient de ce qu'il faut raisonner dans l'espace-temps (en quatre dimensions).

[Intermezzo : J'ai déjà rencontré la remarque comme quoi l'espace-temps, c'est pour les théories modernes de la relativité, que cela n'est pas pertinent pour la mécanique classique.

Mouais. Pour qui regarde bien, il y a plein de "traces" de l'espace-temps en mécanique classique. Je ne prendrai qu'un seul exemple, la première loi de Newton. Je vais la formuler comme suit:

"Il existe un référentiel tel que les mouvements de corps ne subissant aucune influence sont rectilignes uniformes."

"Rectiligne", ok c'est 3D. Mais que viens faire l'uniformité (longueur de déplacement constante pour une durée donnée) dansl'histoire? Si on dit "un mouvement rectiligne dans l'espace-temps", eh bien, cela inclut exactement l'idée d'uniformité...

Bref, la première loi parle bien de ligne droite dans l'espace-temps...]

Revenons au sujet. Si le temps est absolu, le terme temporel dans la vitesse "en 4D" est égal à 1 (dt/dt = 1). Il est constant. Première conséquence, le terme temporel de l'accélération est nul (quelle que soit la notion de dérivation que l'on va appliquer). Autre conséquence, la notion de fonction linéaire de la 4-vitesse (1, V) s'écrit bien P + C(V), où P ne dépens pas de la vitesse. C'est le passage dans l'espace-temps qui amène le terme P.

Reprenons. Voir une dérivée covariante dans a - P - C(V), avec C linéaire en son argument marche en 4D. La connexion dont il est question n'est pas celle de la géométrie spatiale, mais celle de la géométrie de l'espace-temps. C'est bien ce que présente Cartan, ce qui va très bien dans le sens d'un rapprochement avec la RG.

Reprenons les lois de Newton, dans les termes de ce qu'on appelle l'approche Newton-Cartan.

Loi 0 : On postule un espace-temps muni de la connexion affine conforme aux hypothèses de géométrie spatiale euclidienne et de temps absolu

Loi 1a (loi de l'inertie) : Les mouvements de corps non influencés par d'autres sont des géodésiques de la connexion.

Loi 1b : Il existe des référentiels où la dérivée covariante se réduit au terme au premier terme (dérivation en coordonnées), soit a pour la vitesse, et où, donc, les géodésiques se présentent comme des mouvements rectilignes uniformes.

Loi 2 : Le PFD, qui s'écrit F = m DV, avec F et V des quantités 4D, avec comme termes temporels resp. 1 pour V, et 0 pour F, les termes spatiaux étant ceux usuels. D est la dérivée covariante définie par la connexion affine.

Loi 3 : inchangée

Voilà. Voilà la reformulation à la Cartan de la mécanique classique, valable pour tout référentiel et tout ssystèmes de coordonnées.

Ce qui est génial, c'est que seule la loi 1b est spécifique à la mécanique classique (et plus précisément vient de la connexion, qui est spécifique à la mécanique classique). Les autres s'appliquent aussi à la RG, seule la connexion diffère.

On est arrivé au bout. Euh, non, un aspect résiste encore, la gravitation. Tout le récit pour le moment a été "en l'absence de gravitation".

Suite (et fin, je pense) au prochain épisode.
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[Anonyme007]

Bonsoir,

Une remarque attendue est alors qu'en mécanique classique on se permet bien de dériver des quantités vectorielles (et en particulier d'utiliser la notion d'accélération de mouvement) sans parler de connexion.

Pouvez vous m'expliquer pourquoi ? C'est ce que je remarque moi aussi.
Au lycée, on introduit la notion de dérivation sans l'associer à une connexion.
Par contre, à l'université, on définit une dérivée covariante via une connexion.
Pouvez vous m'expliquer pourquoi la notion de dérivation au lycée est indépendante d'une connexion ?

Merci d'avance.

[Amanuensis]

Dans le texte j'ai essayé de répondre à cette question.

C'est dû au choix implicite de travailler avec la géométrie euclidienne ("plate"), et non avec une notion plus générale de géométrie (la géométrie des variétés, elle-même cas particulier de la géométrie différentielle), comme développée au XIXème par Gauss, Riemman et consorts, et pas enseignée au lycée.

Lé géométrie euclidienne correspond de manière non-dite avec une connexion particulière, presque "triviale", où la dérivée covariante se réduit à la dérivation coordonnée par coordonnée (ce qui n'est pas le cas général en géométrie différentielle). Cela paraît tellement "naturel" qu'on n'a pas de raison d'enseigner d'autres cas trop tôt.

Je rajoute que dans le cas de la physique (de la mécanique classique) la connexion (de l'espace-temps) est aussi rendue "invisible" (triviale) par l'hypothèse d'un temps absolu, qu'on utilise alors comme paramètre "naturel" pour les mouvements (ce qui est contredit par les théories modernes).

Ce n'est donc qu'une "apparence" que " la notion de dérivation au lycée est indépendante d'une connexion". C'est juste que la connexion est dans ce cas "cachée" par l'idée qu'elle serait "naturelle", évidente".

Cela répond-il à la question?

[Amanuensis]

PS: L'idée n'est pas triviale. Je ne l'ai pas lue quelque part (mais doit être implicite dans des textes comme ceux de Cartan), elle vient de réflexions personnelles sur le rôle de la connexion. L'idée, qui me semble correcte, est que les structures de base d'une variété (en mathématique), la structure topologique et la structure différentielle, ne suffisent pas pour dériver les quantités vectorielles (alors que la structure différentielle suffit pour dériver des quantités scalaires, comme des coordonnées). Il faut rajouter une structure, et c'est une connexion affine.

Je l'inclus dans mon discours sur l'approche à la Cartan, car cela permet de fédérer les différentes approches, en explicitant la connexion "cachée" en mécanique classique...

[Anonyme007]

Cela répond-il à la question?

Juste un peu. Mais, pour être plus rigoureux, vous dites,

C'est dû au choix implicite de travailler avec la géométrie euclidienne ("plate"), et non avec une notion plus générale de géométrie (la géométrie des variétés, elle-même cas particulier de la géométrie différentielle), comme développée au XIXème par Gauss, Riemman et consorts, et pas enseignée au lycée.

Lé géométrie euclidienne correspond de manière non-dite avec une connexion particulière, presque "triviale", où la dérivée covariante se réduit à la dérivation coordonnée par coordonnée (ce qui n'est pas le cas général en géométrie différentielle).

Lorsqu'on cherche à différencier une fonction comme on le fait au lycée et en L1, on munit donc, d'une structure de variété Riemannienne, qui est une généralisation d'une structure Euclidienne sur , et la connexion canonique associée à cette variété Riemannienne, est la connexion de Levi Cevita. Vous dites qu'en fait c'est une connexion plate, mais une connexion plate est un cas particulier de connexion de Levi Cevita, mais peu importe.
Si on prend la notion de dérivation qu'on nous enseigne au Lycée. Pourquoi cette notion de dérivation à la ''lycée'' est un cas particulier de connexion de Levi Cevita ?. Quels sont ces coefficients de Christoffel ?

Merci d'avance.

[Amanuensis]

PPS : (Faut que j'arrive à me "remettre" dans l'ambiance de l'enseignement au lycée. Pas facile.)

En géométrie différentielle, un "vecteur" n'est pas un "triplet de réels" (en 3D), mais une quantité mathématique en soi. C'est une "quantité dans une direction". Pour lui attribuer des coordonnées (et la voir comme un n-uplet de réels, de scalaires), il faut choisir un système de coordonnées. Le concept de vecteur est indépendant de tout système de coordonnées.

C'est pour cela que dériver "coordonnée par coordonnée", ce qui est possible avec la seule structure différentielle car les coordonnées sont des scalaires, n'est pas la dérivation la plus générale d'une quantité vectorielle, au sens de ce qu'est un "vecteur" en géométrie différentielle.

[Amanuensis]

J Pourquoi cette notion de dérivation à la ''lycée'' est un cas particulier de connexion de Levi Cevita ?. Quels sont ces coefficients de Christoffel ?

C'est celle avec les coefficients de Christofell tous nuls.

===

Par ailleurs, une connexion de Lévi-Civita a un rapport étroit avec une métrique. Celle dont on parle ici est celle liée à la métrique euclidienne,

Quand on écrit "on munit donc [R^n], d'une structure de variété Riemannienne," on omet (on laisse implicite) qu'on munit aussi de la métrique euclidienne.

[Anonyme007]

Donc, la formule , se transforme dans le cas d'une fonction dérivable à la ''lycée'' en la formule, .
D'accord. Merci.

[Amanuensis]

OK. Je place le dernier message de mon exposé, sur la gravitation et les connexions.

La gravitation

Jusque là, l'étude était en l'absence de gravitation, et partait du cas d'un cylindre creux géant,
tournant à vitesse constante, amenant une situation stationnaire. Une personne à la surface interne
perçoit cette situation de manière assez similaire à nous sur la Terre. Cela a servi de base pour une
formulation des lois de la mécanique mettant en avant la notion de connexion, à la Cartan.

Newton a formulé un autre aspect de la mécanique classique, la gravitation universelle.

Prenons le cas simple d'une chute libre, un corps soumis à la seule gravitation. C'est le cas (en très
bonne approximation) de la Lune, du Soleil, des corps célestes en général, des sondes spatiales, des
satellites artificiels, de l'ISS, ...

La théorie de Newton présente la gravitation comme une force. Elle apparaît "normale", sans raison
immédiate de la traiter comme une "force fictive". En particulier elle respecte parfaitement la
troisième loi, l'action et la réaction.

Dans un référentiel inertiel (le référentiel héliocentrique en est une très bonne approximation), le
PFD pour la chute libre s'écrit G = ma, avec G la force de gravitation. Aucun problème, pas de source
de confusion.

Maintenant, la gravitation a la particularité de dépendre de la masse, et on peut écrire mG(t,X) = ma
avec G(t, X) un champ "universel", ne dépendant pas du corps, seulement du lieu X et de l'instant t.

Il s'agit d'un champ d'accélérations. Cela se réécrit 0 = m(a - G(t, X)), ce qui rappelle évidemment la formulation obtenue "sans
gravitation".

On peut regrouper les deux, avec comme PFD F = m(a - G(t, X) - P (t, X) - C (t, X, V))

Cas sans gravitation : G = 0.

Cas référentiel inertiel : P et C partout nulles.

Peut-on voir là une approche "à la Cartan", fondée sur une connexion?

La réponse est oui, et les conséquences énormes. Étudions donc cette approche.

L'approche consiste à voir a - G(t, X) - P (t, X) - C (t, X, V) comme a = DV, l'application d'une
dérivée covariante à la vitesse, cette dérivation découlant d'une AUTRE connexion que celle pour
reformuler la mécanique classique.

Cela ne modifie que deux "lois", la 0 et la 1b. Or la 1b n'est que l'application de la loi 1a une fois
la connexion définie, donc au fond seule la "loi 0" est changée, selon

Loi 0' : On postule un espace-temps muni de la connexion affine conforme aux hypothèses de géométrie
spatiale euclidienne et de temps absolu, et incluant le champ d'accélération de la gravitation
universelle.

Ce n'est pas le modèle de Newton, mais est équivalent à la mécanique de Newton incluant la gravitation
universelle, au sens d'amener les mêmes prédictions. D'un point de vue épistémologique le choix entre
l'une ou l'autre est arbitraire, un question de convention, ou même d'opinion.

Les différences qualitatives et interprétatives ne sont pas négligeables. Voyons quelques aspects.

La "force gravitationnelle" entre dans la catégorie des "forces fictives" (accélération vue comme
force par multiplication par la masse), attribuable à l'inertie. Sur Terre, on peut considérer que la
seule force sur une personne immobile est la poussée vers le haut exercée par le support. Ce qui au
passage indique que l'espace-temps dans ce modèle est "courbe", non plat.

La "loi 1b" est différente: les mouvements "inertiels", pour F = 0, sont les mouvements de chute libre
(ce sont les géodésiques de la nouvelle connexion). Il n'existe pas de référentiel tel que ce sont des
"mouvements rectilignes uniformes".

Le terme G(t,X) + P(t,X) s'interprète comme l'accélération de la pesanteur. Comme P, elle dépend du référentiel. Dans le référentiel du cylindre tournant
hors gravitation, cela se réduit à P(t, X), qui était vu comme la "force centrifuge". Une personne
réfléchissant en termes de phénomène, et non de causes, y voit la pesanteur. Dans le référentiel de l'ISS, P+G = 0,
c'est une situation d'impesanteur (ou d'apesanteur). En calibrant bien le mouvement d'un avion, on
peut obtenir temporairement une situation (dans le référentiel de l'avion) similaire d'apesanteur, P+G = 0, ce sont les "vols 0 g".

Dans le référentiel tournant qu'est le référentiel terrestre, la pesanteur est bien la somme de G
(attraction gravitationnelle de la Terre) et d'un terme P (accélération centrifuge due à la rotation
de la Terre) d'amplitude bien plus faible mais non nulle.

Etc. D'un point de vue phénoménologique, la décomposition G+P n'est pas possible au premier ordre, la
notion de pesanteur se présente pareil aussi bien dans le cylindre tournant que sur Terre (d'où une
perception similaire pour les personnes sur Terre et sur la surface interne du cylindre tournant).

Bref, l'approche "à la Cartan", modifiée pour inclure la gravitation dans la connexion, marche très
bien. Mais bouscule pas mal les idées usuelles, véhiculées par la mécanique de Newton telle
qu'enseignée.

Cette approche a un avantage particulier, elle supprime tout besoin d'un "principe d'équivalence", qui
apparaît alors ne remplir qu'un besoin créé par le choix de l'approche "à la Newton". Ou plutôt le
remplace par des considérations épistémologiques sur l'inertie et plus généralement la physique, sujet
passionnant, mais hors sujet ici.

Et, cerise sur le gâteau, la RG s'obtient juste en prenant une autre connexion... Ce qui était en fait
le but de Cartan.

On a donc une approche fédérant trois "théories" avec des PFD subtilement différents: celle des trois
lois de Newton (les mouvements d'inertie sont des lignées droites dans les référentiels inertiels) ;
la modifiée pour inclure la gravitation de Newton (les mouvements d'inertie sont les chutes libres) ;
et la RG (métrique différente, et les mouvements d'inertie sont les chutes libres).

Détail en relation avec un point du message #4, dans le premier cas on peut voir la connexion comme
liée à des considérations métriques: espace euclidien = métrique euclidienne, et temps absolu =
métrique dégénérée (dt² = 0). De même, en RG on peut relier la connexion à la métrique (de Minkowski).

Mais la théorie classique+gravitation universelle semble faire exception : à ma connaissance, la connexion ne dérive pas de considérations métriques. C'est ce qui m'amène (avec d'autres arguments) à
adopter le point de vue que la connexion est "première" plutôt que la métrique. Et donne toute son
importance au concept de connexion, et donc à l'approche d'Elie Cartan.

Fin

[stefjm]

Voir la fin de ce petit paragraphe : https://en.wikipedia.org/wiki/Christ...tic)_mechanics
Cela découle de l'utilisation d'un système de coordonnées curvilignes.

En utilisant les complexes en polaire, j'ai donc calculé des dérivées covariantes à la mode de monsieur Jourdin.

[Anonyme007]

Le concept de vecteur est indépendant de tout système de coordonnées.

Tu voudrais dire qu'un vecteur est une classe d'équivalence relativement à une relation d'équivalence définie sur un ensemble de bi-points ? et qu'en principe, il est indépendant de tout système de coordonnées ? On introduit un système de coordonnées lorsqu'on munit l'espace ou l'ensemble de points ( variété ) d'un Atlas de cartes ?

[Biname]

Salut,

Tu voudrais dire qu'un vecteur est une classe d'équivalence relativement à une relation d'équivalence définie sur un ensemble de bi-points ? et qu'en principe, il est indépendant de tout système de coordonnées ? On introduit un système de coordonnées lorsqu'on munit l'espace ou l'ensemble de points ( variété ) d'un Atlas de cartes ?

C'est la première leçon de cet énorme cours (la 3e ci-dessous).
Les parties 1 et 2 présentent les tenseurs, la troisième expose le changement de base et l'invariance des vecteurs...
https://www.youtube.com/watch?v=8ptM...IOFsiG&index=1
Il y en a d'autres, et le bonhomme me semble parfois "tourner autour du pot" ? Je ne suis pas un spécialiste, très loin de là, par contre Amanuensis oui.

[stefjm]

@ Amanuensis
Merci!

j'apprends les connexions, connexions affine, transport parallèle (du pendule de Foucault), dérivées covariantes, etc...

Vivement la retraite (qui recule...)

J'apprécie ta façon de voir et je crois que j'en comprends une partie.

[Biname]

Salut,
Désolé pour la nullité de mon message précédent, vos connaissances vont bien au delà des miennes !

Question pratique : est-il raisonnable de dire que c'est l'accélération Coriolis qui fait tourner le pendule de Foucault ?

[Amanuensis]

Tu voudrais dire qu'un vecteur est une classe d'équivalence relativement à une relation d'équivalence définie sur un ensemble de bi-points ? et qu'en principe, il est indépendant de tout système de coordonnées ?

C'est une définition intermédiaire, plus avancée que définir un vecteur comme un n-uplet de réels. Elle s'applique seulement en géométrie euclidienne (plate).

En géométrie différentielle, plus large que la géométrie euclidienne, un vecteur est défini en gros comme une quantité dans une direction.

En géométrie euclidienne, on peut parler de vecteurs indépendamment d'un point, mais c'est spécifique. Plus généralement un vecteur dépend du point. La direction est une notion intuitive. En une dimension, deux directions seulement, avant et arrière. En deux dimensions les directions se déploient sur un cercle, c'est la rose des vents ; sur Terre (géométrie sphérique) des directions particulières ont des noms, comme les quatre points cardinaux, N, W, S, E. En trois dimensions on rajoute zénith et nadir, orthogonales aux directions de la rose des vents. En quatre dimension on rajoute passé et futur.

L'ouest, par exemple, dépend du point où on se situe. Un exemple de vecteur est la vitesse: une quantité (exprimée par exemple en km/h) dans une direction (par exemple vers l'ouest).

[Amanuensis]

Question pratique : est-il raisonnable de dire que c'est l'accélération Coriolis qui fait tourner le pendule de Foucault ?

C'est la rotation de la Terre qui fait tourner le pendule. C'est l'accélération de Coriolis au sens où prédire le mouvement du pendule est un calcul qui fait intervenir l'accélération de Coriolis (tangentielle à la vitesse, non nulle et variable, du pendule, d'où rotation du plan).

[Biname]

Salut,

C'est la rotation de la Terre qui fait tourner le pendule. C'est l'accélération de Coriolis au sens où prédire le mouvement du pendule est un calcul qui fait intervenir l'accélération de Coriolis (tangentielle à la vitesse, non nulle et variable, du pendule, d'où rotation du plan).

Merci.

Selon mes connaissances, il faudrait plutôt écrire "tangentielle à la composante NORD-SUD de la vitesse", si on ne considère que l'accélération de Coriolis dans le plan horizontal du lieu ?

[gts2]

Si la vitesse est la vitesse du pendule dans le référentiel terrestre, elle est plutôt perpendiculaire à la vitesse.

[Amanuensis]

Je confirme, "perpendiculaire à la vitesse" (vitesse relative au référentiel terrestre). Et aussi à l'axe polaire, Nord-Sud (c'est le résultat du "produit vectoriel" de la vitesse et du "vecteur" rotation de la Terre, donc perpendiculaire aux deux).

[Biname]

Salut,

Je confirme, "perpendiculaire à la vitesse" (vitesse relative au référentiel terrestre). Et aussi à l'axe polaire, Nord-Sud (c'est le résultat du "produit vectoriel" de la vitesse et du "vecteur" rotation de la Terre, donc perpendiculaire aux deux).

Je connaissais la vitesse angulaire, mais pas son vecteur . Aurais-je oublié ? J'en doute.

[gts2]

En gros, le vecteur vitesse angulaire a pour direction l'axe de rotation et pour module la vitesse angulaire.
Voir : wikipedia

[OnlineMeteo]

Au sujet du pendule de Foucault

http://www.cleonis.nl/physics/phys25...t_pendulum.php

"I assume that the reader is at ease with the centrifugal term and the Coriolis term. The necessary information is present in the articles Rotational-vibrational coupling and Oceanography: inertial oscillations and in the following interactive animation Coriolis effect."

D'après Cleon Teunissen, la force de Coriolis en jeu dans les équations est donc celle de la géophysique et de Mr Coriolis. Il s'agit d'une rotation incrémentale dans le repère tournant, sans mémoire voulue d'une direction inertielle.

Une autre façon d'expliquer la rotation se fait également de façon incrémentale en séparant la partie "nord-sud" et la partie "est-ouest". La partie "nord-sud" est suivie d'une rotation dans le repère tournant pour des histoires de conservation du moment cinétique. La partie "est-ouest" est suivie d'une rotation dans le repère tournant pour des histoires de déséquilibre avec la force centripète vers l'axe terrestre. On retrouve bien les causes de la force de Coriolis en géophysique, associée à des vraies forces.

Au final, si la direction inertielle est à peu près conservée (elle ne l'est pas tout à fait dans l'absolu, car il y a une rotation absolue qui translate cette direction, cf. image 11 du lien web), c'est par hasard. Les forces cherchent elle à produire une rotation incrémentale dans le repère tournant.

C'est uniquement aux pôles que le pendule de Foucault peut être une mémoire voulue d'une direction inertielle, sachant que les équations précédentes ne marcheraient plus. Mais en fait c'est un cas théorique qui ne correspond jamais aux pendules de Foucault observés.

[gts2]

Bonjour,

Ils vivent quand même dans un autre monde vos météorologues :

"In the rotational-vibrational coupling article I present a derivation of the Coriolis term"
En fait il prend un mouvement très particulier (un mouvement elliptique harmonique traduit comme la combinaison de deux mouvements circulaires), ce qui fait que se simplifie en car, dans ce cas particulier , ce qui n'est pas signalé, et le fait que ar soit centripète alors que ac est centrifuge n'est pas non plus signalé.

[Amanuensis]

Bonjour,

J'ai regroupé en un texte mon "explication" en sept messages, avec de nombreuses corrections.

http://www.lahri.org/public/PFD-v1.pdf

Notamment j'ai remplacé "a" dans les formules par v pointé, défini comme la "dérivation" composante par composante.

Comme d'hab tout commentaire constructif, i.e., pouvant mener à une amélioration du texte, est le bienvenu.

Cordialement,