Mon dilemme avec la masse et la constante de Planck dans l'équation de Schrödinger

[RM5physM]

Bonjour à toutes et à tous,

Je vous propose une réflexion un peu « philosophique » sur la présence de la masse dans l’équation de Schrödinger, et sur le rôle de la constante de Planck. En regardant l’équation de Schrödinger, personnellement, cela ne me rentrait pas dans la tête d’avoir une équation qui reflète la dynamique d’une onde, mais qui incorpore une masse. Je ne comprenais pas. Mon cheminement m’a conduit à « éliminer » ℏ et la masse pour obtenir une formulation homogène ; je vous expose ici ma démarche pas à pas.

1. L’équation de Schrödinger usuelle



2. Remplacer ℏ par h/2π



3. Exprimer la masse m₀ en fonction de la fréquence de Compton f₀

Partant de :

on remplace dans l’équation :



4. Simplifier le facteur h

En divisant par h :


5. Introduire la longueur de Compton λ₀

Rappel : λ₀ = c / f₀. On remplace :



6. Résultat : une forme homogène



où λ₀ est la longueur de Compton de la particule.

Conclusion :En remplaçant la masse et ℏ par des grandeurs ondulatoires (f₀, λ₀), l’équation de Schrödinger s’écrit sans constante de Planck explicite ni masse, montrant qu’elle est d’abord une équation d’onde homogène.

Vos retours et commentaires sont les bienvenus !
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[coussin]

Rien à redire sur les manipulations algébriques que vous faîtes mais, je vous cite,

cela ne me rentrait pas dans la tête d’avoir une équation qui reflète la dynamique d’une onde, mais qui incorpore une masse.

Pourquoi, selon vous, une masse serait "incompatible" avec une onde ?
Pour moi, l'équation d'ondes apparaît naturellement en considérant la loi de Hooke et un système de masses-ressorts... Cette modélisation sera d'ailleurs omniprésente en QFT.

La cas est un peu différent pour Schrödinger simplement car "le truc qui vibre" n'est pas conventionnel mais c'est intéressant que vous cherchiez à supprimer à la fois h et m car, dans bien des cas, une mesure du "caractère quantique" d'un phénomène (bien que cette notion soit floue) fait justement souvent intervenir le quotidien h/m.

[ThM55]

Une petite remarque: l'équation de Schrödinger est plus proche d'une équation de diffusion que d'une équation d'onde. Elle est en effet de type parabolique. Sa fonction de Green (solution pour une condition initiale est proportionnelle à une exponentielle de la forme , (mais il semble que cette version de Tex rate l'impression du hbar) ce qui montre une propagation instantanée à vitesse infinie: t peut être aussi petit que l'on veut, cette solution n'est pas nulle à quelque distance que ce soit.

Si elle présente des phénomènes oscillants, contrairement à l'équation de la diffusion, c'est à cause du facteur imaginaire de la dérivée temporelle. Mais on peut aussi la voir comme la limite non relativiste de l'équation de Klein-Gordon, qui, elle est vraiment une équation d'onde (hyperbolique), via un développement au premier ordre en 1/c.

[La Limule]

Et plus précisement de l'équation de la chaleur en mecanique statistique non quantique.
Le Bellac a écrit un livre: Des phenomenes critiques aux theories de jauges
que comporte deux parties de memes longeurs
l'une des non quantique et par exemples contient les modeles d'Ising , ce qui est relatif a la chaleur
et l'autre la partie quantie et pas exemple le modele de spint d'Ising quantique
et il voit comment un "dictionnaire" peut les relier.
ce livre est actuellement hors de prix (je l'ai acheté le siecle dernier)

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

La cas est un peu différent pour Schrödinger simplement car "le truc qui vibre" n'est pas conventionnel mais c'est intéressant que vous cherchiez à supprimer à la fois h et m car, dans bien des cas, une mesure du "caractère quantique" d'un phénomène (bien que cette notion soit floue) fait justement souvent intervenir le quotidien h/m.

Ce qui est "normal" car c'est une grandeur (chrono-)géométrique de dimension , une vitesse d'une aire.
C'est le pendant de G.M en relativité générale, (chrono-)géométrique de dimension , accélération d'un volume.

[ordage]

Bonjour

L'équation de Schrödinger c'est le Hamiltonien transposé dans le formalisme de la MQ.
voir, par exemple, p.78 de:

https://cosmologie.saf-astronomie.fr...uantique-1.pdf

Cordialement

[coussin]

Ce qui est "normal" car c'est une grandeur (chrono-)géométrique de dimension , une vitesse d'une aire.
C'est le pendant de G.M en relativité générale, (chrono-)géométrique de dimension , accélération d'un volume.

Dans mon esprit, c'est simplement la magnitude du commutateur position-vitesse. "De combien" positions et vitesses ne commutent pas (en sachant qu'elles commutent en mécanique classique).

[stefjm]

Et du coup, je suis le seul fou à voir un lien entre la loi des aires de Kepler en continu (et donc une définition-détermination possible pour h) et la non commutation en MQ. [x.v]
Et le cran d'après en RG [v.a] pour la troisième loi de Kepler.

[La Limule]

Le lien entre la loi des aires et la commutativité?

[stefjm]

D'abord la dimension physique , et surtout la possibilité d'estimer à partir de la discrétisation de la loi des aires.
J'en avais un peu causé ici : https://forums.futura-sciences.com/p...cinetique.html