teleportation quantique

[La Limule]

Bonjour,
je commançais a me sentir a l'aise avec les Histoires d'EPR avec Bob et Alice
recevant leur moitié de ce qui ne faisait qu un tout.
Mais voila que que suis tombe sur wikipedia et la transplantation quantique.
Et la on me propose d'utiliser une porte logique Cnot avec son qubit comme elément de controle puis une porte de Hadamard. et que dans un cas sur quatre ça marchera
mais que sinon il faudra transmettre par voie classique des résultats de mesure pour que Bob sache quei opérateur appliquer....
Qui peut m'aider?
-----

[ThM55]

Pour quelle partie?

[La Limule]

Je viens juste de voir ce qu'est une porte Cnot pas encore vu la porte de Hadamard.
J'aimerais en attendant en connaitre ses ppopriétés.
Par exemple quel est le lien entre cette porte logique et les bases maximalement intriquées
apparaissant dans les mesures de Bell?
Et pourquoi l'insistance dans l'article que ce n'est pas un copié collé mais un coupé collé?

[ThM55]

Le CNOT est assez facile à comprendre parce qu'il a un analogue en circuits logiques classiques, qui est le OU exclusif. Celui-ci a deux entrées bits classiques x et y et il sort le (x ou exclusif y, que je vais noter + : x+y) qui est un NOT de y controlé par x: si x vaut zéro, le résultat est une copie de y et si x est 1, le résultat est le NOT de y. C'est aussi un détecteur d'anticoïncidence: le ou exclusif est 1 si et seulement si x et y sont différents. Si on ajoute une sortie qui est directement reliée à l'entrée x on a un circuit à 2 entrées (x,y) et deux sorties (x, x+y). Ce circuit permet de dédoubler le bit x: il suffit d'appliquer 0 à l'entrée y: les deux sorties portent la valeur de x.

Le CNOT agit un peu de la même manière mais agit en ou exclusif sur les vecteurs de base |0> et |1> de l'espace des état à 2 dimensions. On a aussi deux entrées x et y et deux sorties. Mais la différence est qu'on on fait des superpositions z = a|0>+b|1>, avec a et b complexes et normalisés et on comprend vite que la copie de tout état n'est pas possible en général (on peut le faire comme en classique s'il s'agit des états de base mais si le produit ab est non nul, ça ne marche pas). C'est une conséquence de l'impossibilité du clonage. Mais on peut utiliser des portes quantiques pour faire de la logique classique (une manière horriblement couteuse et peu pratique de le faire!).

La porte d'Hadamard est plus simple en ce qu'elle n'a qu'une entrée et une sortie qui sont de la forme a|0>+b|1>. Par contre, elle n'a pas d'équivalent classique. Elle envoie |0> sur et |1> sur .

Cela veut dire que pour un état générique a|0>+b|1> à son entrée, cette porte produit en sortie la superposition correspondante . C'est juste un changement de base. Petit exercice trivial: réécrire cela dans la base initiale.

Pour comprendre la téléportation, il suffit d'appliquer les états (un état générique et un état donné) aux entrées des portes logiques, de calculer leurs sorties puis d'obtenir les résultats de mesure et enfin appliquer les portes X et Z qui réalisent les matrices de Pauli.

Ce n'est pas un copié collé car les deux mesures (symbolisées par des cadrans à aiguille vintage) détruisent l'état initial.

[A voir en vidéo sur Futura]

[La Limule]

Merci
J'ai trové ce lien
https://www.sciencedirect.com/scienc...16003222006640
Ca parle de Cnot de hadamard et de maximum d'intrication

[ThM55]

Merci
J'ai trové ce lien
https://www.sciencedirect.com/scienc...16003222006640
Ca parle de Cnot de hadamard et de maximum d'intrication

Tu peux trouver beaucoup mieux simplement en cherchant "introduction informatique quantique" ou "quantum computing" sur le net ou sur arxiv. Par exemple: https://arxiv.org/abs/2504.00995 , mais il y en a beaucoup d'autres qui sont bien rédigés. Il y a aussi un cours en ligne sur MIT Opencourserware, par exemple un cours donné par Peter Shor himself: https://ocw.mit.edu/courses/18-435j-...lecture-notes/. La première application qu'il faut apprendre c'est l'algorithme de Deutsch-Jozsa. C'est un problème dont la solution n'a vraiment aucune portée pratique (contrairement à la recherche de Grover ou la factorisation de Shor) mais c'est assez simple et il est intéressant d'essayer de le programmer d'abord soi-même en informatique classique (par ex en Python) puis de voir comment l'algo quantique le fait.

[La Limule]

j'avais commencé a lire le lien parlant des cnot et hadamard pour créer des etats de Bell
mais il semble que ce ne sont que des extraits. il y a des ...
qui font référence au texte intégral? est il
payant?

[ThM55]

Je ne sais pas mais il y a sur le web un un grand nombre de textes exhaustifs et complètement gratuits.

[ThM55]

En fait on peut comprendre la téléportation sans savoir en détail comment marchent ces portes logiques CNOT et Hadamard. Edward Witten explique le principe de manière lumineuse en une page dans cet article: https://arxiv.org/pdf/1805.11965, page 28 et il ne parle pas de portes logiques ni comment elles sont connectées. Ensuite, bien entendu, si on veut vraiment faire l'expérience, il faut construire le circuit, qui n'est qu'un modèle du procédé décrit par Witten dans cet article (le but de l'article est de voir comment cela fonctionne du point de vue de l'entropie quantique, c'est intéressant pour en avoir une compréhension plus profonde, mais ce n'est pas nécessaire pour saisir la base du procédé).

[coussin]

Une illustration un peu plus concrète mais encore pédagogique tirée de la chaîne Youtube Scientia Egregia : https://youtu.be/kQFNvTnKbKM?si=gkA_02dyepHHJ2Du
Ce lien doit pointer vers le bon chapitre normalement...

[La Limule]

Merci pour ce lien Coussin.
il nécessite plus de deux heurs.
Il pale de des etats de Bloch, des etats mixtes, des traces partielles
et termine par les Cnot et Hadamard pout que bob puisse avoir une teletranmission que Alice
lui que alice lui envoie (pas de clonga que car Alice le le detrut.

[La Limule]

bonjour,
J'aimerais savoir si la mesure de Bell a un sens avec deux qubits non
maximalement intriqués voire pas du tout.
si j'ai bien compris la mesure cnot a pour controle le bit que Alice veut télétransporter
le hadamard opere sur un seul bit sorti du Cnot
Dans ce cas (le bit de Alice reste inchange) et l'autre bit (partagé)
sont maximalement intriqués et si l'on fait une mesure de Bell on ne sait quel va etre le
resultat?

[ThM55]

Je ne comprends pas ta question. La paire de Bell est maximalement intriquée, c'est ce qui permet de transférer une partie de l'information du psi à l'autre élément de la paire. Pourquoi vouloir faire autrement?

[La Limule]

j'aimerai prouver que quand qu'avec la suite de du cnot er du Hadamart, ce qubit est effercivement maximalement intriqu avec le qubit qu'Alice veut teletransporter. surtout que ce bit qu'il depand de alpha et beta.
cette paire maximalement intriquée si je comprend et pour faire dispaitre la bil d'alice
va etre l'objer d'une messure de Bell qui va pemettre a Alice de communiquer
par voie classique ce que doit faire Bob

[La Limule]

Pouvez vous m'aider a compredre
https://fr.wikipedia.org/wiki/T%C3%A...tion_quantique
cette phrase:
On constate alors que l’état du qubit d’Alice est téléporté sur le qubit de Bob dans 25 % des cas

[ThM55]

C'est une application de la règle de Born pour les mesures, un des postulats fondamentaux de la mécanique quantique. Ce postulat dit que si un système dans un état est mesuré, la mesure le fait passer dans un état propre de l'opérateur représentant l'observable mesurée et ceci avec une probabilité (carré du module du produit hermitien de l'état initial et de l'état final).

Alice mesure les deux qubits auxquels elle a accès après passage dans le CNOT et le H. Cette mesure projette ses deux qbits dans un de leurs deux états de base possibles, avec probabilité où état final est donné par la formule au point 3. Il y a 4 possibilités et elles sont mutuellement orthogonales: 00, 01, 10, 11.

Parmi les quatre termes de l'expression 3, le seul qui reproduit exactement l'état initial sur le qubit de B (càd avec et respectivement en coefficient des deux états de base) est le premier et il se produit seulement si les mesures que fait Alice donnent le résultat 00. En effet on a et . Pour les autres, on a soit un échange des coefficients, soit un changement de signe ou les deux. D'après la règle de Born, les 4 possibilités sont équiprobables et ont une probabilité . Donc à ce moment l'état n'est effectivement téléporté sur le qubit de B que si ce résultat de mesure est obtenu, donc une fois sur 4.

Mais ce n'est pas grave car si ces résultats sont transmis classiquement (càd par radio, e-mail, SMS...) à B, il peut reconstituer l'état. Si c'est 00 B sait qu'il a obtenu la copie du qubit et il ne doit rien faire. Si non (3 fois sur 4), il peut l'obtenir par une transformation unitaire, donc une porte logique quantique. S'il reçoit 01, il doit échanger les coefficients. Cela se fait avec une porte (matrice de Pauli). S'il reçoit 10, il doit changer le signe du coefficient de |1>, c'est la matrice . Et s'il reçoit 11, il doit combiner ces deux opérations, d'abord ensuite .

[ThM55]

La "magie quantique" se passe exactement pendant ces mesures. Comme l'état des qubits d'Alice sont intriqués avec celui de Bob, qui peut se trouver à 1000 kilomètres d'Alice, les mesures sélectionnent instantanément un des quatre états possibles de celui-ci et la chose étonnante est que ces états contiennent les coefficients alpha et beta. Cependant, pour savoir exactement lequel a été sélectionné, Bob doit attendre le message contenant les résultats de la mesure. Et si Eve espionne la transmission entre Alice et Bob, elle ne peut rien en tirer, ce message ne contient aucune information sur les coefficients alpha et beta. C'est très remarquable et un peu troublant car Alice et Bob n'ont partagé qu'une paire EPR qui ne porte strictement aucune information sur le qubit . Celui-ci peut d'ailleurs avoir été créé longtemps après leur partage. C'est en faisant des manipulations purement locales sur ses qubits, en les faisant interagir localement, qu'Alice parvient à imprimer une partie de l'information dans celui de B.

[ThM55]

Mais on peut aussi considérer que la "magie" est déjà produite dès l'interaction du psi avec le qubit A de la paire: c'est à ce moment que les coordonnées du psi sont imprimées sur le qbit distant. En fait on peut comprendre ce processus comme une sorte de protocole de cryptographie (trop fragile) plutôt que comme une téléportation: sur le canal en clair on ne fait transiter que des bits classiques qui sont secrètement corrélés avec l'état à transmettre et un espion ne peut avoir accès à cette corrélation cachée. Il est trop fragile en tant que protocole car une attaque MIM est évidente.

[La Limule]

Je m'interoge par rapport au fait que le bit d'Alice est inconnu. comment prouver que c'est bien le meme teletransporté?
et au lien avec les switches de correlation (la aussi il faut choisir les bons 1/4)

[ThM55]

Encore une fois, je ne comprends pas bien ta question. Par "prouver", tu veux dire le démontrer ou bien le vérifier expérimentalement?

Pour le prouver mathématiquement, c'est fait. On peut juste ajouter que le qbit qu'Alice voulait transmettre se retrouve après la mesure dans un des états de base |0> ou |1>, autrement dit il a été détruit. Il n'y a donc pas de clonage de l'état, aucun paradoxe.

Si on veut le vérifier expérimentalement, il faut remarquer que ce qubit n'est pas forcément "inconnu de tous". On peut préparer un qbit dans un état donné connu. Par exemple pour des photons, on peut le préparer dans un état de polarisation déterminée en faisant passer un faisceau lumineux dans des filtres polarisants (linéaires ou circulaires) placés et orientés d'une manière que seule Alice connaît. Cette préparation est en fait un mesure avec une sélection sur base d'une grandeur observable macroscopique.

Pour faire la vérification expérimentale de la téléportation de cet état, il faut répéter l'expérience en préparant de nombreux qbits dans le même état . Il faut aussi disposer du même nombre de paires intriquées, chacune étant jetée après chaque expérience. Bob peut aisément obtenir le rapport en effectuant une mesure sur chacun de ses qbits et en mesurant la fréquence des résultats. Il devra aussi mesurer la relation de phase entre les deux coefficients, ce qui est possible également par des mesures d'interférence avec des portes d'Hadamard (qui donne ).

NB: la phase relative suffit car on ne peut connaître un état quantique qu'à une phase près et par convention les coefficients vérifient la contrainte . Donc seule la phase angulaire de peut être connue.

Identifier un état quantique est un procédé auquel on a donné un nom: la tomographie quantique (bon à savoir pour chercher de la documentation par exemple https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_tomography).

[La Limule]

je pensais a une preparation d'un meme objet (une polarisation donnée) fourne
a aue le transmet a bob que retrouve cette meme polarisation
et c'est l'experimentateur (ni bob ni alice) que verifie le memes resultats.

[ThM55]

C'est exactement ce que j'ai décrit, je crois: un protocole expérimental qui permet de vérifier que Bob reçoit bien le bon qbit.

[La Limule]

j'ai lu que les portes Cnot et de hadamard pouvait servir a intriquer mais assi a désintriquer.
Pour ce la il faut rendre le produit un cnot suivi d'un Hadaùard reverible.
Le cnot s'est facile appliquer deux fois ca donne l'indentité.
qu'elle est l'inverse de la porte de Hadamard?

[ThM55]

C'est elle-même. Sa matrice est



Elle est sa propre inverse.

Les portes quantiques doivent nécessairement être des transformations unitaires de l'espace des états, c'est un des fondements de la mécanique quantique. H est réelle et symétrique, elle doit donc être sa propre inverse, ce qui est bien le cas.

[ThM55]

Ici à 2 dimensions, car on traite un seul qubit, qui vit dans un espace à 2 dimensions. On peut généraliser à n dimensions et on a des matrices du même genre composées de 1 et de -1. En fait cela vient du traitement du signal, la transformée de Walsh-Hadamard. Jacques Hadamard était tombé dessus en étudiant un problème particulier sur les déterminants qui n'avait rien à voir avec tout cela.

[La Limule]

J'aborde le dernier point.
Si des le premier coup Bob n'a rien a faire Alice envoyer par voie classique 00
Mais dans le 3 autre cas comment dire a Bob ce qu'il doit faire?

[ThM55]

J'aborde le dernier point.
Si des le premier coup Bob n'a rien a faire Alice envoyer par voie classique 00
Mais dans le 3 autre cas comment dire a Bob ce qu'il doit faire?

Mais c'est expliqué sur la page Wikipédia! Je pense que tu ne maîtrises pas vraiment les notions de base et le saut dans une application concrète est trop grand.

Reprend l'état dit "final" au point 3 dans la page Wikipedia. C'est une superposition de 4 possibilités pour le qubit de B. Quand Alice mesure ses deux qbits, elle cause un collapse de l'état sur une des ces 4 possibilités (avec chacune une probabilité 0,25 mais c'est sans importance).

Si elle mesure 00, l'état de B est a|0>+b|1>. Il ne doit rien faire.

Si elle mesure 01, l'état de B est b|0>+a|1>. Il doit échanger les coefficients des vecteurs de base. Pour cela la matrice de Pauli sigma-1 (qui est unitaire comme toutes les matrices de Pauli)

Si Alice mesure 10, l'état de B est a|>-b|1>. Il doit changer le signe de b, matrice de Pauli sigma-3

Enfin si Alice mesure 11, l'état de B est b|0>-a|1>. Il doit changer le signe de a (sigma-3) puis échanger (sigma-1).

Pour savoir ce qu'il doit faire afin d'obtenir l'état psi initial, Bob doit recevoir les deux résultats des mesure d'Alice. Alice lui envoie simplement une paire de bits qui est le résultat de ses mesures: (0,0) , (0,1), (1,0) ou (1,1). Cela se fait par un canal classique.

[ThM55]

En guise de scholie, un commentaire: les coefficients alpha et beta ne sont à aucun moment communiqués entre Alice et Bob. Quand ils partagent leur paire intriquée, ces coefficients n'existent pas encore ou sont isolés. Les manipulations qu'Alice fait pour les transférer sont purement locales: elle a un élément intriqué avec celui de Bob et en l'intriquant avec l'état local à transmettre cette intrication est transférée imparfaitement à celui de Bob. Une partie seulement de l'information du psi est transmise. Il manque encore deux bits d'information représentant des phases de 0 ou 180° et une éventuelle permutation. Ces deux bits sont transmis classiquement.

[La Limule]

Bonjours a tous.
De nobreuses choses font que ce 1/4 restent mystérieux, que que fait Bob a la receptiond de ses 2 bits?

je reprend la question:
Un operateut emet des paires 0>0> + 1>1>
maximalement intriques. Commend ca se poroonce cette lettre capitatle avec le signe + ?
je note que Alice a une base 0> et 1> naturelle.
Si Alice consider l'etat qu'elle recoit en partage elle pourra constater qu'il est decrit par une
matrice densité nonpore
si l'on prend sa premiere colonne V et de plus le bit de controlle qu'elle veut teletransporter I (comme inconnu)
avec ces deux bit je peut faire le CNOT suivi du Hadamard et le resultat est un des etats de Bell
Est ce que c'est dans ce (0>0> + 1>1>)
que Alice va dire a Bob de ne rien faire?

[ThM55]

OK. J'y renonce, désolé. J'espère que d'autres sauront expliquer mieux que moi.