Energie Potentielle Gravitationelle dans un systeme de N particules

[alex06]

Bonjour,

J'ai quelques confusions concernant l'énergie potentielle gravitationnelle d'une particule dans un système de N particules.
Toute ma scolarité on m'a toujours appris que la force gravitationnelle est une force conservative. Cela veut dire que pour une particule Mi de mon système, soumise à une force Fi qui est alors la somme des forces gravitationnelles qu'exerce les autres particules sur Mi, il existe un potentiel epi tq Fi = - grad epi.

Or epi étant une fonction de l'espace, Fi ne dépend que de la position de Mi, or n'est ce pas absurde ? Ma particule Mi peut très bien passer deux fois par le même point, sans que les autres particules n'ai la même position, et donc très probablement, sans que Fi ne soit la même, non ?

Merci pour votre éclairement !
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[gts2]

Bonjour,

Si les particules changent de position, l'énergie potentielle dépend du temps, et les énergies potentielles dépendant du temps c'est problématique.

[pm42]

On peut aussi dire qu'il faut considérer le système complet pour que l'énergie reste constante, pas un seul corps.
Et qu'il y a un échange permanent entre énergie potentielle gravitationnelle et cinétique.

C'est le principe d'une orbite elliptique : on "tombe" vers le périgée en convertissant de l'énergie potentielle en énergie cinétique, puis remonte vers l'apogée en faisant la conversion inverse mais l'énergie mécanique totale reste constante.

[alex06]

Donc on ne peut pas définir l'énergie potentielle d'un unique corps pour N grand ? On ne peut pas définir l'énergie l’énergie potentielle gravitationnelle de la Terre dans notre système solaire par exemple ?
Une notre question : Comment défini t-on alors l'énergie potentielle interne d'un tel système de N particules, si ce n'est pas la somme des énergies potentielles individuelles de chaque particule au sein du système (i.e. engendrés par les forces internes du systeme) C'est la question que je me suis originalement posé, voulant pouvoir calculer l'énergie interne totale d'un tel système dans le cadre d'une simulation de N corps céleste.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

On pourrait donner une définition qui se rapproche de la définition scolaire, mais ce n'est pas très physique: ce serait l'énergie nécessaire pour envoyer le corps i parmi les N à l'infini avec une vitesse terminale nulle, en laissant les autres corps immobiles. Mais c'est un processus abstrait, une expérience de pensée, car ce corps qu'on déplace ainsi en effectuant un travail exerce des forces sur les autres et en laissant ceux-ci immobiles on oublie cette influence, qui est une réaction. C'est pourquoi on ne le fait pas individuellement, sauf dans des cas limites (par exemple une fusée qui décolle de la terre, car on suppose que la réaction est négligeable à cause de la grande masse de la planète comparée à celle du lanceur).

Sinon, pour N corps en interaction gravitationnelle newtonienne, l'énergie potentielle totale est négative et est définie comme la somme pour chaque paire de corps de leur potentiel d'interaction gravitationnel = . On doit sommer avec un terme pour chaque paire, pas deux (par exemple une somme avec i<j). C'est clairement défini en mécanique de Newton. Dans la théorie d'Einstein de la gravitation, c'est beaucoup moins clair, comme tout ce qui relève de la conservation de l'énergie.

Edit je ne vois pas la formule en Tex; c'est U_ij = - G M_im_j/r_ij

[alex06]

Merci pour votre réponse !
C'est aussi ce que j'ai trouvé sur Internet, mais je ne comprends pas d'où vient cette formule. Y a t'il une définition claire et générale de l'énergie potentielle interne d'un systeme de particules quelconque ? J'ai cherché sur Internet mais je n'ai rien trouvé.

[gts2]

Y a t'il une définition claire et générale de l'énergie potentielle interne d'un système de particules quelconque ?

Est-ce que la définition page 4 du document physique.cmaisonneuve peut vous convenir ?

[alex06]

Elle me convient bien merci ! Je pensais qu'il existait une définition plus formelle et mathématique, mais je vais me contenter de ça !
Merci beaucoup !

[ThM55]

Il est possible de démontrer cette formule à partir du théorème de Noether mais il y a toujours un élément empirique. Dans un système de points matériels (corps réduits à leur centre de masse) soumis uniquement à leurs interactions mutuelles et pas à des forces extérieures, il arrive souvent que les forces sont égales en grandeur de sens contraires et leurs actions sont dirigées le long de la droite qui joint ces points, et elles ne dépendent que des positions au même instant. C'est le cas pour la gravitation newtonienne mais ce n'est pas le cas pour les forces électriques en relativité (propagation à vitesse finie) ni pour les forces magnétiques, qui sont perpendiculaires à la vitesse. Mais restons dans le cas de la gravitation newtonienne, plus simple. S'il n'y a que les forces d'interaction, on a un système fermé et la force qui agit sur la particule i est la somme des forces d'interaction avec les N-1 autres points matériels.

A partir de ce modèle on peut démontrer des lois de conservation: conservation de l'impulsion, conservation du moment angulaire et conservation de l'énergie. Et dans cette dernière apparaît à côté du terme d'énergie cinétique un terme d'énergie potentielle qui a la forme de la somme que j'ai indiquée plus haut.

Une excellente référence sur la mécanique classique où ceci est démontré, plutôt orientée maths, mais évitant le formalisme intimidant cher aux mathématiciens français: Méthodes mathématiques de la mécanique classique, Vladimir Arnold ( https://archive.org/details/arnold-l...sique-mir-1976 ). Un chef d'oeuvre des anciennes éditions Mir qui n'est plus édité qu'en anglais (Springer) mais qu'on peut encore trouver d'occasion en français.

[Sethy]

Edit je ne vois pas la formule en Tex; c'est U_ij = - G M_im_j/r_ij

Pour info ThM, ce comportement apparait quand on fait une édition rapide. Mais si on passe en mode édition complète, le TEX réapparait.

[ThM55]

Pour info ThM, ce comportement apparait quand on fait une édition rapide. Mais si on passe en mode édition complète, le TEX réapparait.

Merci pour l'info!