Fonction de partition.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

En théorie des champs classique à dimensions, à champ scalaire réel, , et action , on définit une fonction de partition via le formalisme des intégrales de Feynman, comme suit,

où, , est le champ de courant source.
Pourriez vous m'expliquer pourquoi la fonctionnelle se met aussi sous la forme, , où, est un objet appelé d'après mon cours, ''Time evolution operator'' en présence de , et , the vacuum state ?.

Merci d'avance.
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[ThM55]

Bonjour. Mais à mon avis, tu as surement vu cela dans ton cours, c'est très classique.

C'est plus simple dans le cadre de la mécanique quantique à un degré de liberté.

Le propagateur ou fonction de Green pour passer d'un état de coordonnée initial à un état final est



Les fonctions d'onde des états propres de H sont et donc



Mais on peut isoler l'état de vide n=0 (état d'énergie fixé minimale)en ajoutant aux énergie ou la différence des temps une petite partie imaginaire négative. Dans ce cas tous les termes sont exponentiellement amorti quand et l'état fondamental |0> est le seul qui subsiste car il domine tous les autres. Quand on ajoute le terme de source dans le lagrangien , on obtient . C'est la fonction génératrice des amplitudes pour les produits chronologiques des opérateurs entre états de vide. La source J ne sert que de variable pour la fonction génératrice, elle disparaît des calculs quand on prend les dérivées, comme pour toute fonction génératrice. On montre dans la suite du cours, que c'est tout ce qu'on doit savoir: ces éléments de matrice permettent en effet de calculer les amplitudes de diffusion entre états quelconques à N particules entre moins et plus l'infini (formule de LSZ).

[Anonyme007]

Bonjour ThM55,

Merci pour ta réponse.

Mais on peut isoler l'état de vide n=0 (état d'énergie fixé minimale)en ajoutant aux énergie ou la différence des temps une petite partie imaginaire négative. Dans ce cas tous les termes sont exponentiellement amorti quand et l'état fondamental |0> est le seul qui subsiste car il domine tous les autres.

Est ce que tu peux être plus explicite sur ce passage, car je n'y comprendre que dalle.

Merci d'avance.

[ThM55]

Si tu préfères, tu peut le faire avec la rotation de Wick. On obtient ainsi une décroissance exponentielle et le terme en est le seul qui survit. C'est peut-être ce que fait le cours. Au fait, c'est quel cours?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Le cours ce dont il s'agit est inséré en pièce jointe, ci-joint.
Regarde page, . Le cours compte pages. Il n'est pas trop détaillé, et difficile à comprendre.

[ThM55]

Il me semble que c'est un cours très standard et conventionnel sur la méthode fonctionnelle. Mais c'est effectivement un condensé. Ça peut servir d'aide-mémoire pour se rappeler certaines déductions, mais pour mieux comprendre, il serait plus judicieux de choisir un cours détaillé, plus progressif et pédagogique. Il y en a beaucoup, pas tous de même qualité, en général très chers (mais si on surveille les sites des grands éditeurs, on tombe parfois sur des promotions qui font descendre les prix, surtout pour les e-books; on peut automatiser la veille avec certains outils).

Autre chose: quand on débute en théorie des champs, il me semble que l'approche canonique doit être adoptée au début, ensuite on peut passer à l'intégrale de chemin. Dans la formulation canonique on est plus proche de ce qu'on apprend d'abord en mécanique quantique non relativiste. C'est ce que fait par exemple le cours de Mandl & Shaw, qui n'est pas très récent (2010, avant la détection du Higgs) mais excellent pour la pédagogie. Il y a aussi le livre Lewis Ryder, entièrement centré sur l'intégrale de chemin et les méthodes fonctionnelles, mais beaucoup plus progressif et pédagogique que ce résumé.