Les variables de la fonction d'onde dans l'équation de Schrödinger

[jall2]

Bonjour.

Les articles sur l'équation de Schröndiger que j'ai pu lire considèrent toujours que les variables de la fonction psi sont le temps t et les cordonnées spatiales x,y,z d'une particule. Ça me va si on s'intéresse à la position d'une particule et que considère que l'état de la particule est sa position.

Mais l'état d'une particule c'est aussi sa vitesse, non ? Pourquoi on n'a pas aussi vx, vy, vz comme variables ?

Et si je m'intéresse au spin d'un e-, que je considère que l'état de cet électron est soit up ou down, l'évolution de l'état est toujours donné par une équation de Schröndinger, à quoi ressemble l'équation et quelles sont ses variables ?
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[gts2]

Bonjour,

Soit on s'intéresse à fonction d'onde dans l'espace, soit à fonction d'onde dans l'espace des impulsions (en quantique, l'impulsion c'est la quantité de mouvement p=mv).
On passe de l'une à l'autre par transformée de Fourier.
Autrement dit si je connais , je connais
Le mot clé est "espace des impulsions".

Pour ce qui est du spin, voir l'équation de Pauli

[Sethy]

Je me permets d'ajouter à l'intervention de gts2 que l'oscillateur harmonique est particulièrement intéressant de ce point de vue là, car il est très facile d'obtenir la transformée de Fourier puisque la transformée de Fourier d'une gaussienne est ... une gaussienne. Bien sûr leur largeur à mi-hauteur n'est pas identique, elle-même reliée directement par le principe d'incertitude.

De plus, si je ne dis pas de bêtise, on peut obtenir le même résultat en passant par l'équation de Schrodinger et remplaçant cette fois l'opérateur par sa valeur (à une puissance de i/h près)

[coussin]

J'ajoute aux interventions précédentes qu'il y a une raison fondamentale pour laquelle une "fonction d'onde" en positions et en vitesses n'existe pas en MQ : c'est bien sûr parce que ces variables ne commutent pas. C'est la différence fondamentale avec la mécanique classique.
Le concept de fonction de Wigner tente le rapprochement avec une densité de probabilité dans l'espace des phases.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Il existe une formulation de la mécanique quantique dans l'espace des phases qui répond exactement à cette question. Elle a été découverte et formulée de plusieurs manières par plusieurs physiciens, en particulier Wigner, Weyl, Moyal et Groenewold. La fonction d'onde est remplacée par une distribution de quasi-probabilité. Il ne s'agit pas d'une véritable distribution de probabilité car elle peut prendre des valeurs négatives. Comme ce formalisme est équivalent à la mécanique quantique usuelle, elle respecte évidemment les relations d'incertitude, la non-commutation et le lien entre les fonctions d'onde par la transformation de Fourier. Pendant longtemps, cette formulation a été considérée avec méfiance et peu ou pas du tout mentionnée dans les cours et traités.

Voici quelques lectures à ce sujet:

https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A...ace_des_phases

https://en.wikipedia.org/wiki/Phase-space_formulation

Un article sur l'histoire de la MQ dans l'espace de phase: https://arxiv.org/abs/1104.5269
Une introduction: https://arxiv.org/abs/2208.08682

On peut également formuler l'intégrale de chemins de Feynman dans l'espace des phases, mais il faut être prudent avec ce formalisme, il a conduit certains à de grosses erreurs (notamment quand on a essayé de transposer les transformations canoniques finies).

[gts2]

Merci pour les liens, je ne connaissais pas.