Matière et antimatière dans l'univers primordial

[Hades55]

Bonjour à tous,

Les physiciens s'accordent pour décrire l'univers juste après le Big Bang comme un plasma de quarks et de gluons, ces particules étant totalement libres et indépendantes les unes des autres.

Mais au sein de ce plasma, qu'en est-il de l'antimatière ? Les antiquarks voisinent t ils avec les quarks ou l'antimatière s'est elle déjà évaporée ?

Questions subsidiaires : qu'en est -il des photons et des électrons. Si j'ai bien compris ils sont absents du plasma.
Quand apparaissent t ils et par quel processus?

Par avance merci de vos lumières. J'espère que leurs photons permettront de résoudre le mystère de l'apparition des photons primordiaux.
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[invite40271050]

Bjr à toi, Il y a eu des discussions sur Futura:
qq liens:
https://www.google.com/url?sa=t&rct=...Kb6s4w_h8txXcx
Voir Google.
Bonne journée

[Gilgamesh]

Bonjour à tous,

Les physiciens s'accordent pour décrire l'univers juste après le Big Bang comme un plasma de quarks et de gluons, ces particules étant totalement libres et indépendantes les unes des autres.

Mais au sein de ce plasma, qu'en est-il de l'antimatière ? Les antiquarks voisinent t ils avec les quarks ou l'antimatière s'est elle déjà évaporée ?

Questions subsidiaires : qu'en est -il des photons et des électrons. Si j'ai bien compris ils sont absents du plasma.
Quand apparaissent t ils et par quel processus?

Par avance merci de vos lumières. J'espère que leurs photons permettront de résoudre le mystère de l'apparition des photons primordiaux.

Je déplace en Astrophysique, plus adapté au sujet.

Tant que les photons ont une énergie supérieure à l'énergie de masse de la particule considérée kT > mc², les créations de paires compensent les annihilations et le plasma contient autant de particules que d'anti-particules. Quand le rayonnement descend sous cette température (dite de gel, freeze-out ou threshold temperature in english), l'annihilation particules - antiparticules n'est plus compensée par les créations de paires et la démographie s'effondre. Ne restent que les survivantes, dans un grand bain de photons.

On mesure aujourd'hui le ratio baryon/photon η qui nous donne la proportion des survivants, c-à-d l'excès initial de matière sur l'antimatière (qu'il faut encore expliquer) :

η ≃ 6.0 × 10⁻¹⁰

[données de Planck 2015]

Un cours : Freeze-Out of Particles - Abtin Narimani

Ci-dessous, quelques seuils de températures importants du jeune univers.
issus de ce cours : Cosmology - Daniel Baumann

[Hades55]

Merci pour la clarté de l'explication.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Hades55]

Ok, merci pour les liens.

[physeb2]

Bonjour,

juste pour insister sur un point:

Questions subsidiaires : qu'en est -il des photons et des électrons. Si j'ai bien compris ils sont absents du plasma.
Quand apparaissent t ils et par quel processus?

Le plasma en completement dominé par l'interraction photon - electron, donc non, tu n'as pas bien compris ce point

Ce n'est pas une critique, c'est juste que ce point est particulierement faux, car ce sont les deux constituants principaux du plasma primordial. Le couplage principale est la diffusion compton des photons sur les electrons libres, les electrons etant libres car les photons ont une energie suffisante pour les arracher des atomes quand ils arrivent a ce lier (ce qui s'appelle la ionisation). C'est le moment où les photons n'ont plus assez d'énergie pour assurer la ionisation (principalement de l'atome d'hydrogène) que les atomes se forment efficacement et implique la disparition du plasma. Ce moment correspond a ce que la propagation du fond diffus cosmologique.

[Hades55]

Bonsoir,

En fait je suis parti de l'hypothèse que le vide cosmique primordial pourrait être analogue au vide quantique.

Un champ dans lequel on relève de fortes fluctuations d'énergie résultant de l'agitation frénétique des photons. Lesquels ne cessent de se transformer en paire de particules et d'antiparticules virtuelles, qui se désintègrent aussitôt en se transformant en photons.

J'ai cru comprendre que ces transformations des photons donnaient naissance soit au couple quark- antiquarks, soit au couple électron -positron.

Si l'on se place maintenant au niveau de l'hypothétique vide cosmique primordial décrit sous la forme d'un plasma de quarks et de gluons, (issu des seuls photons primordiaux?), se pose la question de "l'apparition" des électrons libres.

Sont-ils issus - conjointement aux positrons - de la désintégration des photons, comme dans le vide quantique?

Autrement dit, comment passe-t'on de l'hypothétique vide cosmique primordial ne contenant que des photons au plasma de quarks et de gluons?

[physeb2]

Bonsoir Hades.
Pardon, je viens de relire plus attentivement ton premier post. Tu parles effectivement du plasma quark-gluon, et non du plasma post-baryogenese. Mon message est donc completement a côté de la plaque... Désolé.

Je ne suis pas un expert de la physique des particules primordial, donc je ne serai pas le plus indiqué pour te répondre.

[Hades55]

Bonsoir, Physeb2,

No problem, nobody is perfect ����...

J'avoue que je n'ai encore rien lu de très clair sur la genèse de l'hypothétique plasma cosmique originel...

Tout ceci est très intéressant mais très spéculatif.

[mtheory]

Autrement dit, comment passe-t'on de l'hypothétique vide cosmique primordial ne contenant que des photons au plasma de quarks et de gluons?

Le vide primordial n'est pas censé contenir des photons, en fait, dans plusieurs scénarios inflationnaires proposés, on a un champ scalaire qui provoque l'inflation de l'espace et ce champ décroit comme une bille tombant dans une cuvette pour atteindre un point d'équilibre. Mais pour l'atteindre, il va osciller au fond de la cuvette et on suppose qu'il est couplé aux champs de matière et d'autres particules, l'énergie des oscillations est alors transférée à ces champs ce qui remplit brutalement le cosmos au moins localement d'un mélange dense et chaud de ces particules avec l'espace qui est toujours en expansion. On se connecte alors à la phase classique du Big Bang avant la découverte de la théorie de l'inflation.

[Hades55]

Ce que j'ai du mal à comprendre en tant que non mathématicien et non physicien, c'est ce concept de champ scalaire qui provoque l'inflation de l'espace, indépendamment de toute "force physique", comme si l'inflation naissait par la magie opératoire d'une équation.

Par ailleurs pourquoi exclure a priori que l'univers primordial ne serait pas analogue au vide quantique "rempli" de photons?

[mtheory]

Ce que j'ai du mal à comprendre en tant que non mathématicien et non physicien, c'est ce concept de champ scalaire qui provoque l'inflation de l'espace, indépendamment de toute "force physique", comme si l'inflation naissait par la magie opératoire d'une équation.

Par ailleurs pourquoi exclure a priori que l'univers primordial ne serait pas analogue au vide quantique "rempli" de photons?

Parce que ce n'est pas ce que dit la théorie de l'inflation, dans l'absolu bien sur nous ne sommes certains de rien. En ce qui concerne ce champ scalaire, il se comporte comme une densité d'énergie dans les équations d'Einstein, densité d'énergie qui se manifeste comme une pression.

[Hades55]

Mais avec quelles particules massives l'énergie du champ scalaire d'inflation interagit-elle?

Quarks, antiquarks, électrons, positrons?

Et quid des photons dans l'histoire, car ils doivent bien apparaître à un moment donné dans l'univers primordial...

Vue naïvement l'inflation apparaît comme l'inverse d'une compression à laquelle elle succéderait...

Si on part de l'hypothèse que toute la matière et l'espace de l'univers actuel étaient condensés dans un volume inférieur aux dimensions de Planck, l'inflation apparaît alors comparable à la subite l'expansion d'un volume d'air gigantesque "compressé" par une "force" de même proportion...

Vue naïve compatible avec un univers cyclique alternativement en inflation et en "déflation".

[physeb2]

Mais avec quelles particules massives l'énergie du champ scalaire d'inflation interagit-elle?

Quarks, antiquarks, électrons, positrons?

Le champ d'inflaton se désintègre en les particules que tu cite. Donc il n'est pas censé interragir avec, car pas encore là. En revanche il peut interragir avec lui meme (terme d'auto-interraction dans le Lagrangien) ou avec un autre champs d'inflaton si il y en a plusieurs.

Vue naïvement l'inflation apparaît comme l'inverse d'une compression à laquelle elle succéderait...

Dans le modèle on ne dit rien sur ce qu'il y a avant l'inflation, sinon qu'une zone petite était suffisemment homogène pour expliquer l'homogénéité de l'Univers observable.

Si on part de l'hypothèse que toute la matière et l'espace de l'univers actuel étaient condensés dans un volume inférieur aux dimensions de Planck, l'inflation apparaît alors comparable à la subite l'expansion d'un volume d'air gigantesque "compressé" par une "force" de même proportion...

Je n'ai jamais vu de telles suppositions sur le volume initial. Pourquoi veux-tu que tout était dans un volume inférieur aux dimension de Planc? Je ne comprends pas ce que cela voudrait dire, ça violerait beaucoup de choses. De plus, si l'Univers est infini (ce qui est possible) alors avant l'inflation il était déjà infini. Cela montre que l'inflation n'impose en rien sur le volume de l'univers initial.

Vue naïve compatible avec un univers cyclique alternativement en inflation et en "déflation".

Dans le cas d'un modèle d'univers oscillant (je pense que cyclique fait référence a celà), la matière avec une courbure peut parfaitement jouer le role. Pas besoin d'un autre champs. En phase de compression, la densité et la température augmentent ce qui peut conduire a l'unification des champs dans le champs initial.

[Gilgamesh]

Ce que j'ai du mal à comprendre en tant que non mathématicien et non physicien, c'est ce concept de champ scalaire qui provoque l'inflation de l'espace, indépendamment de toute "force physique", comme si l'inflation naissait par la magie opératoire d'une équation.

Par ailleurs pourquoi exclure a priori que l'univers primordial ne serait pas analogue au vide quantique "rempli" de photons?

Un vide remplit de photons n'est donc pas vide de ce fait. Le vide c'est l'absence de particules réelles, et un photon qui se propage à l'infini est tout ce qu'il y a de réel. Et il ne va pas rester seul longtemps. Avec un bain de photons, on excite tous les autres champs du Modèles standard et on obtient instantanément un plasma à l'équilibre thermodynamique, caractérisé par une densité d'énergie ρ (proportionnel à la puissance quatrième de la température) et une pression p = ρ/3. Les deux termes étant positifs, la somme ρ+3p (la trace du tenseur énergie-impulsion) est également positive, le milieu gravite positivement et la gravité joue le rôle d'une force de rappel qui freine l'expansion.

Pour l'inflation, on veut que le taux d'expansion reste constant (ou quasi constant) et ça n'est possible que dans le vide. Un milieu vide se caractérise par une densité d'énergie ρ et une pression p = -ρ. La trace du tenseur énergie-impulsion est négative et la gravité résultante est répulsive : le vide rentre spontanément en expansion, à taux d'expansion constant H ~ √ρ. Pour expliquer la valeur élevée de la densité d'énergie, on l'attribue au potentiel V(Φ) d'un champ Φ, l'inflaton.

Et ça offre pas mal d'avantages. Dans la théorie classique du Big Bang (ne faisant intervenir que la relativité générale), on a un état initial paradoxal caractérisé par une densité et un pression infinies (une singularité), ce qui est déjà problématique en soi, mais en outre, alors qu'un tel milieu devrait s'effondrer sur lui même il est tout à l'inverse affublé d'un taux d'expansion lui aussi infini, qui contrecarre la gravité. On a donc 2 trucs absolument pas expliqués et physiquement contradictoires qui s'affrontent dans le jeu des conditions initiales du Big Bang, l'énergie et l'expansion, le tout formant une singularité c'est à dire divergeant à l'infini, mettant en échec la théorie, et géodésiquement incomplet: on ne peut pas prolonger les géodesiques dans le passé, elles jaillissent "de nulle part", d'où l'idée très répandue que la question de l'avant Big Bang n'a pas de sens. Mais d'où également l'avertissement répété sur tous les tons que "l'instant zéro" ne fait pas partie de la théorie.

Si on rajoute l'inflation, on explique la valeur initialement élevée du taux d'expansion, il provient de l'état de vide quantique de haute énergie précédent l'apparition du plasma chaud, lui même résultant du mécanisme de reheating, et la singularité, bien entendu, disparait au passage : tout est lisse (au sens d'infiniment dérivable). Y'a plus rien d'abscon "en t=0", plus de problème non plus pour envisager un "avant", le Big Bang chaud étant simplement ce qui résulte d'un changement d'état du vide, lui même résultant d'un effondrement du potentiel V(Φ) dépassé une certaine valeur de Φ. Bien sûr, tout reste à dire de la nature de Φ et sur la forme de son potentiel, mais on tient un paradigme très élégant et déjà assez bien contraint par les observations actuelles.

[Hades55]

Merci pour ces explications fort claires, mais qui appellent toutefois quelques précisions nécessaires à un non matheux.

Si j'ai bien compris plus le vide est vide et plus il est susceptible d'entrer en inflation, puisque celle-ci est fonction de la force répulsive qui se manifeste dans ce vide.

Est ce à dire qu'un vide qui ne contiendrait que des photons engendrerait une force répulsive et donc une inflation moindre qu'un vide empli de photons et de particules massives?

Dans le cas d'un vide presque totalement vide, donc lieu d'une grande répulsivité, l'inflation pourrait-elle se produire sans la présence du champ de l'inflaton?

L'inflaton est il associé à une particule?

Dans la genèse du plasma existant juste avant le Big Bang est-il exclu qu'il ne contienne que des photons se transformant incessamment en particules virtuelles?

Dès lors comment passerait-on d'un plasma de photons à un plasma de quarks et de gluons, dans lequel quarks et antiquarks ne seraient plus des particules virtuelles d'une durée de vie infinitésimale ?

[Gilgamesh]

Merci pour ces explications fort claires, mais qui appellent toutefois quelques précisions nécessaires à un non matheux.

Si j'ai bien compris plus le vide est vide et plus il est susceptible d'entrer en inflation, puisque celle-ci est fonction de la force répulsive qui se manifeste dans ce vide.

Est ce à dire qu'un vide qui ne contiendrait que des photons engendrerait une force répulsive et donc une inflation moindre qu'un vide empli de photons et de particules massives?

Dans le cas d'un vide presque totalement vide, donc lieu d'une grande répulsivité, l'inflation pourrait-elle se produire sans la présence du champ de l'inflaton?

L'inflaton est il associé à une particule?

Dans la genèse du plasma existant juste avant le Big Bang est-il exclu qu'il ne contienne que des photons se transformant incessamment en particules virtuelles?

Dès lors comment passerait-on d'un plasma de photons à un plasma de quarks et de gluons, dans lequel quarks et antiquarks ne seraient plus des particules virtuelles d'une durée de vie infinitésimale ?

Ici il ne s'agit pas mathématique en fait, mais bien de Physique. Les mathématiques ne légifèrent pas la nature de la réalité, elles ne sont que l'outil du physicien qui tente de forger le langage de la Nature.

Ici ce qui interroge, c'est la nature du vide, qui mérite un peu de contexte. Au départ on a comme intuition la concept atomiste : le vide c'est l'espace dans lequel se meuvent les atomes. En l'absence d'atome (de particules, au sens large) y'a rien, on a un pur contenant avec comme seule propriété son volume. Et ce qu'il y a entre les atomes n'est rien d'autre que de l'espace (*).

Notons déjà que cet espace vide qui marque le début de la Physique moderne (Galilée) est rarement resté complètement vide : pour entrainer les planètes (Descartes), pour satisfaire aux conditions de propagation de la gravité (Newton), ou de la lumière (Huyghens, Fresnel...) il a été le plus souvent rempli d'éther. C'est à dire de qqchose de subtil, mais qui n'est pas rien, avec quelques propriétés ad hoc (élasticité et rigidité notamment pour permettre la propagation d'une onde trasverse comme la lumière). Finalement c'est au moment de la révolution relativiste avec l'expérience de Michelson (1887) et la fin de l'éther luminifère, que le vide aura été le plus réellement vide dans toute l'histoire de la Physique.

Et déjà avec la relativité générale (1915) et le premier modèle cosmologique d'Einstein (1916) on introduit une constante cosmologique promise à un grand avenir, même si bientôt reniée par son auteur. La constante cosmologique est plutôt conçu comme une propriété du contenant au départ, une caractéristique géométrique de l'espace.

Mais à partir des années 1920, les développements de la mécanique quantique avec Dirac notamment vont donner naissance à la théorie quantique des champs (TQC, ou QFT pour quantum field theory in english) qui va révolutionner notre conception du vide. En TQC ce qu'on appelle une particule (un électron, un quark, un photon...) représente l'état d'énergie d'un champ associé qui remplit tout l'univers. Exactement de la même façon (et avec le même formalisme) que les états d'énergie d'un atome sont quantifiés en niveaux d'énergie discrets, le champ associé à la particule est quantifié et chaque niveau d'énergie représente une particule supplémentaire. En l'absence de particule, ce qui est la définition même du vide, le champ se trouve dans son état d'énergie fondamental. Or cet état fondamental ne peut pas être nul, du fait des inégalités de Heisenberg.

Si on note E(n) le niveau d'énergie d'un champ contenant n particules de fréquence v, on a :

E(n) = ħv(n + 1/2), avec ħ la constante de Planck réduite.

Le facteur 1/2 change tout... Pour n = 0 donc dans le vide, E = ħv/2. Ce n'est pas nul. C'est un petit peu comme s'il y avait une particule latente, n'ayant que la moitié du compte pour exister. Mais qui existe quand même à moitié... Ce sont les fameuses particules virtuelles. Une particule virtuelle ne peut pas provenir par définition d'une particule réelle (l'inverse en revanche est possible : une particule réelle est une particule virtuelle à laquelle on a apporté l'énergie nécessaire pour qu'elle devienne réelle). Et il faut en outre sommer toutes les fréquences possibles du champ. Ce qui donne un résultat infini au premier ordre. Ce qui est gênant. Si on reste dans le cadre de la TQC toute seule, cet infini n'est pas trop gênant, car dans la théorie, seuls les écarts d'énergie ont un sens physique. Pour prendre une image, disons qu'on représente un objet dans le vide comme un bateau sur l'océan et le niveau de l'océan comme le niveau d'énergie du vide. Vu depuis un satellite, on ne voit pas les vagues (les écarts de niveau de l'océans, qui représentent les échanges de particules) mais on peut les déduire du mouvement du bateau. Seules les vagues perturbent son mouvement. Sur une mer d'huile (dans le vide) y a aucun moyen de déterminer la profondeur de l'océan, il peut y avoir 100 m ou 100 km d'eau sous la quille du bateau, ça n'affecte pas son mouvement. Donc en TQC, le niveau d'énergie du vide n'a pas de signification physique. On peut en faire abstraction.

Mais en relativité générale, qui a par ailleurs un conception du vide tout à fait classique, le tenseur de courbure qui représente la gravité s'égale à une constante près au tenseur énergie-impulsion qui comptabilise l'ensemble du contenu énergétique de l'espace, sans rien omettre. La gravité, c'est Big Brother : elle voit tout ! Et dans ce formalisme, un vide énergétique a exactement les propriétés d'une constante cosmologique, il engendre une gravité répulsive qui provoque l'expansion.

Si on rajoute dans ce vide énergétique des particules réelles, c'est à dire qu'on élève son niveau d'énergie, la pression s'élève, mais en partant du niveau de pression initial. Si la cte cosmologique de notre univers était très élevée (de l'ordre du niveau prédit par la TQC) la pression de point zéro seraient tellement négative que toutes les particules réelles de l'univers ne pourraient rien y faire : tout serait dispersé façon puzzle par une monstrueuse inflation.

Et il y a ici un marche d'escalier dans le raisonnement : la TQC prédit un niveau d'énergie élevé, mais il est clair que ce n'est pas le niveau actuel, sinon nous ne serions pas là pour en parler. On a donc un problème ouvert, dit de la constante cosmologique. Le vide énergétique dont on a besoin pour l'inflation ne provient pas directement de ce calcul "naïf" de TQC, puisse qu'on sait qu'il est faux. Toutefois je pense qu'il joue un rôle important au plan heuristique : en qq sorte il rend crédible en ordre de grandeur les échelles d'énergie prédites pour l'inflation. Mais on modélise ça autrement, avec un champ dont le potentiel va pouvoir chuter brutalement.

Et donc, dans l'univers en inflation, on peut envisager la présence de particules (celles de l'inflaton par exemple), simplement l'expansion est tellement monstrueuse que cette particule se trouve immédiatement toute seule dans son horizon de Hubble c/H (dans un espace en expansion au taux H, l'horizon cosmologique c/H est la distance maximale à laquelle une interaction est possible). L'univers en inflation est donc le plus vide qui se puisse concevoir, aucune particule ne peut interragir avec quelque autre particule que ce soi. Il est également aussi froid qui se puisse concevoir car l'impulsion des particules est maximalement redshiftée par l'expansion. Donc pas d'interraction, pas de plasma, pas de structure, juste de rares particules immobiles et solitaires.

Pour obtenir le plasma du Big Bang chaud, il faut que le niveau d'énergie du vide s'effondre et communique d'une façon ou d'une autre (mécanisme de reheating) son énergie aux champs des particules. Comme la densité d'énergie de ce vide est très grande, l'état initial de ce plasma est ultra chaud et dense avec une densité pressentie dite grand-unifiée, de l'ordre de (10¹⁶ GeV)⁴ (le chiffre entre parenthèse est la température de Grande Unification et la loi de Planck dit que l'énergie d'un plasma à l'équilibre thermodynamique avec le rayonnement est en T⁴).


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(*) D'où, du reste, un débat serré sur la nature de l'espace qui va affronter Leibnitz et Newton. Pour le premier, cet espace n'est rien en soi, seuls existent les objets matériels et l'espace n'est que la distance qui les sépare, pour le seconde, l'espace est l'arène spatiale immuable existant indépendemment de son contenant. Newton aura gain de cause mais le débat n'est pas complètement refermé.

[Hades55]

Merci pour ce rappel historique et la clarté des explications.
Si le vide est l'absence - théorique - totale de particules, comment dès lors peut-on parler d'un niveau d'énergie, sauf à supposer que l'énergie, indépendamment donc de la présence de toute particule pourrait être issue par génération spontanée du vide ramené à un contenant essentiellement " spatial"

J'avais cru comprendre que l'état d'énergie fondamental de point zéro résultait du niveau le plus bas des fluctuations des photons, donc d'un vide tout sauf vide.

Comment dès lors expliquer E=hv/2 avec 0 particule, dès lors que le vide le plus vide contient toujours des photons?

[khurnous]

Bonjour,

Le sujet est, je trouve, particulièrement ardu et contre intuitif car nous sommes un peu formatés par la philosophie classique ("la nature a horreur du vide"). Le vide est intuitivement considéré comme l'absence de matière voir de tout et on est très proche de la notion de "néant".

J'ai trouvé un résumé qui pose les différentes définitions, je le trouve abordable et explique pas mal les choses (je suppose qu'il sera considéré comme très "léger" par les pointures) : https://www.techno-science.net/definition/3665.html

Cdlt

[Hades55]

Merci pour ce lien. L'article est effectivement intéressant.

La nature du vide quantique est de fait déduite des inégalités d'Heisenberg.... Quî postule les fluctuations d'énergie des photons ...

Et quelle est la nature de l'énergie qui rend les photons instables?

That is the question��!

[Gilgamesh]

Merci pour ce rappel historique et la clarté des explications.
Si le vide est l'absence - théorique - totale de particules, comment dès lors peut-on parler d'un niveau d'énergie, sauf à supposer que l'énergie, indépendamment donc de la présence de toute particule pourrait être issue par génération spontanée du vide ramené à un contenant essentiellement " spatial"

J'avais cru comprendre que l'état d'énergie fondamental de point zéro résultait du niveau le plus bas des fluctuations des photons, donc d'un vide tout sauf vide.

Comment dès lors expliquer E=hv/2 avec 0 particule, dès lors que le vide le plus vide contient toujours des photons?

Je ne suis pas sûr de bien comprendre la nature de ton incompréhension. Je récapitule en partant de ton message.

Le vide N'EST PAS l'absence théorique de particule. Comme j'ai essayé de l'exposer en refaisant l'historique, la nature du vide, l'idée qu'on s'en fait, a changé avec la TQC. Désormais, le vide ce n'est pas du "pur espace", mais l'état minimal d'énergie de l'ensemble des champs du Modèle standard des particules, l'état minimal étant défini par l'absence de particules réelles. Donc pas uniquement le photon. Tous les champs participent : électron, muons, neutrino, quark, photon, gluon, boson WZ, boson de Higgs, etc.

Chaque ħv/2 peut se voir comme une particule virtuelle. L'état minimal peut donc se s''interpréter comme une forme de génération spontanée de particules virtuelles, a toutes les fréquences. On somme ħv/2 pour v (nu, la fréquence) allant de 0 à l'infini. Bon en fait on coupe à la fréquence de Planck, qui est l'inverse du temps de Planck soit qqchose de collossal, et le résultat sans être inifini reste déraisonnablement grand, en désaccord flagrant avec la réalité physique : c'est le pb de la cte cosmo.