Bonjour,
Dans son cours sur la cosmologie Richard Taillet nous montre comment on calcul l' intervalle d'espace-temps entre deux événements avec le fameux ds2 dans la métrique FLRW.
Puis brusquement, sans explication, il nous dit que pour la lumière ds2 = 0
Donc je recherche des explications pour ce phénomène...
Merci
Les lignes d'univers correspondant à la vitesse limite sont celle dont le vecteur tangent est de carré scalaire nul (ds²=0). Il se trouve que la lumière se déplace à la vitesse limite (car masse nulle), donc sur une ligne d'univers dont le vecteur tangent est de carré scalaire nul (ds²=0).
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Bonjour,
en complément, une autre façon de le voir est que l'on peut calculer la distance dans l'espace-temps de Minkowski en utilisant la métrique (exprimée dans les coordonnées cartésiennes
Pour calculer la distanceentre deux points d'espace temps
A la deuxième égalité j'ai utilisé l'astuce brusque de physicien de "factoriser par dt". La façon propre de le faire est de d'abord définir une courbe paramétrée entre
Le point important est que pour la lumière, elle se déplace à la vitesse ... de la lumière
et la distance d'espace temps ci dessus devient l'intégrale de zero, qui est zero. Donc la distance d'espace temps parcourue par la lumière est toujours nulle.
Dernière modification par Antonium ; 22/10/2024 à 15h20.
Merci
oui je savais que la lumière allait à la vitesse limite, mais en suivant ta formulation ma question deviendrait : pourquoi " le vecteur tangent est de carré scalaire nul."Les lignes d'univers correspondant à la vitesse limite sont celle dont le vecteur tangent est de carré scalaire nul
Inutile de répondre puisque maintenant grâce à Antonium j'ai une réponse détaillée.
Mais pourrais tu me préciser pour le vecteur tangent il est tangent à quoi ?
Merci Antonium j'ai tout compris et en plus tes calculs sont dans mes cordes.
Pour la façon propre de faire ce calcul, je passe mon tour, trop difficile pour moi.
Note : pour une des rares fois j'arrive à bien suivre la démonstration et ses calculs, par contre je trouve le résultat très étonnant :
" la distance d'espace temps parcourue par la lumière est toujours nulle."
Pourrais t'on traduire cela par la lumière reste toujours fixe dans l'espace-temps ?
Dernière modification par pachacamac ; 22/10/2024 à 16h48.
L'intervalle d'espace-temps n'est pas vraiment une distance au sens mathématique, puisque cette "distance" ne vérifie pas la propriété de séparation et que cette "distance"Envoyé par pachacamac
n'est pas définie positive. D'où les guillemets mis par Antonium sur le "théorème de Pythagore".
https://fr.wikipedia.org/wiki/Distan...C3%A9matiques)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Interv...e_lumi%C3%A8re
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Il s'agit du vecteur tangent à une ligne de l'espace-temps.Mais pourrais tu me préciser pour le vecteur tangent il est tangent à quoi ?
On peut le définir en considérant qu'une telle ligne est une courbe paramétrée, c'est à dire que les évènements de la ligne sont "numérotés" par un réel (le paramètre) qui évolue de façon monotone le long de celle-ci. On prend un évènement sur la courbe dont le paramètre vaut x, un autre dont le paramètre vaut x+h, on considère le segment de courbe entre ces deux évènements et on le divise par h. Si h tend vers 0, ce qu'on obtient est un vecteur tangent à la ligne en l'évènement dont le paramètre est x.
Dans le cas particulier où la courbe est une droite en espace-temps plat, le vecteur tangent est simplement le bipoint allant de l'évènement de paramètre x à l'évènement de paramètre x+h.
L'usage, pour une ligne d'univers de genre temps, est de considérer le temps propre de cette ligne comme paramètre, ce qui fait que le vecteur tangent obtenu est la quadrivitesse (de norme 1, ou c, ça dépend de la convention).
Pour une ligne de genre espace, on considère la longueur propre de cette ligne comme paramètre.
Pour une ligne de genre nul, il n'y a ni temps ni longueur propre, l'usage est de choisir le paramètre qui simplifiera les calculs dans le cas de figure considéré.
Je n'aime pas du tout ce type de formulation, justement parce qu'elle amène ce type de question qui me semble sans pertinence. Question de goût, je laisse Antonium s'en justifier." la distance d'espace temps parcourue par la lumière est toujours nulle."
Pourrais t'on traduire cela par la lumière reste toujours fixe dans l'espace-temps ?
m@ch3
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Bonjour,
Il est vrai que le mot "distance", qui même s'il peut très bien être défini mathématiquement pour des métriques non définies positives, prête à confusion car on a l'intuition de distance spatiales définies positives. Je suis d'accord que la formulation est ambigue en vulgarisation, malheureusement je n'ai pas de solution miracle. Il me semble que toute tentative de rendre ça intuitif sans passer par les maths conduit à des pirouettes linguistiques et des erreurs d'interprétations... C'est pour cela que j'ai accompagné mon mot "distance" de la formule qui va avec pour éviter toute ambiguité.
Après si on veut dire des choses comme "la lumière est fixe dans l'espace-temps", je n'y vois pas de contre-indication, à condition de savoir comment le justifier... Je suis d'avis de laisser les gens utiliser les mots qu'ils veulent pour décrire la physique, à condition qu'ils les accompagnent toujours d'une formule non ambigue. C'est un peu mon problème avec la vulgarisation sans maths, je ne vois pas comment bien la faire.
Merci à vous trois !
Et dans ce cas, ce n'est plus une distance, mais à choisir parmi le bestiaire mathématique.
Quelle(s) "distance(s)" coche(nt) les bonnes cases pour la relativité physique?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Distan...%A9ralisations
distance ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ quasi-distance ✔ ✘ ✔ ✔ ✔ métamétrique ✔ ✔ ✘ ✔ ✔ pseudo-distance ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ semi-distance ✔ ✔ ✔ ✔ ✘ distance faible ✔ ✘ ✔ ✘ ✔ pramétrique ✔ ✘ ✔ ✘ ✘ écart ✘ ✔ ✔ ✘ ✔
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Il vaudrait mieux utiliser systématiquement l'expression "intervalle d'espace-temps", même si c'est un peu plus long à dire ou à écrire que "distance"...
Quel beau bottage en touche.
Un intervalle d'espace-temps est de quel type mathématique parmi ceux cités précédemment?
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Non, c'est la seule façon de lever la confusion que peut amener l'usage du mot distance (utilisé dans la vie courante pour parler de la longueur qui sépare deux points de l'espace euclidien 3D, positive ou nulle), justement parce que :Quel beau bottage en touche.
Aucun.Un intervalle d'espace-temps est de quel type mathématique parmi ceux cités précédemment?
Merci.
Une pure invention de physique sans aucune équivalence en mathématique? Sacrément surprenant.
Antonium a l'air de dire qu'il y a une possibilité mathématique, mais je n'arrive pas trop à intuité laquelle. Il faudrait que j'y réfléchisse d'ailleurs.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Ou plutôt une branche des maths (les variétés pseudo-riemanniennes) dont le développement a été motivé par la physique, mais je ne vois pas ce que ça a de surprenant.
Non, les espaces quadratiques dont la forme est indéfinie (comme l'espace-temps de Minkowski) n'est pas une invention de la physique, ça existe déjà en maths. Par contre les concepts de "métrique" et de "distance" posent problèmes pour ce cas précis parce qu'ils exigent, entre autres choses, du "défini positif" (l'usage du terme "métrique" dans "métrique de Minkowski" est mathématiquement fautif). La page en question recense des variantes de ces concepts pour lesquels diverses exigences ont été relâchées. Cette liste de variante n'est pas exhaustive (on peut en inventer d'autres), elle contient une variante compatible avec le cas Minkowski mais ne suffit pas à le décrire suffisament.
Quasi-distance ne marche pas car impose d(x,y)=0 ssi x=y (or si x et y sont séparés par du genre nul on aurait d(x,y)=0 alors que x différent de y), sans parler de l'inégalité triangulaire qu'elle impose (voir ligne du dessous).
Pseudo-distance et distance faible marchent mieux de ce point de vue car on peut avoir d(x,y)=0 si x différent de y, mais ils imposent une inégalité triangulaire stricte incompatible avec le cas d'un triangle dont les côté sont tous de genre temps (l'inégalité triangulaire est inversée dans ce cas).
Semi-distance c'est ok pour l'inégalité triangulaire qui n'est pas imposée, mais pas ok pour le genre nul.
"Pramétrique" marche, mais il ne décrit pas assez la structure : pas d'inégalité triangulaire du tout, alors que chez Minkowski, il y a inégalité triangulaire dans certains cas et l'inégalité inverse dans d'autres.
m@ch3
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Merci Mach3.
L'article français de wikipedia n'est pas des plus clairs : https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Minkowski
M'en vais lire l'anglais : https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_space
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour
En fait ds² est un tenseur (0,2), voir dans
https://preposterousuniverse.com/wp-...rnotes-two.pdf
p.48 sous équation 2.32 : extrait:
"Perhaps this is a good time to note that most references are not sufficiently picky to distinguish between “dx”, the informal notion of an infinitesimal displacement, and “dx”, the rigorous notion of a basis one-form given by the gradient of a coordinate function. In fact our notation “ds²” does not refer to the exterior derivative of anything, or the square of anything; it’s just conventional shorthand for the metric tensor. On the other hand, “(dx)²” refers specifically to the (0, 2) tensor dx ⊗ dx."
Cordialement
Tout à fait. Perso j'utilise "forme métrique" plutôt que "métrique", ça évite déjà une partie des confusions. C'est plus précisément une "forme bilinéaire", un opérateur qui à deux vecteurs associe un réel.
Dernière modification par Amanuensis ; 27/10/2024 à 08h48.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Pour prolonger le texte cité, ds² est une horrible notation, pour plusieurs raisons, l'une est qu'il n'y a pas de "s" défini ! Dans dx²+dy²+dz², x, y et z sont des coordonnées sur tout un espace. "s" n'est pas une coordonnées sur l'espace-temps. Ensuite, le carré fait croire à une quantité positive. Il n'en est rien "ds²" peut être positif, négatif ou nul. Et enfin, c'est "dans le vide", on ne sait pas à quoi cela s'applique.
Bref, en toute rigueur (et utiliser de belles formules mathématiques si satisfaisantes exige la rigueur), on ne devrait pas écrire "ds²". Formellement c'est le résultat de l'application de la forme bilinéaire.
Un exemple d'autre écriture serait de noter la forme bilinéaire g(v, w) avec v et w des vecteurs, linéaire en chacun de ses arguments. "ds²" est l'écriture vulgaire pour g(v, v), l'application de la forme bilinéaire avec un même vecteur pour les deux arguments.
Enfin, quand ds² est présenté comme égal à telle expression avec des dx, ..., c'est une formule pour expliciter comment s'applique la forme bilinéaire à deux vecteurs infinitésimaux donnés par leurs coordonnées dans une certaine base.
Dans le cas précis, le résultat est la "mesure" d'un déplacement infinitésimal dans l'espace-temps.
Dernière modification par Amanuensis ; 27/10/2024 à 09h04.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
