disque de Poincaré et pseudo métrique de Minkowski

[Tartempion314]

Bonjour,

Je lis sur Wikipédia (art Disque de Poincaré) qu'une nappe de l'hyperboloïde à deux nappes est un modèle du disque de Poincaré (voir schéma en pj).

D'autre part je lis (art Géométrie hyperbolique) que :
Dans ce modèle, étudié par Poincaré l'espace hyperbolique est une nappe d'un hyperboloïde muni d'une métrique particulière. Plus précisément, dans l'espace de Minkowski, c'est-à-dire Rⁿ⁺¹, muni de la pseudo-métrique –dx₀² + dx₁² + dx₂² +....
C'est la nappe de l'hyperboloïde d'équation –x₀² + x₁² + x₂² +....x2 = 1
, munie de la pseudo-métrique induite, qui est en fait une métrique riemannienne homogène. Minkowski a montré en 1908 que ce modèle s'identifiait à l'espace des vecteurs-vitesse de la relativité restreinte.

Cela m'amène à 4 questions :

Mis à part que les deux formes quadratiques ont la même signature je ne vois pas bien le lien.
1) La pseudo métrique de Minkowski est celle de l'espace temps de la relativité restreinte; faut il alors comprendre qu'il est un espace hyperbolique ?

2) L'article parle de l'espace des vecteurs vitesses que j'ai déjà du mal à me représenter en mécanique non relativiste.

3) Comment faut il alors interpréter physiquement l'axiome des parallèles ?

4) La géométrie hyperbolique correspond à une surface à courbure négative. Sur un hyperboloïde à une nappe je vois bien la courbure négative. Mais sur l'hyperboloïde à deux nappes, pas du tout, et je ne vois pas comment il peut servir de modèle à cette géométrie.

Merci pour vos réponses
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[ThM55]

Bonjour,

Je lis sur Wikipédia (art Disque de Poincaré) qu'une nappe de l'hyperboloïde à deux nappes est un modèle du disque de Poincaré (voir schéma en pj).

D'autre part je lis (art Géométrie hyperbolique) que :
Dans ce modèle, étudié par Poincaré l'espace hyperbolique est une nappe d'un hyperboloïde muni d'une métrique particulière. Plus précisément, dans l'espace de Minkowski, c'est-à-dire Rⁿ⁺¹, muni de la pseudo-métrique –dx₀² + dx₁² + dx₂² +....
C'est la nappe de l'hyperboloïde d'équation –x₀² + x₁² + x₂² +....x2 = 1
, munie de la pseudo-métrique induite, qui est en fait une métrique riemannienne homogène. Minkowski a montré en 1908 que ce modèle s'identifiait à l'espace des vecteurs-vitesse de la relativité restreinte.

Cela m'amène à 4 questions :

Mis à part que les deux formes quadratiques ont la même signature je ne vois pas bien le lien.
1) La pseudo métrique de Minkowski est celle de l'espace temps de la relativité restreinte; faut il alors comprendre qu'il est un espace hyperbolique ?

2) L'article parle de l'espace des vecteurs vitesses que j'ai déjà du mal à me représenter en mécanique non relativiste.

3) Comment faut il alors interpréter physiquement l'axiome des parallèles ?

4) La géométrie hyperbolique correspond à une surface à courbure négative. Sur un hyperboloïde à une nappe je vois bien la courbure négative. Mais sur l'hyperboloïde à deux nappes, pas du tout, et je ne vois pas comment il peut servir de modèle à cette géométrie.

Merci pour vos réponses

1) Non. C'est la nappe de l'hyperboloïde qui est un espace hyperbolique. L'espace de Minkowski n'a pas de courbure, il est caractérisé par une métrique dite "lorentzienne" ou "pseudo-euclidienne", que certains ont aussi appelé "hyperbolique", mais amha c'est à proscrire car cela induit les lecteurs en erreur et d'ailleurs je pense que plus personne ne le fait. Dans le cas du modèle de Poincaré, c'est un espace hyperbolique à deux dimensions.

2) Il se fait qu'en relativité restreinte la vitesse covariante est un quadrivecteur de norme lorentzienne unité (ou c si on ne choisit pas les unités naturelles) de composante 0 positive, et son extrémité décrit donc la nappe supérieure d'un hyperboloïde. En physique, la représentation graphique sur les hyperboloïdes de masse est très utile, elle permet très rapidement de voir que certains processus de collisions ou de désintégrations sont possibles ou impossibles (par exemple une annihilation d'un électron et de son antiparticule le positron en un seul photon est impossible pour cette raison cinématique, celle en deux photons est possible).

3) que voulez-vous dire par "interpréter physiquement"?

4) je suppose que vous parlez de l'hyperboloïde à 2 nappes par opposition à l'hyperboloïde à une nappe? Dans l'espace euclidien, celui à 2 nappes est certes de courbure positive, mais dans l'espace de Minkowski il est de courbure négative si on le dote de la métrique pseudo-euclidienne induite, mais ce n'est pas facile à voir "avec les yeux" ou en s'en faisant une image mentale. La courbure est calculable à partir de la métrique par les formules trouvées par Gauss pour les surfaces, sauf qu'il le faisait dans une métrique induite euclidienne.

[Tartempion314]

Merci ThM55 pour ces réponses,

1) Bien évidement que l'espace temps de la relativité restreinte est plat avec la pseudo métrique de Minkowski. C'est la mot hyperbolique qui m'a embrouillé l'esprit.

3) La question n'a plus de sens puisque l'espace temps en relativité restreinte n'est pas hyperbolique.

4) Dans l'espace euclidien, celui à 2 nappes est certes de courbure positive, D'accord, ça me rassure ....

mais dans l'espace de Minkowski il est de courbure négative si on le dote de la métrique pseudo-euclidienne induite,
Mais alors quand, dans le schéma joint, ils projettent une géodésique de la nappe supérieure de l'hyperboloïde sur un plan et qu'ils obtiennent le disque de Poincaré faut-il comprendre que la nappe était munie dès le de la métrique induite par celle de de Minkowski ? Dans ce cas les géodésiques de la nappe sont quel type de courbe ?

Et si la nappe est munie de la métrique euclidienne induite* quelles sont les géodésiques (des arcs de cercles dans le cas où les deux points à relier sont dans un plan perpendiculaire à l'axe de symétrie et des hyperboles quand les deux points appartiennent à un plan de symétrie); mais sinon ? Et alors on obtient quoi en les projetant sur le plan comme dans le schéma?

* par métrique euclidienne induite je veux dire que si l'on prend un segment infinitésimal ds on va calculer sa longueur par le théorème de Pythagore (comme on le fait sur la sphère, même si elle est un modèle de géométrie rimannienne)

[ThM55]

Et si la nappe est munie de la métrique euclidienne induite* quelles sont les géodésiques (des arcs de cercles dans le cas où les deux points à relier sont dans un plan perpendiculaire à l'axe de symétrie et des hyperboles quand les deux points appartiennent à un plan de symétrie); mais sinon ? Et alors on obtient quoi en les projetant sur le plan comme dans le schéma?

* par métrique euclidienne induite je veux dire que si l'on prend un segment infinitésimal ds on va calculer sa longueur par le théorème de Pythagore (comme on le fait sur la sphère, même si elle est un modèle de géométrie rimannienne)

La métrique pseudo-euclidienne induite, pas la métrique euclidienne. Ce n'est d'ailleurs pas dans ce cas, à strictement parler, l'espace de Minkowski, car le plan de Poincaré a deux dimensions et donc la nappe de l'hyperboloïde aussi, et comme elle est de codimension 1, l'espace en question est de dimension 3. Sauf erreur de ma part. Quand on a une hypersurface S de codimension 1 d'équation dans cet espace M de dimension 3 dont la métrique lorentzienne est (=diag(-1,1,1), quelle est la métrique induite? Le plus simple est de trouver une représentation paramétrique (u,v)->S. Comme , on peut choisir des coordonnées polaires-hyperboliques:







Ce choix vérifie l'équation de la surface . Trouver la métrique induite est un simple exercice de calcul de dérivées et de simplifications. On a



La coordonné u est la coordonnée radiale, depuis le centre et la coordonnée v est la coordonnée angulaire. On voit que cette métrique n'est pas définie positive. C'est un exercice élémentaire de calculer les géodésiques, soit en calculant la variation de la distance (ou de son carré), soit en prenant le chemin des symboles de Christoffel. Mais du fait du signe moins devant du^2 il est clair qu'on est dans une géométrie pseudo-euclidienne, on ne peut pas utiliser le théorème de Pythagore.

Je ne connais pas bien cette construction du disque de Poincaré, mais elle est intéressante. De plus je m'aperçois qu'on est en astrophysique et il me semble que cela ressemble plutôt à des maths.

[A voir en vidéo sur Futura]