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12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées



  1. #1
    bedouin

    12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées


    ------

    On a 12 boules d'aspect identique.
    Pourtant une boule diffère des onze autres de par son poids.
    Elle peut être soit plus lourde, soit plus légère que les onze autres.

    On dispose d'une balance à plateaux permettant de comparer le poids de deux objets.

    Comment trouver la boule intruse en 3 pesées et dire si elle est plus lourde ou plus légère que les onze autres ?

    Chronométrez le temps que vous mettez à trouver.

    (Il n'y a pas de trucs bizarres ou tordus).

    -----
    La Caravane passe...

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  3. #2
    humanino

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Bonjour,
     Cliquez pour afficher

    Temps mis pour trouver la reponse : heu, trois secondes Me suis plante ?
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  4. #3
    bedouin

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Faux.

     Cliquez pour afficher


    Donc t'as deja 3 secondes au compteur....continue
    Dernière modification par bedouin ; 05/04/2007 à 22h03.
    La Caravane passe...

  5. #4
    humanino

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    oops je me suis plante
    c'est pas si facile en fait
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    LEBRICOLO

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    tu pese 4 boules plateau de gauche et 4 plateau de droit, si ca ne bouge pas elle est dans les 4 autres.
    Tu peses donc les 4 restantes ou les 4 qui ont fait pencher la balance.
    du coté gauche 2 droit 2 , la balance penche du cote des 2 plus lourdes, tu pese donc 1 bille a droit lautre a gauche et hop , c'est dans la poche

  8. #6
    bedouin

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Encore râté.

     Cliquez pour afficher
    La Caravane passe...

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  10. #7
    humanino

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Ouais moi je croyais (encore) avoir trouve une solution, mais en fait il s'avere qu'elle ne fonctionne pas. Je commence a douter qu'il y ait une solution. Y a-t-il vraiment une solution !?
    Dernière modification par humanino ; 05/04/2007 à 23h36.
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  11. #8
    bedouin

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Oui il y a une solution et même plusieurs.

    Et je répète il n'y pas de jeux de mots ou de trucs bizarres derrière, juste 3 pesées faites de manière intelligentes avec à chaque fois un maximum d'informations à mémoriser à chaque pesée.

    Une amie adepte de ce type de problème avait trouvé la solution en environs 1 heure c'est le meilleur score que je connaisse. C'est pas la NASA non plus, faut pas pousser.
    La Caravane passe...

  12. #9
    LEBRICOLO

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Oui en effet j'ai mal lu l'énnoncé et sans rentrer en conjecture (N = 4 x 3n-2), hi hi ;
    on commence bien par 1 pesée de 8 boulles (4 à droite et 4 à gauche) si équilibre sur les 4 restantes on en prend 3 et pesée avec une boulle des 8 premières, qui est considérée comme étalon parce qu'identique entre elles quatre, si dans ce cas il y équilibre c'est la boulle restante que l'on pèse avec la boulle étalon, si plus léger la boulle étalon plateau bas si non plus lourd.
    Si à la première pesée bascule du plateau, 2ème pesée on prend les 4 du plateau bas que l'on réparties 2 a gauche +1 boulle étalon et 2 à droite avec une boulle du plateau haut ,
    - si équilibre les 3 restantes non pesées contiennent une plus légère;
    - si penche du coté des 2 + étalon alors on récupère les 2 boulles et la boulle du plateau haut , on pèse alors les 2 boulles qui étaient avec l'étalon , si équilibre c'est la boulle du plateau haut la plus légère
    et autres versions selon les types de déplacement de la balance.

  13. #10
    Médiat

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    En n pesées, il est possible de déterminer la boule différente et de dire si elle est plus lourde ou plus légère parmi boules.

    S'il n'est pas nécessaire de dire si la boule est plus lourde ou plus légère (simplement la déterminer), la formule devient (soit une boule de plus).


    J'avais fait cette démonstration il y a un an, il faudrait que je la retrouve...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    ClaudeH

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Bonjour..

    Je numérote mes boules de 1 à 12

    X le premier plateau et Y le deuxième.
    Je fais:
    X: 1 2 3 4 et Y: 5 6 7 8
    Si X=Y, les 8 premieres boules ont le même poids. Je fais ensuite X: 1 2 3 et Y: 9 10 11
    si X=Y je fais X: 1 et Y: 12. Dans se cas X peut être égale à Y
    Mais si X < Y, la 12 est la plus lourde
    Je crois.

  15. #12
    bedouin

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Citation Envoyé par ClaudeH Voir le message
    Bonjour..

    Je numérote mes boules de 1 à 12

    X le premier plateau et Y le deuxième.
    Je fais:
    X: 1 2 3 4 et Y: 5 6 7 8
    Si X=Y, les 8 premieres boules ont le même poids. Je fais ensuite X: 1 2 3 et Y: 9 10 11
    si X=Y je fais X: 1 et Y: 12. Dans se cas X peut être égale à Y
    Mais si X < Y, la 12 est la plus lourde
    Je crois.
    ClaudeH, il faut traiter tous les cas.
    A ta première pesée tu traite le cas X=Y et tu oublie le cas X ≠ Y.
    A chaque pesée tu as 2 possibilités et il faut traiter les 2.
    La Caravane passe...

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  17. #13
    yat

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Hé hé... je pense qu'il serait difficile d'exposer ici un problème de balance qui n'ait pas encore été posé. C'est vrai que ça remonte à loin. Mais cette énigme m'avait pas mal perturbé à l'époque. (solution en post 18)

    Il y a eu un fil avec le même genre d'énoncé, et une technique très pratique présentée par mmy un peu plus tard.

  18. #14
    bedouin

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Oui ça y ressemble...mais pas 100% pareil.
    La Caravane passe...

  19. #15
    invité576543
    Invité

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Oui ça y ressemble...mais pas 100% pareil.
    Ah bon?

    Et en quoi cela diffère-t-il?

    Cordialement,

  20. #16
    bedouin

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Il y a 12 boules et pas 13....et en plus elles sont vertes...

    C'est vrai mais bon en ce bas monde on ressort souvent des vieux prob. de derrière les fagots et forcément avant d'arriver chez nous c'est passé ailleurs...il n'y a ni copyright ni exclusivité.

    Bon alors un petit facile pour la route:

    Un joailler a 10 ouvriers qui travaillent pour lui et fabrique tous la même bague.
    Au bout de quelques temps, le patron se rend compte que l'un de ses ouvriers le vol. Il lui soutire 0.1 gr d'or par bague que cet ouvrier fabrique.

    Le patron dispose d'une balance de précision iindiquant un poids donné.

    Comment en une seule pesée peut il trouver le voleur ?
    La Caravane passe...

  21. #17
    invité576543
    Invité

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Bonjour,

    Citation Envoyé par bedouin Voir le message
    Il y a 12 boules et pas 13....et en plus elles sont vertes...
    Le cas 12 boules est bien traité dans les fils cités par Yat. C'est un sujet que je connais bien (Et le vrai défi est de trouver une solution pour (3n-3)/2 boules, quel que soit n...)

    Un joailler a 10 ouvriers qui travaillent pour lui et fabrique tous la même bague.
    Au bout de quelques temps, le patron se rend compte que l'un de ses ouvriers le vol. Il lui soutire 0.1 gr d'or par bague que cet ouvrier fabrique.

    Le patron dispose d'une balance de précision indiquant un poids donné.

    Comment en une seule pesée peut il trouver le voleur ?
    Heureusement qu'il n'y a pas de copyright!

    Cordialement,

  22. #18
    yat

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Alors en fait, pour récapituler, le problème du premier lien, c'est 13 boules, sans avoir besoin de déterminer si la boule est plus lourde et plus légère.

    Dans le deuxième lien, on a :
    -12 boules, déterminer si la boule est plus lourde ou plus légère
    -13 boules + 1 boule témoin, déterminer si la boule est plus lourde ou plus légère
    -13 boules + 1 boule témoin, déterminer s'il y a une boule différente des autres, et si elle est plus lourde ou plus légère.

    Le problème de ce fil est donc le même que le 1er du deuxième fil. La solution n'y est pas donnée explicitement, mais avec la technique magique de la base symétrique de mmy, ça se fait tout seul.

    Enfin, presque tout seul : en effet, je m'y suis peut-être mal pris, mais l'abscence de boule témoin m'a un peu cassé la symétrie, donc j'ai été obligé d'inverser manuellement les codes de boules qui permettaient de garder l'équilibre, au lieu de simplement prendre les boules paires. J'obtiens les codes suivants :
    1 0 0 +
    2 0 + -
    3 0 + 0
    4 0 + +
    5 + - -
    6 + - 0
    7 - + -
    8 + 0 -
    9 - 0 0
    10 + 0 +
    11 - - +
    12 - - 0


    Pour la suite, il suffit d'appliquer la méthode : pour chaque pesée je mets d'un coté les boules qui ont un + au rang correspondant, et de l'autre coté celles qui ont un -. Ca me donne :

    Première pesée : 5,6,8,10 / 7,9,11,12
    Deuxième : 2,3,4,7 / 5,6,11,12
    Troisième : 1,4,10,11 / 2,5,7,8

    On fait les trois pesées, on marque un + quand ça penche à gauche, un - quand ça penche à droite, on cherche le code dans la table. S'il y est, on a notre boule, elle est plus lourde. Si ell en'y est pas, on inverse les + et les -, on cherche le code dans la table, on a notre boule, elle est plus légère.

    Je trouve ça beaucoup plus élégant que les solutions proposées habituellement : il n'y a rien de conditionnel, les pesées sont déterminées à l'avance.

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  24. #19
    invité576543
    Invité

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Citation Envoyé par yat Voir le message
    Enfin, presque tout seul : en effet, je m'y suis peut-être mal pris, mais l'absence de boule témoin m'a un peu cassé la symétrie, donc j'ai été obligé d'inverser manuellement les codes de boules qui permettaient de garder l'équilibre
    Tout à fait! Avais-je omis de préciser cela dans mes explications? Possible...

    Sinon, je suis surpris par le tableau.

    Je numérote en enlevant la 7 et en gardant la 13. Et les signes sont alternés (positif pour les impairs, négatif pour les pairs). Soit la liste suivante:

    00+
    0-+
    0+0
    0--
    +--
    -+0

    -0+
    +00
    -0-
    ++-
    --0
    +++

    Ton tableau marche, mais est moins régulier que celui donné ici. Celui-ci permet facilement l'extension à toute taille.

    (Oter la 7 me semble obligatoire, c'est la seule qui soit en face de la boule ajoutée dans toutes les pesées dans la solution générique avec une boule témoin... Faut que je comprenne ton tableau...)

    Cordialement,
    Dernière modification par invité576543 ; 06/04/2007 à 15h14.

  25. #20
    invité576543
    Invité

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Sinon, dans mes papiers, la suite complète du raisonnement est la suivante:

    1/ Cas avec autant de boules témoin que nécessaire

    Alors on numérote en base 3sym de 1 à 13, on compose les pesées selon les "symternales", et on complète par des boules témoins pour équilibrer. Que ça donne le bon résultat tombe tout seul, c'est assez trivial quand on y pense!

    2/ Cas avec une seule boule témoin

    En partant du cas précédent, on se rend compte qu'on peut réduire à une seule boule témoin en permutant les boules de numéro pair avec une boule témoin de l'autre plateau et en enlevant les boules témoins en nombre égal sur les plateaux.

    Ca revient à numéroter les boules paires par le nombre négatif au lieu du positif

    3/ Cas sans boule témoin

    On constate dans la solution précédente que la boule témoin est toujours en face de la boule 7 (génériquement la boule de numéro la moitié de +----...). Il suffit d'enlever de toutes les pesées cette boule et la boule témoin. QED.

    Cordialement

  26. #21
    yat

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Sinon, je suis surpris par le tableau.
    Bah y a pas de quoi... j'ai simplement sélectionné à la main les codes à inverser pour que les trois pesées deviennent équilibrées. Au lieu d'inverser les paires ou les impaires, j'ai inversé 7, 9, 11 et 12. Un peu au pif, en tâtonnant un peu.
    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Je numérote en enlevant la 7 et en gardant la 13. Et les signes sont alternés (positif pour les impairs, négatif pour les pairs).(...)(Oter la 7 me semble obligatoire, c'est la seule qui soit en face de la boule ajoutée dans toutes les pesées dans la solution générique avec une boule témoin... Faut que je comprenne ton tableau...)
    Mmhhh... oui, ça a l'air cohérent pour 12, mais comment on fait pour passer à 11 boules, par exemple ?

  27. #22
    invité576543
    Invité

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Citation Envoyé par yat Voir le message
    mais comment on fait pour passer à 11 boules, par exemple ?
    Me suis jamais posé la question, j'ai toujours regardé le nombre max!

    Faudrait trouver une approche générique pour 5 à 11 boules... Intéressant!

    Cordialement,

  28. #23
    invité576543
    Invité

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Ah... Facile pour 11

    Les pesées avec une seule boule témoin sont telles que la boule témoin est en -+-, en position inverse de la 7.

    Pour 11 suffit d'enlever deux boules dont les numéros se combinent en 7, soit +-+, avec les bonnes parités. Par exemple +00 et 0-+, les boules 9 et -2.

    Mais ça ne se généralise pas aux nombres de 5 à 10...

    Cdlt,

  29. #24
    invité576543
    Invité

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Si on part de la solution générique avec une boule témoin, enlever p boules revient à trouver p nombres tels que leur somme vaut 7, avec des nombres pairs négatifs et des nombres impairs positifs.

    A la mano, on trouve des solutions...

    Par exemple:

    Pour p=1 ou 2, on a 7=7, et 7 = 9-2.

    Pour p=3 on trouve 13-2-4

    Pour p=4, on trouve 1+5+13-12

    Cdlt

  30. Publicité
  31. #25
    invité576543
    Invité

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    p=5, 3+5+13-12-2
    p=6, 7+5+13-12-2-4
    p=7, 7+11+13-12-2-4-6
    p=8, 1+3+7+11+13-12-10-6

    Un peu trop à la main à mon goût, mais programmable...

    Cdlt,

  32. #26
    yat

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Ah... Facile pour 11

    Les pesées avec une seule boule témoin sont telles que la boule témoin est en -+-, en position inverse de la 7.
    Ok, je crois que je commence à comprendre quelque chose qui m'avais complêtement échappé : après ton inversion des pairs, le déséquilibre entre les deux plateaux n'est toujours pas constant, alors la boule témoin est une fois d'un coté, une fois de l'autre... à l'époque, dans ma solution à moi, j'avais mis la boule témoin toujours du même coté. Les codes devaient donc être strictement équilibrés.

    Comme ici on n'a plus de boule témoin, il faut rétablir la parité, et ce en enlevant une boule. Tout devient plus clair.

    Finalement, le tâtonnement de la généralisation de ta méthode pour p>0 ressemble à peu près à celui que j'ai du faire dans ma solution. Au lieu de garder la rêgle de parité et de choisir les boules que je retire, je garde les boules 1 à 12, et je choisis celles que j'inverse, pour compenser le déséquillibre.

  33. #27
    homotopie

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    Citation Envoyé par bedouin Voir le message
    Bon alors un petit facile pour la route:

    Un joailler a 10 ouvriers qui travaillent pour lui et fabrique tous la même bague.
    Au bout de quelques temps, le patron se rend compte que l'un de ses ouvriers le vol. Il lui soutire 0.1 gr d'or par bague que cet ouvrier fabrique.

    Le patron dispose d'une balance de précision iindiquant un poids donné.

    Comment en une seule pesée peut il trouver le voleur ?
    Bonjour,
    apparemment on a oublié de donner la réponse à cet autre classique. Je vais en profiter, ce n'est pas souvent.
    On attribue un numéro de 1 à 10 à chaque ouvrier (un numéro distinct pour chacun évidemment).
    Puis on pèse un lot constitué d'une bague de l'ouvrier 1, 2 pour le 2,..., 10 pour l'ouvrier 10.
    Il manquera p(gr)=kx0,1 à la pesée, p étant connue k=p(gr)/0,1.

  34. #28
    bedouin

    Re : 12 boules - 1 balance à plateaux - 3 pesées

    homotopie: oui, c'est juste.
    La Caravane passe...

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