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Un cube et trois cylindres



  1. #1
    mary.shostakov

    Un cube et trois cylindres


    ------

    Soit un cube de 10 cm de côté.
    Soit 3 cylindres inscrits dans le cube.
    Les bases de chaque cylindre sont inscrites dans les carrés opposés du cube, respectivement, et chaque carré du cube comprend une base de cylindre qui y est inscrite. Par conséquent les cylindres forment entre eux un angle droit et s’interpénètrent pour occuper un espace dans le cube.
    Donner le volume de cet espace.

    -----

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  3. #2
    martini_bird

    Re : Un cube et trois cylindres

    Salut,

     Cliquez pour afficher


    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #3
    Médiat

    Re : Un cube et trois cylindres

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Salut,

     Cliquez pour afficher
    Première approximation :
    entre le volume de la sphère de rayon 5 (en cm) et la sphère de rayon
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    Médiat

    Re : Un cube et trois cylindres

    Pour les amateurs d'images :
    Images attachées Images attachées
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Médiat

    Re : Un cube et trois cylindres

    Une autre image avec la sphère de rayon 5 (sphère inscrite) et la sphère de rayon
    Images attachées Images attachées
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #6
    martini_bird

    Re : Un cube et trois cylindres

    Citation Envoyé par Médiat
    Pour les amateurs d'images :
    Merci Médiat,

    du coup ma réponse est archi-fausse.

    Je propose :



    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  10. #7
    Médiat

    Re : Un cube et trois cylindres

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Nous sommes d'accord
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    _Goel_

    Re : Un cube et trois cylindres

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message

    Je propose :



    Salut...

    Ca fait longtemps que j'ai pas vu d'intégrales triples... mais ca ressemble au volume de 3 cylindres... où lire dans la formule l'interpénétration ?
    Le succès c'est d'être capable d'aller d'échec en échec sans perdre son enthousiasme

  12. #9
    _Goel_

    Re : Un cube et trois cylindres

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Pour les amateurs d'images :
    Mais quel logiciel utilises-tu ????
    Le succès c'est d'être capable d'aller d'échec en échec sans perdre son enthousiasme

  13. #10
    mary.shostakov

    Re : Un cube et trois cylindres

    Et combien de cm3 ça donne ?

  14. #11
    martini_bird

    Re : Un cube et trois cylindres

    Salut...

    Ca fait longtemps que j'ai pas vu d'intégrales triples... mais ca ressemble au volume de 3 cylindres... où lire dans la formule l'interpénétration ?
    Salut,

    les cylindres (pleins) sont les parties . Le domaine dont on cherche à calculer le volume est l'intersection de ces trois cylindres, donc l'ensemble décrit par la conjonction des trois conditions.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  15. #12
    mary.shostakov

    Re : Un cube et trois cylindres

    Pardon de vouloir insister, mais quel est le volume demandé en centimètre cubes, étant donné que le cube dans lequel sont inscrits les trois cylindres interpénétrés fait 10 cm de côté ?

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  17. #13
    martini_bird

    Re : Un cube et trois cylindres

    Salut,

    Pardon de vouloir insister, mais quel est le volume demandé en centimètre cubes, étant donné que le cube dans lequel sont inscrits les trois cylindres interpénétrés fait 10 cm de côté ?
    Patience, on avait bien compris ta question ! Je verrai cet après-midi pour faire le calcul.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  18. #14
    Médiat

    Re : Un cube et trois cylindres

    Citation Envoyé par _Goel_ Voir le message
    Mais quel logiciel utilises-tu ????
    PovRay, logiciel de lancé de rayon, complètement gratuit et disponible
    Dernière modification par martini_bird ; 25/04/2007 à 06h12. Motif: Correction de l'url
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #15
    _Goel_

    Re : Un cube et trois cylindres

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Salut,

    les cylindres (pleins) sont les parties . Le domaine dont on cherche à calculer le volume est l'intersection de ces trois cylindres, donc l'ensemble décrit par la conjonction des trois conditions.

    Cordialement.
    Merci ! (je viens de piger !)

    PovRay, logiciel de lancé de rayon, complètement gratuit et disponible Là
    Et re-MErci !
    Le succès c'est d'être capable d'aller d'échec en échec sans perdre son enthousiasme

  20. #16
    mary.shostakov

    Re : Un cube et trois cylindres

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Salut,

    Patience, on avait bien compris ta question ! Je verrai cet après-midi pour faire le calcul.

    Cordialement.
    Ne vous pressez pas trop, quand même, car vous risquez fort de vous tromper si vous ne voyez pas le piège dans lequel vous risquez fort d'être déjà tombé ...

  21. #17
    mary.shostakov

    Re : Un cube et trois cylindres

    Je sens que je vais me faire haïr ...

  22. #18
    ABN84

    Re : Un cube et trois cylindres

    bonjour,
    Par conséquent les cylindres forment entre eux un angle droit et s’interpénètrent pour occuper un espace dans le cube.
    Donner le volume de cet espace.
    je me trompe peut etre, mais il me semble que ce qui est demandé c'est le volume occupé par les 3 cylindres et non leur intersection. ce qui correspondrait à trois fois le volume d'un cylindre moins deux fois celui de l'intersection
    "Engineering is the art of making what you want from what you get"

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  24. #19
    fderwelt

    Re : Un cube et trois cylindres

    Citation Envoyé par einstein Voir le message
    je me trompe peut etre, mais il me semble que ce qui est demandé c'est le volume occupé par les 3 cylindres et non leur intersection. ce qui correspondrait à trois fois le volume d'un cylindre moins deux fois celui de l'intersection
    Bonjour,

    Je n'avais pas pensé à cette interprétation... Si c'est ça c'est de la vraie perversion!

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  25. #20
    martini_bird

    Re : Un cube et trois cylindres

    Salut,
    Citation Envoyé par mary.shostakov Voir le message
    Je sens que je vais me faire haïr ...


    J'ai regardé un peu tout à l'heure, mais je ne vois pas de moyen simple d'effectuer le calcul sans poser au moins une petite intégrale (que je n'ai pas posée). Peux-tu confirmer que c'est faisable avec de la "géométrie élémentaire" ?

    EDIT :
    Citation Envoyé par einstein
    je me trompe peut etre, mais il me semble que ce qui est demandé c'est le volume occupé par les 3 cylindres et non leur intersection. ce qui correspondrait à trois fois le volume d'un cylindre moins deux fois celui de l'intersection
    Ca n'empêcherait pas qu'il faut calculer le volume de l'intersection, si ?

    RE-EDIT : ah ben ça fait tilt : c'est ptet plus simple de calculer le volume occupé par un cylindre privé de l'intersection !

    Cordialement.
    Dernière modification par martini_bird ; 25/04/2007 à 16h56.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  26. #21
    mary.shostakov

    Re : Un cube et trois cylindres

    Citation Envoyé par einstein Voir le message
    bonjour,
    je me trompe peut etre, mais il me semble que ce qui est demandé c'est le volume occupé par les 3 cylindres et non leur intersection. ce qui correspondrait à trois fois le volume d'un cylindre moins deux fois celui de l'intersection
    Il y a en effet deux interprétations possibles de l'énoncé du problème. Celle du volume des trois cylindres complets moins celui de deux de leurs intersections et celle du volume de leur seules intersections.

    Partons du principe que les deux interprétations sont aussi valables l'une que l'autre et acceptons celle qui a été choisie par les participants à ce jeu ...

    Le piège est ailleurs

  27. #22
    danyvio

    Re : Un cube et trois cylindres

    Citation Envoyé par einstein Voir le message
    bonjour,
    je me trompe peut etre, mais il me semble que ce qui est demandé c'est le volume occupé par les 3 cylindres et non leur intersection. ce qui correspondrait à trois fois le volume d'un cylindre moins deux fois celui de l'intersection
    Soit, mais dans tous les cas il faudra bien évaluer le volume de l'intersection en bons centimètres cubes bien de chez nous
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  28. #23
    mary.shostakov

    Re : Un cube et trois cylindres

    Citation Envoyé par fderwelt Voir le message
    Si c'est ça c'est de la vraie perversion!
    La perversion concernant ce problème est encore plus aiguë que vous ne le pensez, cher ami ...


  29. #24
    yat

    Re : Un cube et trois cylindres

    J'ai bien une solution, mais je crois qu'il reste une ou deux bananes dedans, parce que ça ne me donne pas le même résultat que la force brute.

    Pour commencer, je tente de simplifier un tout petit peu les expressions en passant le coté du cube à 2, parce que je n'aime pas me trimballer des constantes. Je prends un repère centré sur le centre du cube, les équations de mes trois cylindres sont x²+y²=1, x²+z²=1 et y²+z²=1.

    Je considère ensuite les 8 "coins", qui sont les points d'intersection des 3 cylindres. Leurs coordonnées sont donc, aux signes près, (,,). Je peux alors découper la figure en un cube, dont je viens de définir les sommets, et six sortes de pyramides aplaties à base carrée. Le volume du cube est , je m'intéresse maintenant au volume des "pyramides".

    En considérant celle du haut, je peux facilement déterminer en fonction de z la surface de l'intersection entre ma pyramide et le plan z. En effet, les arètes de la pyramide sont les intersections des deux cylindres définis par x²+z²=1 et y²+z²=1. Les coordonnées des 4 coins du carré d'intersection sont donc, aux signes de x et de y près, (,,z). Le coté de mon carré est donc , sa surface est . Pour calculer le volume de cette pyramide, il me suffit donc d'intégrer ça entre et 1. J'obtiens comme primitive , et un volume de .

    En multipliant ce volume par 6 et en ajoutant celui du cube de tout à l'heure, j'obtiens environ 5,2228, c'est à dire environ 652,85 centimètres cube si je reviens à l'échelle de la question de départ, ce qui est à mon avis faux. Mais bon... comme je n'ai pas particulièrement vu la perversion de la chose, j'ai de toutes façons du passer complêtmeent à coté de quelque chose

    EDIT : ouaouh, je viens de voir une première belle banane dans mes calculs. Pas étonnant que mon résultat soit faux. Je corrige et je reviens.

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  31. #25
    yat

    Re : Un cube et trois cylindres

    Yes, ça y est, je trouve le même résultat qu'avec mon petit programme...
    Il suffit donc de remplacer toutes mes par des (grossière erreur au début : on a x²+y²=x²+z²=y²+z²=1 et pas x²+y²+z²=1, où avais-je la tête ? ). Mon resultat final devient donc environ 585,79 centimètres cube.

  32. #26
    mary.shostakov

    Re : Un cube et trois cylindres

    yat, si vous me permettez cette remarque amicale qui risque néanmoins de vous paraître odieuse, ce n'est pas d'une banane dont je parlerais à votre place mais de la totalité des régimes d'une bananeraie complète.

  33. #27
    fderwelt

    Re : Un cube et trois cylindres

    Citation Envoyé par mary.shostakov Voir le message
    La perversion concernant ce problème est encore plus aiguë que vous ne le pensez, cher ami ...
    Je m'en doute, c'est (aussi) pour ça que je ne me risque pas à proposer une solution...

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  34. #28
    ABN84

    Re : Un cube et trois cylindres

    Bonsoir,
    l'intersection de 3 cylindres de diametres 10 donne exactement comme l'a dit yat 585.79
    si vous dites que ce n'est pas la bonne solution, ça implique que ce que nous devons chercher n'est pas l'intersection de 3 cylindres. et dans ce cas votre enancé est ambigü.
    helas, ça me rappelle une autre enigme que vous avez enancé, et qui a enervé tout le monde par son manque de clareté. nous ne pouvons quand meme pas lire dans vos pensées pour savoir ce à quoi vous faites allusion. alors pour rester dans la bonne humeur, il serait bien que vous enanciez le probleme tres clairement sans aucune ambiguté, faute de quoi:
    Je sens que je vais me faire haïr ...
    "Engineering is the art of making what you want from what you get"

  35. #29
    mary.shostakov

    Re : Un cube et trois cylindres

    Je confirme d'une part que la solution passe bien par la définition de l'intersection des trois cylindres en question et d'autre part que la solution n'a pas encore été trouvée.

  36. #30
    Médiat

    Re : Un cube et trois cylindres

    Citation Envoyé par einstein Voir le message
    helas, ça me rappelle une autre enigme que vous avez enancé, et qui a enervé tout le monde par son manque de clareté.
    Je dirais deux autres (cf. projections où la solution de nico2685 est refusée pour une raison non précisée dans l'énoncé, raison qui permettrait de réfuter la solution de LEBRICOLO néanmoins acceptée et même qualifiée de la solution (c'est moi qui souligne)) .

    Cette intervention n'a bien qu'un seul but : me faire haïr !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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