Un cube et trois cylindres

[invite9c0cbce3]

Soit un cube de 10 cm de côté.
Soit 3 cylindres inscrits dans le cube.
Les bases de chaque cylindre sont inscrites dans les carrés opposés du cube, respectivement, et chaque carré du cube comprend une base de cylindre qui y est inscrite. Par conséquent les cylindres forment entre eux un angle droit et s’interpénètrent pour occuper un espace dans le cube.
Donner le volume de cet espace.
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[invite4793db90]

Salut,

 Cliquez pour afficher

Ne serait-ce pas le volume de la boule inscrite ?

Cordialement.

[Médiat]

Salut,

 Cliquez pour afficher

Ne serait-ce pas le volume de la boule inscrite ?

Première approximation :
entre le volume de la sphère de rayon 5 (en cm) et la sphère de rayon

[Médiat]

Pour les amateurs d'images :

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Une autre image avec la sphère de rayon 5 (sphère inscrite) et la sphère de rayon

[invite4793db90]

Pour les amateurs d'images :

Merci Médiat,

du coup ma réponse est archi-fausse.

Je propose :

[Médiat]

Nous sommes d'accord

[_Goel_]

Je propose :

Salut...

Ca fait longtemps que j'ai pas vu d'intégrales triples... mais ca ressemble au volume de 3 cylindres... où lire dans la formule l'interpénétration ?

[_Goel_]

Pour les amateurs d'images :

Mais quel logiciel utilises-tu ????

[invite9c0cbce3]

Et combien de cm3 ça donne ?

[invite4793db90]

Salut...

Ca fait longtemps que j'ai pas vu d'intégrales triples... mais ca ressemble au volume de 3 cylindres... où lire dans la formule l'interpénétration ?

Salut,

les cylindres (pleins) sont les parties . Le domaine dont on cherche à calculer le volume est l'intersection de ces trois cylindres, donc l'ensemble décrit par la conjonction des trois conditions.

Cordialement.

[invite9c0cbce3]

Pardon de vouloir insister, mais quel est le volume demandé en centimètre cubes, étant donné que le cube dans lequel sont inscrits les trois cylindres interpénétrés fait 10 cm de côté ?

[invite4793db90]

Salut,

Pardon de vouloir insister, mais quel est le volume demandé en centimètre cubes, étant donné que le cube dans lequel sont inscrits les trois cylindres interpénétrés fait 10 cm de côté ?

Patience, on avait bien compris ta question ! Je verrai cet après-midi pour faire le calcul.

Cordialement.

[Médiat]

Mais quel logiciel utilises-tu ????

PovRay, logiciel de lancé de rayon, complètement gratuit et disponible Là

[_Goel_]

Salut,

les cylindres (pleins) sont les parties . Le domaine dont on cherche à calculer le volume est l'intersection de ces trois cylindres, donc l'ensemble décrit par la conjonction des trois conditions.

Cordialement.

Merci ! (je viens de piger !)

PovRay, logiciel de lancé de rayon, complètement gratuit et disponible Là

Et re-MErci !

[invite9c0cbce3]

Salut,

Patience, on avait bien compris ta question ! Je verrai cet après-midi pour faire le calcul.

Cordialement.

Ne vous pressez pas trop, quand même, car vous risquez fort de vous tromper si vous ne voyez pas le piège dans lequel vous risquez fort d'être déjà tombé ...

[invite9c0cbce3]

Je sens que je vais me faire haïr ...

[invitec35bc9ea]

bonjour,

Par conséquent les cylindres forment entre eux un angle droit et s’interpénètrent pour occuper un espace dans le cube.
Donner le volume de cet espace.

je me trompe peut etre, mais il me semble que ce qui est demandé c'est le volume occupé par les 3 cylindres et non leur intersection. ce qui correspondrait à trois fois le volume d'un cylindre moins deux fois celui de l'intersection

[invite6de5f0ac]

je me trompe peut etre, mais il me semble que ce qui est demandé c'est le volume occupé par les 3 cylindres et non leur intersection. ce qui correspondrait à trois fois le volume d'un cylindre moins deux fois celui de l'intersection

Bonjour,

Je n'avais pas pensé à cette interprétation... Si c'est ça c'est de la vraie perversion!

-- françois

[invite4793db90]

Salut,

Je sens que je vais me faire haïr ...

J'ai regardé un peu tout à l'heure, mais je ne vois pas de moyen simple d'effectuer le calcul sans poser au moins une petite intégrale (que je n'ai pas posée). Peux-tu confirmer que c'est faisable avec de la "géométrie élémentaire" ?

EDIT :

je me trompe peut etre, mais il me semble que ce qui est demandé c'est le volume occupé par les 3 cylindres et non leur intersection. ce qui correspondrait à trois fois le volume d'un cylindre moins deux fois celui de l'intersection

Ca n'empêcherait pas qu'il faut calculer le volume de l'intersection, si ?

RE-EDIT : ah ben ça fait tilt : c'est ptet plus simple de calculer le volume occupé par un cylindre privé de l'intersection !

Cordialement.

[invite9c0cbce3]

bonjour,
je me trompe peut etre, mais il me semble que ce qui est demandé c'est le volume occupé par les 3 cylindres et non leur intersection. ce qui correspondrait à trois fois le volume d'un cylindre moins deux fois celui de l'intersection

Il y a en effet deux interprétations possibles de l'énoncé du problème. Celle du volume des trois cylindres complets moins celui de deux de leurs intersections et celle du volume de leur seules intersections.

Partons du principe que les deux interprétations sont aussi valables l'une que l'autre et acceptons celle qui a été choisie par les participants à ce jeu ...

Le piège est ailleurs

[danyvio]

bonjour,
je me trompe peut etre, mais il me semble que ce qui est demandé c'est le volume occupé par les 3 cylindres et non leur intersection. ce qui correspondrait à trois fois le volume d'un cylindre moins deux fois celui de l'intersection

Soit, mais dans tous les cas il faudra bien évaluer le volume de l'intersection en bons centimètres cubes bien de chez nous

[invite9c0cbce3]

Si c'est ça c'est de la vraie perversion!

La perversion concernant ce problème est encore plus aiguë que vous ne le pensez, cher ami ...

[yat]

J'ai bien une solution, mais je crois qu'il reste une ou deux bananes dedans, parce que ça ne me donne pas le même résultat que la force brute.

Pour commencer, je tente de simplifier un tout petit peu les expressions en passant le coté du cube à 2, parce que je n'aime pas me trimballer des constantes. Je prends un repère centré sur le centre du cube, les équations de mes trois cylindres sont x²+y²=1, x²+z²=1 et y²+z²=1.

Je considère ensuite les 8 "coins", qui sont les points d'intersection des 3 cylindres. Leurs coordonnées sont donc, aux signes près, (,,). Je peux alors découper la figure en un cube, dont je viens de définir les sommets, et six sortes de pyramides aplaties à base carrée. Le volume du cube est , je m'intéresse maintenant au volume des "pyramides".

En considérant celle du haut, je peux facilement déterminer en fonction de z la surface de l'intersection entre ma pyramide et le plan z. En effet, les arètes de la pyramide sont les intersections des deux cylindres définis par x²+z²=1 et y²+z²=1. Les coordonnées des 4 coins du carré d'intersection sont donc, aux signes de x et de y près, (,,z). Le coté de mon carré est donc , sa surface est . Pour calculer le volume de cette pyramide, il me suffit donc d'intégrer ça entre et 1. J'obtiens comme primitive , et un volume de .

En multipliant ce volume par 6 et en ajoutant celui du cube de tout à l'heure, j'obtiens environ 5,2228, c'est à dire environ 652,85 centimètres cube si je reviens à l'échelle de la question de départ, ce qui est à mon avis faux. Mais bon... comme je n'ai pas particulièrement vu la perversion de la chose, j'ai de toutes façons du passer complêtmeent à coté de quelque chose

EDIT : ouaouh, je viens de voir une première belle banane dans mes calculs. Pas étonnant que mon résultat soit faux. Je corrige et je reviens.

[yat]

Yes, ça y est, je trouve le même résultat qu'avec mon petit programme...
Il suffit donc de remplacer toutes mes par des (grossière erreur au début : on a x²+y²=x²+z²=y²+z²=1 et pas x²+y²+z²=1, où avais-je la tête ? ). Mon resultat final devient donc environ 585,79 centimètres cube.

[invite9c0cbce3]

yat, si vous me permettez cette remarque amicale qui risque néanmoins de vous paraître odieuse, ce n'est pas d'une banane dont je parlerais à votre place mais de la totalité des régimes d'une bananeraie complète.

[invite6de5f0ac]

La perversion concernant ce problème est encore plus aiguë que vous ne le pensez, cher ami ...

Je m'en doute, c'est (aussi) pour ça que je ne me risque pas à proposer une solution...

-- françois

[invitec35bc9ea]

Bonsoir,
l'intersection de 3 cylindres de diametres 10 donne exactement comme l'a dit yat 585.79
si vous dites que ce n'est pas la bonne solution, ça implique que ce que nous devons chercher n'est pas l'intersection de 3 cylindres. et dans ce cas votre enancé est ambigü.
helas, ça me rappelle une autre enigme que vous avez enancé, et qui a enervé tout le monde par son manque de clareté. nous ne pouvons quand meme pas lire dans vos pensées pour savoir ce à quoi vous faites allusion. alors pour rester dans la bonne humeur, il serait bien que vous enanciez le probleme tres clairement sans aucune ambiguté, faute de quoi:

Je sens que je vais me faire haïr ...

[invite9c0cbce3]

Je confirme d'une part que la solution passe bien par la définition de l'intersection des trois cylindres en question et d'autre part que la solution n'a pas encore été trouvée.

[Médiat]

helas, ça me rappelle une autre enigme que vous avez enancé, et qui a enervé tout le monde par son manque de clareté.

Je dirais deux autres (cf. projections où la solution de nico2685 est refusée pour une raison non précisée dans l'énoncé, raison qui permettrait de réfuter la solution de LEBRICOLO néanmoins acceptée et même qualifiée de la solution (c'est moi qui souligne)) .

Cette intervention n'a bien qu'un seul but : me faire haïr !