rectangles semi-entiers
Ce qui suit relève plus du défi mathématique (bac+1/+2) que de l’énigme (que les modos ne se gênent pas de le changer de rubrique s’il trouve cela nécessaire)
Un rectangle semi-entier est un rectangle dont un de ses côtés a une longueur entière.
Que peut-on dire d’un rectangle constitué de rectangles semi-entiers ? (càd que le grand rectangle peut être découpé en petits rectangles tous semi-entiers)
1er indice :
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Hello !
Où faut il aller à peu près ?
On peut dire, par exemple, qu'ils sont jolis...
On peut se poser aussi la question "sont-ils eux mêmes semi-entiers ?"Envoyé par jecario
Hello !
Où faut il aller à peu près ?
On peut dire, par exemple, qu'ils sont jolis...
Ceci est un exercice d'oral de l'ENS
Et c'est dur !
Je ne me souviens pas du tout de la démo, mais par contre je tiens à dire à tout ceux qui veulent faire une récurrence qu'ils se mettent le doigt dans l'oeil
Il y a bien une idee, mais elle ne me semble pas strictement accessible a ce niveau. Mettre le grand rectangle dans le plan complexe et evaluerqui doit s'annuler pourvu que l'un des cotes (au moins) soit entier.
Alors j'imagine qu'il faut considerer un sous-groupe de R^2. Ah mais tous les sous groupes de R sont soit de la forme aZ soit dense dans R. Je suis sur la bonne voie la ?
Ca ressemble même à une super piste : en associant à chaque point de coordonnées (x,y) la valeurIl y a bien une idee, mais elle ne me semble pas strictement accessible a ce niveau. Mettre le grand rectangle dans le plan complexe et evaluer
Alors j'imagine qu'il faut considerer un sous-groupe de R^2. Ah mais tous les sous groupes de R sont soit de la forme aZ soit dense dans R. Je suis sur la bonne voie la ?
à humanimo qui a trouvé l'idée et à yat qui a terminé la démo (enfin presque)
Quant au niveau, cela utilise de l'intégration sur des fonctions à deux variables réelles et le théorème de Fubini vus si je me souviens bien en Bac+1 et les complexes TleS. L'intégration de fonctions à valeurs complexes n'est peut-être pas vue mais il est facile de vérifier que si l'on pose
On applique 4 fois le théorème de Fubini, on factorise, on retrouve
Maintenant terminons
Or
Ce qui est nul ssi b-a est un entier (avec une seule fonction réelle, on ne peut obtenir =0=>b-a entier)
Donc 4 lignes (à condition de connaître un peu de théorie d'intégration de fonctions complexes à plusieurs variables réelles), un peu plus sinon.
Moi je trouve ce résultat et cette émo jolis.
Ch'tite faute de frappe :
Très jolie démonstration en tout état de cause
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Pourtant je ne suis pas super content de cette demonstration. Elle n'est pas tres "elementaire" et ne laisse pas voir ce qui se passe vraiment. L'histoire des sous-groupes n'est pas elementaire non-plus, et ne me semble pas donner grand chose non plus.
J'ai pense partir de l'un de sommet du grand rectangle, et montrer que l'on pouvait en atteindre un autre en ne parcourant que des aretes de longueurs entieres. Je n'ai pas completement reussi, mais je pense que c'est faisable, et c'est vraiment elementaire.
Bon j'ai trouve des solutions
Wagon, S. (1987) Fourteen Proofs of a Result About Tiling a Rectangle The American Mathematical Monthly, Vol. 94, No. 7. (Aug. - Sep., 1987), pp. 601-617.
Ou encore :
Simple Proofs of a Rectangle Tiling Theorem
Au format pdf :
Simple Proofs of a Rectangle Tiling Theorem
Salut,
Pourquoi as-tu besoin des sous-groupes ? Le résultat essentiel (mis à part Fubini) c'est
En exploitant le groupe de périodicité de la fonction exp
Donc pour trouver cette démo on se dit :
_ J'ai affaire à un rectangle, donc une surface possible, donc des aires. En plus les aires c'est additif, c'est cool.
_ Quelles fonctions utiliser ? Et là tu les passes un peu en revue --> tu tombes vite sur exp, et tu vois que tu peux exploiter des groupes de périodicité..
Certes
Cela a l'avantage d'etre efficace et immediat.
Neanmoins, et c'est discute dans les liens que je donnais plus haut, cela ne se generalise pas, aux cotes rationels, ou meme algebriques. Or la propriete reste vraie pour ces classes plus generales de nombres ! Le probleme, et c'est ce qui me chiffonne en fait, c'est qu'on ne voit pas du tout ce qui se passe par cette demonstration.
Je n'ai pas fini par moi-meme, mais j'ai trouve dans les liens ci-dessus, une preuve que j'avais esquissee plus haut. Tu supposes partir du coin inferieur gauche de ton grand rectangle (pour definir les choses) et ne te deplacer que le long de cotes "speciaux" (de longueur entiere, rationnelle, ou algebrique...) L'idee est de montrer que tu peux atteindre un autre coin du grand rectangle. Au moins un des cotes du grand rectangle a pour longueur une combinaison lineaire de nombres "speciaux" et donc a lui meme une longueur qui est un nombre "special".
Ah je vois ton idée, tu veux généraliser la propriété à autre chose que des côtés entiers, joli
Ton idée est naturelle mais semble difficile à mettre en oeuvre. J'avais essayé de faire une récurrence sur le nombre de petit rectangle pour cela, et ça marche dans des cas tordus, mais pas en toute généralité...
Merci pour les liens humanimo(j'ai commencé à lire mais je n'ai pas encore tout digéré).
En fait on peut meme generaliser aux hyper-rectangles en dimension quelconque. On avait dit "elemtentaire" ?
Moi aussi je trouve cela joli (je me posais la question mais la preuve par les intégrales ne se généralise pas, celle-là au moins je l'avais trouvée, je n'ai jamais trouvé d'autres preuves).Ah je vois ton idée, tu veux généraliser la propriété à autre chose que des côtés entiers, joli
Ton idée est naturelle mais semble difficile à mettre en oeuvre. J'avais essayé de faire une récurrence sur le nombre de petit rectangle pour cela, et ça marche dans des cas tordus, mais pas en toute généralité...
Maintenant la généralisation à d'autres structures algébriques ne semble pas tout à fait "élémentaire" (Le second lien anvoie sur un article de 2003 de Cambridge, le 1er sur Monthly, rien que ça montre que ce ne devait pas être tout à fait trivial
Je ne me rappelle pas avoir écrit "élémentaire".
La généralisation pour les semi-entiers est évidente, celles pour les autres structures algébriques je la comprendrai peut-être quand j'aurais compris la preuve en dimension 2.
Le problème des rectangles semi-entiers se généralise (et il est le seul dans ce cas) à un nombre quelconque de rectangles (d'ailleurs je n'avais pas précisé fini).
En effet, des rectangles du plan d'intérieurs disjoints sont au plus dénombrables et la preuve par intégration d'une fonction continue "supporte" très bien le passage du fini au dénombrable.
Par contre, ce résultat ne peut se vérifier pour les rectangles semi-rationnels, ou semi-décimaux... car tout rectangle est somme dénombrale de tels rectangles.
Bonjour,
Je vous propose cette démonstration.
On colorie les pavés semi-entiers de deux couleurs : blanc pour les pavés dont le côté entier est horizontal et noir pour les pavés dont le côté entier est vertical.
Nous avons donc notre rectangle coloré en deux couleurs. En partant d'un côté sur une couleur, peut-on tracer un chemin continu jusqu'à l'autre côté en restant sur la même couleur ? De simples considérations montrent que l'on a deux cas de figure possible:
1) La croix: il existe un chemin d'une même couleur traversant dans les deux dimensions du rectangle
2) Les parallèles : les deux couleurs traversent toutes les deux dans la même direction
Dans les deux cas, il existe un chemin constitué d'une succession de longueurs entières (par exemple s'il existe un chemin noir vertical, c'est le côté vertical qui est entier)
Petite précision, lorsque deux pavés sont jointifs seulement par un coin, il faut considérer que le chemin peut passer par ce coin. Ainsi un damier régulier de rectangles entiers est bien un rectangle semi-entier.
Bon, ça marche pas du tout
Mais peut-être que ça pourra inspirer certains.
Salut,
en cherchant à faire simple :
je vais essayer de considérer , parmi les rectangles du pavage, uniquement ceux qui ne sont pas inclus dans un plus grand rectangle distinct du tout. En clair, ignorer les sous rectangles d'un rectangle de fait, traités par une simple récurrence à la fin
Ensuite définir une polarité : puisqu'il s'agit de rectangles et qu'on ne pourrait paver avec un nombre fini de "rectangles penchés", les rectangles ont donc leurs cotés entiers parallèles à l'un des cotés du rectangle, pris en référence, ou perpendiculaires.
rappeler que + est interne pour les entiers
Ensuite montrer qu'on ne peut pas paver si tous les rectangles n'ont pas la même polarité car on n'aurait pas de côté entier. ( le point à démontrer effectivement , peut être avec des projections )
et conclure pour ce type de découpage ( quasi implicite à cette étape )
et montrer la récurrence pour passer au cas général ( quasi implicite )
Pensez vous que ça soit suffisant de procéder ainsi ?
