Paradoxe : 2 égale racine carré de 2

[invite6754323456711]

Bonsoir,

Soit un carré de côté 1 (voir pièce jointe). On décompose ses côtés en n segments égaux, donc un quadrillage de n² petits carrés qu'on va densifier. On trace la courbe violette qui part, comme la diagonale, d'en bas à gauche pour aller en haut à droite, mais en suivant des marches d'escalier comme indiqué.
La longueur de la courbe violette est toujours 2, puisque ses éléments verticaux se superposent au côté vertical de longueur 1, et ses éléments horizontaux se superposent au côté horizontal de longueur 1.
Quelle que soit la valeur de n (par exemple si l'on décompose en deux à chaque fois, n= 2 puissance p), la surface comprise entre la courbe violette et la diagonale se compose de 2n triangles de côté 1/2n donc de surface 1/8n². Cette surface vaut 2n x 1/8n² = 1/4n elle tend vers 0 quand on fait croître n : la courbe violette se rapproche de la diagonale. On a donc une courbe de longueur 2 qui tend vers une courbe de longueur √2, longueur de la diagonale.

Cela nous fait donc dire que 2 = √2.

Quel est le mystère de ce paradoxe ?

Patrick
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[invite8ef897e4]

Cela nous fait donc dire que 2 = √2.

Quel est le mystère de ce paradoxe ?

Le fait que la surface tende vers 0 n'implique pas que la longueur totale des marches tende vers la diagonale il me semble.

[invite6754323456711]

Le fait que la surface tende vers 0 n'implique pas que la longueur totale des marches tende vers la diagonale il me semble.

L'illusion est que les marches de l'escalier deviennent de plus en plus petite. Pour faire croire que 2 = √2 il faut bien trouver une mascarade

Pour démontrer l'inégalité certain font appel au fractal, d'autre à Cantor.

Patrick

[triall]

Bonjour
Je tente

 Cliquez pour afficher

Moouaip . La diagonale est , la ligne brisée est 2 la surface qui tend vers 0 ne veut pas dire que la ligne brisée tend vers la diagonale; puisqu'on vous a dit que c'était 2 !Puis comparer une surface et une longueur, ça aurait mérité en d'autres lieux le goudron et les plumes !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6754323456711]

Bonjour
Je tente

 Cliquez pour afficher

!Puis comparer une surface et une longueur, ça aurait mérité en d'autres lieux le goudron et les plumes !

Il n'est pas comparé une surface et une longueur. La surface qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini est juste l'illusion pour confondre la ligne en escalier et la diagonale.

réponse dans le "spoiler"
Patrick

[piwi]

Cette représentation de l'escalier n'est elle pas utilisée dans le secondaire pour apréhender la notion d'infinitesimale et de dérivée? Or il me semble que f(x)=f'(x) n'arrive pas souvent (d'ailleurs la distance qui me sépare des maths fait que je ne parviens pas à trouver un exemple où c'est le cas)

Cordialement,
piwi

[invite6754323456711]

Bonjour,

Une piste possible : quel est la différence entre nombre des sommets de la ligne violette qui tend vers l'infini et l'infinité des points de la diagonale ?

Patrick

[invite6754323456711]

Cette représentation de l'escalier n'est elle pas utilisée dans le secondaire pour apréhender la notion d'infinitesimale et de dérivée? Or il me semble que f(x)=f'(x) n'arrive pas souvent (d'ailleurs la distance qui me sépare des maths fait que je ne parviens pas à trouver un exemple où c'est le cas)

Cordialement,
piwi

Les souvenirs que j'ai est l'intégration qui est l'inverse de la différentielle. Trouver la fonction g(x) pour laquelle g'(x) = f(x) c'est à dire une solution y = g(x) de l'équation dy/dx = f(x).

Pour f(x) si on prend de toute petite quantité h = b - a, l'aire d'une étroite bandelette délimité par les droites x = a et x = b est essentiellement donné" par le produit de la largeur h avec sa hauteur (compter à partir de l'axe des x). Cette hauteur est la pente de la courbe g(x) à cet endroit si bien que l'aire de la bandelette est donnée par le produit pente x largeur, c'est à dire par l'accroissement de la courbe g(x) entre a et b : g(b) - g(a).

Maintenant dans cet exercice qui n'est pas une question de surface, je ne pense pas que la notion d'intégrale/différentielle soit une piste de solution.

Patrick

[erik]

[Mode HS]

il me semble que f(x)=f'(x) n'arrive pas souvent (d'ailleurs la distance qui me sépare des maths fait que je ne parviens pas à trouver un exemple où c'est le cas)

Mais Piwi, souviens toi ... f(x)=exp(x)

[/Mode HS]

[Médiat]

On a donc une courbe de longueur 2 qui tend vers une courbe de longueur √2, longueur de la diagonale.

Où est le paradoxe ?

[invite6754323456711]

Où est le paradoxe ?

Dans l'illusion 2 = √2 .

Patrick

[Médiat]

Dans l'illusion 2 = √2 .

On ne peut pas baptiser "paradoxe", toutes les erreurs de raisonnnement ...

On a donc une courbe de longueur 2 qui tend vers une courbe de longueur √2, longueur de la diagonale.

Est déjà une mauvaise formulation, puisque nous avons une suite de fonction (toutes de longueur 2) qui tend (quelle convergence ?) vers une fonction de longueur √2, ce qui n'est pas anormal, ni paradoxal.

[invite6754323456711]

On ne peut pas baptiser "paradoxe", toutes les erreurs de raisonnnement ...

Nous sommes dans la rubrique science en s'amusant, il faut bien évidemment le prendre au second degré.

Cela ne semble pas avoir poser problème à Albert Jacquard (L'équation du nénuphar) :

il invoque Cantor pour indiquer que le nombre de tournants de la courbe violette tend vers l'infini des nombres entiers (aleph 0), alors que la diagonale représente l'infini des nombres réels (aleph 1) : ces deux infinis sont différents, donc « 2 n'est pas égal à √2 ».

Patrick

[Médiat]

il invoque Cantor pour indiquer que le nombre de tournants de la courbe violette tend vers l'infini des nombres entiers (aleph 0), alors que la diagonale représente l'infini des nombres réels (aleph 1) : ces deux infinis sont différents, donc « 2 n'est pas égal à √2 ».

J'espère que pour dire ce que j'ai mis en gras, il est précisé dans l'original que ce résultat dépend de l'hypothèse du continu.

Ce que je trouve étrange, c'est qu'il n'y a aucun théorème qui dit que la longueur de la limite est égale à la limite des longueurs, il donc clair qu'en appliquant ce faux théorème on obtient des résultats faux.

Maintenant, si c'est ludique ...

[invite6aa9bd14]

Ce "paradoxe" peut être vu comme un exemple pédagogique qui montre que la notion de limite est subtile et qu'on ne peut pas faire tout ce qu'on veut, ici notamment inversion de limite et de longueur ; qu'il faut préciser la distance (norme) qu'on utilise, etc.
En bref, qu'il faut se méfier et bien tout définir rigoureusement ^^

[invite6754323456711]

Ce "paradoxe" peut être vu comme un exemple pédagogique qui montre que la notion de limite est subtile et qu'on ne peut pas faire tout ce qu'on veut, ici notamment inversion de limite et de longueur ; qu'il faut préciser la distance (norme) qu'on utilise, etc.
En bref, qu'il faut se méfier et bien tout définir rigoureusement ^^

Comment exprimerais tu cette "énigme" qui laisse croire (visuellement) que la ligne violette se confond à la diagonale ?

Patrick

[invite8d75205f]

On ne peut pas baptiser "paradoxe", toutes les erreurs de raisonnnement ...

Bien sûr que si (à condition que cette erreur soit suffisamment subtile)! Tiens cela me donne une idée (une fois n'est pas coutume ) de jeu : trouver un vrai paradoxe, sans erreur de raisonnement ou de calcul sous-jacentes (en mathématiques évidemment, car sinon c'est trop simple !)

bon courage !

[Médiat]

Bien sûr que si (à condition que cette erreur soit suffisamment subtile)! Tiens cela me donne une idée (une fois n'est pas coutume ) de jeu : trouver un vrai paradoxe, sans erreur de raisonnement ou de calcul sous-jacentes (en mathématiques évidemment, car sinon c'est trop simple !)

bon courage !

Le paradoxe de Banach-Tarski n'est-il pas suffisant ? Un raisonnement parfait et un résultat qui heurte le sens commun.

Dans l'exemple de la diagonale, je ne vois vraiment ce qu'il pourrait y avoir de naturel à penser que la limite de la longueur ait à être égal à la longueur de la limite (la définition de la limite ne posant aucune contrainte sur les longueurs), il est même possible que la limite d'une suite de fonctions continue ne soit pas continue (par exemple f_n(x) = xⁿ sur [0; 1], pour la convergence simple)!

Je précise que je n'ai rien contre l'usage de cet exemple (contre-exemple, même) pour montrer que le passage à la limite demande des précautions, j'ai quelque chose contre l'usage du mot "paradoxe", pour désigner une erreur de raisonnement.

[invite8d75205f]

Le paradoxe de Banach-Tarski n'est-il pas suffisant ? Un raisonnement parfait et un résultat qui heurte le sens commun.

Je ne connais pas ce paradoxe. Peux-tu m'en dire plus à son sujet ?
En tout cas, un résultat qui heurte le sens commun n'est pas forcément un paradoxe mathématique (il y a bien longtemps qu'une vaste partie des maths n'a plus rien à voir avec le sens commun).
Ce que je voulais dire, c'est que l'apparence contradictoire d'un résultat peut être levée en décelant l'erreur qui se trouve dans le raisonnement qui y conduit.

cordialement

[Thorin]

une recherche google t'en apprendra plus. Mais pour comprendre ce qu'il en est réellement, il faut un bon niveau...

[invite6754323456711]

Le paradoxe de Banach-Tarski n'est-il pas suffisant ? Un raisonnement parfait et un résultat qui heurte le sens commun.

Ce que j'en comprend est que celui qui fait naitre le "paradoxe" est l'axiome du choix, qui n'est ni réfutable (Godel), ni démontrable (Cohen).

Maintenant Il est impossible de réaliser physiquement la décomposition "paradoxale" de la boule : notre monde physique ne serait pas "continu" comme l'est l'espace R³ ?

j'ai quelque chose contre l'usage du mot "paradoxe", pour désigner une erreur de raisonnement.

Le Petit Robert nous donne les définitions suivantes :

Paradoxe (n.m.).

1) Opinion qui va à l'encontre de l'opinion communément admise.
2) Etre, chose ou fait qui heurte le bon sens. Contresens, absurdité.
3) Se dit d'une proposition à la fois vraie et fausse, antinomie, contradiction, sophisme.

Patrick

[invite8d75205f]

Mais pour comprendre ce qu'il en est réellement, il faut un bon niveau...

Le complexe de supériorité des taupins n'a toujours pas disparu ?

[Thorin]

c'est au delà du niveau des taupins...

[invite6754323456711]

Ce que je voulais dire, c'est que l'apparence contradictoire d'un résultat peut être levée en décelant l'erreur qui se trouve dans le raisonnement qui y conduit.

Dans le cas du "paradoxe" de Banach-Tarski je ne pense pas qu'il y ait d'erreur mathématique dissimulée. Ce que j'en comprend c'est qu'il est un résultat mathématique démontré dans le cadre de l'axiomatique ZFC.

Maintenant on ne peut que regretter qu'il ne soit pas "vrai" dans le monde physique car nous aurions une solution pour le problème de la famine

Patrick

[invite8d75205f]

c'est au delà du niveau des taupins...

Je me félicite de faire partie de l'au delà . Je plaisante, et j'accepte tes excuses ...

Le paradoxe de Banach-Tarski, n'est un paradoxe que si l'on assimile leur boule (?!?) mathématique à une boule physique. Je ne sais si ce type de paradoxe est plus profond que celui résultant d'une erreur (subtilement dissimulée) de raisonnement.
En fait, ce qui ne convient pas à Médiat (et ceci se comprend tout à fait), c'est que pour lui, l'erreur du paradoxe ci-dessus proposé est trop évidente.
Pour ce qui concerne Banach-Tarski, il n'y a mystère que pour ceux qui croient (naïvement à mon avis) que le monde mathématique a un quelconque rapport avec le monde réel.

cordialement

[invite8d75205f]

Dans le cas du "paradoxe" de Banach-Tarski je ne pense pas qu'il y ait d'erreur mathématique dissimulée.

Euh.. je ne crois pas avoir eu l'outrecuidance de dire cela ! Relis mon post

cordialement

[Médiat]

Ce que j'en comprend est que celui qui fait naitre le "paradoxe" est l'axiome du choix, qui n'est ni réfutable (Godel), ni démontrable (Cohen).

C'est bien de citer les auteurs, surtout Cohen souvent oublié au profit de Gödel, mais il faudrait citer leur théorème correctement :
l'axiome du choix, qui n'est ni réfutable (Godel), ni démontrable (Cohen) dans la théorie ZF.
Sans cette précision, l'indécidabilité d'un énoncé n'a aucun sens.

Qu'il faille une théorie pour démontrer un théorème, est un minimum, il se trouve que pour le paradoxe de Banach-Tarski cette théorie est ZFC.

Le Petit Robert nous donne les définitions suivantes :

Paradoxe (n.m.).

1) Opinion qui va à l'encontre de l'opinion communément admise.
2) Etre, chose ou fait qui heurte le bon sens. Contresens, absurdité.
3) Se dit d'une proposition à la fois vraie et fausse, antinomie, contradiction, sophisme.

Je constate avec plaisir que l'erreur de raisonnement n'est pas un paradoxe, alors que le paradoxe de Banach-Tarski est "un fait (une théorème) qui heurte le bon sens".

[invite6754323456711]

C'est bien de citer les auteurs, surtout Cohen souvent oublié au profit de Gödel, mais il faudrait citer leur théorème correctement :
l'axiome du choix, qui n'est ni réfutable (Godel), ni démontrable (Cohen) dans la théorie ZF.
Sans cette précision, l'indécidabilité d'un énoncé n'a aucun sens.

Oui, mais dans le sens commun des gens débiles, auquel je fais partie, c'est ni réfutable, ni démontrable dans aucune théorie ou quoi que ce soit, à l'exception de ZFC, normal il y a été rajouté.

Le paradoxe de Banach-Tarski n'est-il pas suffisant ? Un raisonnement parfait et un résultat qui heurte le sens commun.

Où est le paradoxe ? La nature c'est merveilleusement se reproduire. Le fruit succède à la fleur sans aucune arrogance.

Patrick

[erik]

c'est (l'axiome de choix) ni réfutable, ni démontrable dans aucune théorie

Dans aucune théorie, je n'en suis pas certain..

Où est le paradoxe ?

Tu prends une boule tu la découpes en un nombre fini de morceaux, tu réassembles différemment tes morceaux et tu obtiens deux boules identiques à la première, et tu ne vois pas de paradoxe ? Tu ne trouve pas que cela heurte le sens commun ?

[invite6754323456711]

Où est le paradoxe ? La nature sait merveilleusement se reproduire. Le fruit succède à la fleur sans aucune arrogance.

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Patrick