Des boules, des tores et des cylindres

[Médiat]

Je dois prévenir que je n'ai aucune idée de la difficulté de cette énigme (je suis parti de la solution et non de la question). Je reconnais par avance que si cette énigme était trop facile ou trop complexe, elle perdrait tout intérêt.


Placer les 15 boules d'un billard américain (donc pas question de les placer "au même endroit") de telle façon que pour chaque couple de boules (donc 105 cas) on puisse tracer, soit un segment de droite, soit un cercle contenant un et un seul des autres points (donc 105/3 = 35 segments ou cercles).

On peut comprendre "segment de droite" comme cylindre de petit diamètre
et "cercle" comme tore de petit diamètre mineur, donc pas d'astuce à base de topologie exotique, et solution "fabricable".
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[invite4db4c657]

on se place bien en 2D?
une boule est elle assimilable a un point?

[Médiat]

J'avais parlé de billard en pensant tendre un petit piège, vite éventé .

Ma solution est en 3D.

On peut résoudre le problème de façon purement mathématique, avec des points de cercles et des droites, ou de façon plus pratique avec des boules, des cylindres et des tores.

[Médiat]

J'ai ajouté une petite précision (sinon trop simple) : Il doit y avoir plus du double de segments que de cercles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9ac7aecb]

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Un tétraèdre avec:
une boule par sommet (4)
une boule par milieu d'arête (6)
une boule par centre de face (4)
une boule au centre du tétraèdre (1)
Le compte est bon! et on voit que c'est une solution
Mais je n'ai pas trop de mérite, je connaissais la version 2D

[Médiat]

@Clemgon

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C'est bien la solution que j'avais en tête, et c'est effectivement la version 3D du "Fano-plane" en 2D.

Cette figure permet de "synthétiser" la multiplication dans l'ensemble des Sédénions.

[invite4db4c657]

j'ai une autre possibilitée... mais elle est en 2D:

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trace un cercle (un grand cercle comparativement au diamètre des boules en sorte qu'elles soient assimilables a des points) tu place les boules comme tu veut sur le cercle. pour chaque couple de boules, tu a un rayon qui vérifie la propriété demandée.

Il n'y a aucun arc de cercle (quoiqu'on puisse en trouver une infinité...) le nombre de segment est donc supérieur au double du nombre d'arc de cercle.

Sa marche aussi pour n boule (avec n>1 et n entier)

[Médiat]

J'avoue que je ne vois pas, le grand cercle contiendrait 15 boules et non 3 et les segments 2 et non 3, ou alors je n'ai pas compris votre solution, vous pouvez faire un dessin ?

[invite4db4c657]

Ah, oui... je me suis planté dans l'énoncé je croyait que les segment devaient passer par deux points...
du coup on fait des diamètres (7) et on passe par le centre (qui est aussi une boule)?

[invite4db4c657]

et c'est aussi une annerie (apprendre a ce relire...) parce qu'il y a plein de droites pour lesquelles sa marche pas...

[invite9ac7aecb]

Merci pour le nom de la version 2D! Je ne le connaissais pas!
(décidément j'apprends des choses aujourd'hui )

[_Goel_]

j'ai une autre possibilitée... mais elle est en 2D:

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trace un cercle (un grand cercle comparativement au diamètre des boules en sorte qu'elles soient assimilables a des points) tu place les boules comme tu veut sur le cercle. pour chaque couple de boules, tu a un rayon qui vérifie la propriété demandée.

Il n'y a aucun arc de cercle (quoiqu'on puisse en trouver une infinité...) le nombre de segment est donc supérieur au double du nombre d'arc de cercle.

Sa marche aussi pour n boule (avec n>1 et n entier)

J'ai aussi pensé à ça, mais ça me semblait trop simple

[Médiat]

Voici la solution de Clemgon (celle que j'attendais) en image.

Il s'agit du "Fano-space" qui permet de définir la table de multiplication des sédénions purs de façon géométrique.

[invite9ac7aecb]

permet de définir la table de multiplication des sédénions purs de façon géométrique

En gros le produit de deux parties imaginaires (différentes) symbolisées par deux "boules" donne la partie imaginaire symbolisée par la troisième boule alignée sur une droite ou cocyclique avec les deux premières, c'est ça?

Mais comment déterminer le signe du résultat?

PS: superbes, les images! Il y a même le reflet des arcs sur les boules

[invite9ac7aecb]

Mais comment déterminer le signe du résultat?

Il faudrait définir une orientation pour chaque droite et chaque cercle, mais comment les définir non-arbitrairement?

[Médiat]

En gros le produit de deux parties imaginaires (différentes) symbolisées par deux "boules" donne la partie imaginaire symbolisée par la troisième boule alignée sur une droite ou cocyclique avec les deux premières, c'est ça?

Oui, le produit de 2 éléments imaginaires différents d'une base donne un élément imaginaire de cet base.

Mais comment déterminer le signe du résultat?

Le Fano space complet comporte des flèches (comme en 2 D) qui permettent de préciser le signe, le choix de la direction se fait en fonction de la position des "boules/élément de base".

PS: superbes, les images! Il y a même le reflet des arcs sur les boules

J'ai utilisé le logiciel gratuit POVRAY (j'ai supprimé les ombres car elles diminuaient la lisibilité, et le sol pour alléger le fichier).