Le général malchanceux

[invité576543]

En revérifiant les sup, sup ou égal, et autre + ou - 1, ça a l'air de rentrer dans les clous... en d'autres termes, 36, 136, et autres 528 passent ric-rac, mais passent...
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[Evil.Saien]

Si tu cherches une solution moins intuitive que celle du fils de mmy, alors pas besoin de faire si compliqué.
Tu pars de 2N = n.(n+2k-1) (un facteur pair et un facteur impair) et tu retrouves la solution que j'esquissais 3 messages plus haut.

D'accord, mais il me semble pas qu'on obtienne la réponse en faisant ce que t'as dit... Je veux dire pas la qu'a la fin on ne conclue pas en disant que tout les k (ou N) s'écrivant d'une certaine forme ne peuvent pas etre disposé ainsi.

C'est ce que j'essayais de determiner ici.

[invité576543]

Pour résumer, en repenant un texte de Matthias

N = nombre total de soldats = q.2^p
avec q impair > 1.

Si 2^p+1> q on a une solution à q colonnes, colonne centrale à 2^p soldats

sinon on a une solution a 2^p+1 colonnes, colonnes centrales (q-1)/2 et (q+1)/2 soldats

[Evil.Saien]

Pour résumer, en repenant un texte de Matthias

N = nombre total de soldats = q.2^p
avec q impair > 1.

Si 2^p+1> q on a une solution à q colonnes, colonne centrale à 2^p soldats

sinon on a une solution a 2^p+1 colonnes, colonnes centrales (q-1)/2 et (q+1)/2 soldats

Ok, donc puisque pour les impairs la solution est evidente, ca signifierait que tout les nombres peuvent etre disposes en triangle tronqués ??

[matthias]

Bon alors voici comment je l'ai résolu initialement (on en était arrivé quasiment au même point en essayant de faire fonctionner la solution du fils de mmy):
On a N soldats.
On veut éliminer les N tels que 2N = n.(n+2k-1) avec n>=2 et k>=1
2N = q.2^p+1 avec p>=0 et q impair
Si 2^p+1 > q > 1, on a une solution avec:
n = q et k = (2^p+1 + 1 - q)/2
Si q > 2^p+1, on a une solution avec:
n = 2^p+1 et k = (q + 1 - 2^p+1)/2

Le seul N qui ne marche pas est tel que q=1, donc N puissance de 2. Une seule puissance de 2 entre 1000 et 2000 => fini.

[invité576543]

Au passage, pour les nombres limites comme 36, la solution en "nombre impair" de colonnes (9) et celle en nombre pair (8) sont identiques, curieusement. Simplement dans le cas soi-disant impair, une colonne a 0 soldat, donc disparaît du décompte... En prenant comme condition "plus petite colonne positive ou nulle", les deux domaines se recouvrent...

[matthias]

J'espère que ton fils n'est pas trop déçu. Moi oui en tout cas, sur le coup j'y ai cru

[Evil.Saien]

Avec ma méthode, je trouve que ca marche pas pour k tels que:
Il n'éxiste pas de p (p étant la taille de la plus petite colone) t.q. (2p-1)^2 + 8k soit un carré parfait. (k étant le nombre a ecrire en triangle tronqu&#233

[matthias]

Soient c le nombre de colones,
p la hauteur de la première colone.

On a alors

Tu aurais pu prendre les mêmes notations que celles de l'énoncé.
Et ta formule est fausse. Prends c = 2, p = 1 pour t'en convaincre.
Autant partir sue de bonnes bases.

[Evil.Saien]

Oui je sais, en fait il fallait lire c(c-1) au lieu de (c-1)(c-2)...

Mais ensuite il me semble que ma condition est bonne.

[invité576543]

J'espère que ton fils n'est pas trop déçu. Moi oui en tout cas, sur le coup j'y ai cru

(Note :; J'avais répondu, ou cru répondre hier... Ca fait déjà deux "réponses" qui disparaissent, dans un scénario qui inclut une redemande du mot de passe... Bizarre...)

Pas de raison d'être décu, en maths les moyens sont aussi importants que les buts...

De plus, la nuit portant conseil, la méthode "marche"! Il suffit d'utiliser les soldats négatifs pour les enlever des colonnes extrèmes de l'autre côté, et on obtient la bonne figure, après rotation de 90°!

J'explique, en partant de 14: cela donne 7 colonnes, avec la centrale de 2. Soit

-1 0 1 2 3 4 5

total 14. Maintenant j'additionne la colonne négative à sa symétrique par rapport à la colonne centrale:

0 0 1 2 3 4 4

et je regarde à 90°, j'obtiens une disposition conforme à ce qui est demandé:

5 4 3 2


Le cas de 33 et de 11 colonnes donne

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

devient

0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6

soit à 90°, 8 7 6 5 4 3

Ca demande démonstration rigoureuse, mais ça à l'air de marcher, c'est à dire de construire une disposition acceptable à partir de tout diviseur impair >1...

Géométriquement, ça se voit très bien, l'angle à 45° étant "conservé" par la rotation à 90°...

Amicalement,

[invitebf65f07b]

Je sais pas si ça apporte quelque chose, mais voilà comment je vois les choses.

Si je note M le nombre de soldats en formation de k lignes dont la première compte (r-1) soldats, on a
M=k.r + 1+2+...+k , avec k>1 et r>=0
d'où
M=k.r+k(k+1)/2.

Si k est impair, notons k=2n-1, n>0, on a
M=(2n-1)(r+n)
Si k est pair, notons k=2n, n>0, on a
M=n(2r+2n+1)

On voit déjà une chose, M est un multiple d'un impair >1, mais ça tout le monde le savait

Par contre, on peut regarder les contraintes que donne les deux formes possible de M:

-Dans le premier cas [M=(2n-1)(r+n);n>0;r>=0], il faut pouvoir décomposer M est un produit d'un impair avec un nombre supérieur à la moitié du dit impair. (je sais pas si je suis clair )
-Le deuxième cas [M=n(2(r+n)+1);n>0;r>=0] donne M sous la forme "nbr*impair" avec nbr inférieur à la moitié de l'impair (ça s'arrange pas )

Si on regroupe tout ça, on obtiens M=a.b avec a impair et b supérieur ou inférieur à la moitié de a. En clair, M est multiple d'un impair (>1 bien sûr), donc M peut être n'importe quel entier qui n'est pas une puissance de 2.

Ben voilà, on a gagné

[invite06fcc10b]

voila, a partir de la factorisation, j'ai tatonné en me disant que si N etait impair, il y avait une solution évidente (avec 2 colonnes), et si N etait pair on considerait N/2, si N/2 etait impair, il y avait une solution a 4 colonnes etc...

pour N quelconque, la solution comporte donc 2^(p+1) colonnes où p est la puissance de 2 dans sa décomposition en facteurs premiers, ce qui marche sauf pour....

Mes félicitations, je ne connaissais pas cette version.
Une petite remarque tout de même, pour un nombre tel que 11*128, cela ferait 2⁸ colonnes, soit 256 colonnes. Ca fait peut-être un peu trop, non (sachant qu'on ne peut avoir de nombres négatifs de soldats !) ?
Il faut donc démontrer autrement que 11*128 (entre autres) n'est pas solution.
Mais je ne doute pas que tu trouveras rapidement la réponse ...

ERREUT DE MA PART :
Pardon, je n'avais pas vu que la correction avait été faite.

[GillesH38a]

Ben oui, je suis allé trop vite dans mon raisonnement, c'est pour ça que j'ai été le premier à répondre lol...je n'avais pas vu qu'il fallait que le nombre de soldats de la dernière rangée soit forcément plus grand que le nombre de colonnes.... sinon la solution de Mmy est très élégante, il suffit de "tourner" la configuration.

Ca serait sympa de trouver une manière d'exprimer ça de façon graphique tel que la solution saute aux yeux, Delahaye avait fait un article sympa dans Pour la Science sur ce genre de démonstrations. En gros, comment peut-on démontrer graphiquement que toute disposition trapézoidale a forcement un nombre impair dans ses diviseurs ?

[invitebf65f07b]

Ca serait sympa de trouver une manière d'exprimer ça de façon graphique tel que la solution saute aux yeux, Delahaye avait fait un article sympa dans Pour la Science sur ce genre de démonstrations. En gros, comment peut-on démontrer graphiquement que toute disposition trapézoidale a forcement un nombre impair dans ses diviseurs ?

Si il y a un nombre impair de lignes, il suffit de faire les "vases communiquants" et on obtient un beau rectangle avec une base impaire.

Si il y a un nombre pair de lignes, on peut superposer la moitié droite sur la moitié gauche pour obtenir un rectangle dont la hauteur est impaire

Mais ceci ne dit pas que tout multiple d'impair peut prendre cette configuration.


Par contre, on peut remonter à l'envers ceci, en distiguant, pour N=I*H avec I impair, les cas où H>I/2 et H<I/2.

Si H>I/2, on peut prendre pour base I et faire les "vases communiquants" à l'envers.
Si H<I/2, c'est un peu plus subtil. On couche notre rectangle, on le coupe en oblique de cette manière :
ooooooo.....oo....ooooo
ooooooo => ooo + oooo
C'est à dire que l'on coupe à la base à la moitié inférieure (vu que c'est impair) et on remonte vers la gauche (la droite si on coupe la base à la moitié supérieure). (et voilà, je suis encore pas clair du tout...)
Ensuite on recolle :
oo
ooo
oooo
ooooo

Avec ça, on a notre équivalence, et donc seul 2^n n'est pas possible

[GillesH38a]

voui, voui, y a plus qu'a faire un zouli dessin pour qu'on voie ça du premier coup d'oeil

[invitebf65f07b]

je veux bien faire n dessin, mais il faudra toujours distinguer deux cas, et &#231;a j'imagine que &#231;a fais moins joli...

[invitebf65f07b]

j'ai pas remis les commentaires.
j'esp&#232;re que ce sera assez zoli pour certains

j'ai mis des fl&#232;ches, mais &#231;a marche dans l'autre sens aussi, en distinguant les cas k pair et k impair....

[invité576543]

Et en dessinant 2H x I, et en coupant par la droite à 45° passant au centre?

La parité n'intervient plus que parce qu'il y a des "soldats" coupés en deux. Il suffit de coupe à 45°+epsilon, et le problème disparaît...

[invitebf65f07b]

Et en dessinant 2H x I, et en coupant par la droite à 45° passant au centre?

La parité n'intervient plus que parce qu'il y a des "soldats" coupés en deux. Il suffit de coupe à 45°+epsilon, et le problème disparaît...

j'avoue que j'ai rien compris...

tu peux développer et préciser à quoi tu réponds stp.

[GillesH38a]

Je vous propose la solution suivante :

On forme le rectangle I x H , ou effectivement I est un nombre impair et H est quelconque.

I etant impair, on decoupe en escalier à 45 ° à partir de la case centrale du haut + 1.
On rabat le triangle obtenu sur l'autre moitié.

Le découpage est le même dans les deux cas de figure H< I/2 ou H> I/2 (voir dessin). La différence est qu'il se termine soit sur le coté droit, soit sur la base. Dans le premier cas, on obtient un nombre impair de colonnes rangées verticalement, dans le deuxieme un nombre pair rangées horizontalement, mais c'est manifestement deux solutions possibles (voir dessin).

Le découpage marche aussi manifestement "a l'envers" , suivant qu'on a un nombre pair ou impair de rangées, ce qui achève de démontrer l'équivalence : il est toujours possible de former un rectangle avec un coté impair à partir d'un défilé en escalier. D'ou le seul cas ou ca ne marche pas: 2^N

[invitebf65f07b]

Bravo, j'admet que c'est plus joli comme &#231;a.
Formellement, c'est pareil, mais la distinction se fait toute seule selon que le d&#233;coupage se termine sur le c&#244;t&#233; ou sur la base...

[invité576543]

j'avoue que j'ai rien compris...

tu peux d&#233;velopper et pr&#233;ciser &#224; quoi tu r&#233;ponds stp.

Je r&#233;pondais au dessins! Il me semble qu'on peut n'en avoir qu'un. Au lieu de dessiner un rectangle H x I, on dessine un rectangle 2H x I. On le coupe par la droite &#224; 45&#176; passant par son centre de gravit&#233;, ce qui donne deux parties identiques ayant la forme requise, et la surface requise. Donc en "continu", &#231;a marche, un seul dessin suffit, pas besoin d'en faire 2, et il n'y a m&#234;me pas de d&#233;placement ou recollement &#224; faire.

Si on regarde le d&#233;tail du cas discret, avec un r&#233;seau de points, on se rend compte que le centre n'est pas sur un point (parce que 2H pair!) mais qu'il peut y avoir des points sur la droite. En d&#233;calant d'un epsilon la droite de coupure en rotation, on peut garantir qu'elle ne contient aucun point du r&#233;seau.

Conclusion, un seul dessin suffit, on prend 2HxI et on le coupe en deux moiti&#233;s identiques, d'une forme qui est solution. Et ce sans s'occuper de parit&#233;...

Cordialement,

EDIT: Ca ne marche mon truc, y'a quelque chose qui cloche, j'y retourne imm&#233;diatement

[invitebf65f07b]

Mmy, après réflexion, ce que tu proposes peut être arrangé pour tomber juste, mais ça reviendra vraiment à la même chose que ce qu'a proposé gillesh38 ensuite.
Au final, je crois pas que ça apporte quelque chose de doubler la hauteur

[Evil.Saien]

Je sais pas si &#231;a apporte quelque chose, mais voil&#224; comment je vois les choses.

Si je note M le nombre de soldats en formation de k lignes dont la premi&#232;re compte (r-1) soldats, on a
M=k.r + 1+2+...+k , avec k>1 et r>=0
d'o&#249;
M=k.r+k(k+1)/2.

Si k est impair, notons k=2n-1, n>0, on a
M=(2n-1)(r+n)
Si k est pair, notons k=2n, n>0, on a
M=n(2r+2n+1)

On voit d&#233;j&#224; une chose, M est un multiple d'un impair >1, mais &#231;a tout le monde le savait

Par contre, on peut regarder les contraintes que donne les deux formes possible de M:

-Dans le premier cas [M=(2n-1)(r+n);n>0;r>=0], il faut pouvoir d&#233;composer M est un produit d'un impair avec un nombre sup&#233;rieur &#224; la moiti&#233; du dit impair. (je sais pas si je suis clair )
-Le deuxi&#232;me cas [M=n(2(r+n)+1);n>0;r>=0] donne M sous la forme "nbr*impair" avec nbr inf&#233;rieur &#224; la moiti&#233; de l'impair (&#231;a s'arrange pas )

Si on regroupe tout &#231;a, on obtiens M=a.b avec a impair et b sup&#233;rieur ou inf&#233;rieur &#224; la moiti&#233; de a. En clair, M est multiple d'un impair (>1 bien s&#251;r), donc M peut &#234;tre n'importe quel entier qui n'est pas une puissance de 2.

Ben voil&#224;, on a gagn&#233;

Salut,

j'ai deja fait ca avant, et j'en ai conclue la chose suivante:

La reponse est M t.q. il n'existe pas de r t.q.:
(2(r-1)-1)^2 + 8M soit un carre parfait

[invitebf65f07b]

Salut,

j'ai deja fait ca avant, et j'en ai conclue la chose suivante:

La reponse est M t.q. il n'existe pas de r t.q.:
(2(r-1)-1)^2 + 8M soit un carre parfait

Tu veux dire que tu a écrit "M=k.r+k(k+1)/2", ou bien tout ce qui suit aussi?

Parce que, d'une j'ai quand même l'impression que mon raisonnement arrive à une conclusion définitive, et de deux, je ne vois ni comment tu arrives à ta proposition, ni comment l'exploitée.

[matthias]

Parce que, d'une j'ai quand même l'impression que mon raisonnement arrive à une conclusion définitive, et de deux, je ne vois ni comment tu arrives à ta proposition, ni comment l'exploitée.

Evil.Saien utilise le discriminant pour arriver à cela, mais je ne vois pas non plus à quoi ça sert.
En plus des solutions arithmétiques (à peu près identiques à la votre) ont déjà été données dans le fil ...

[invitebf65f07b]

merci matthias pour la réponse.

Concernant ma solution, j'ai quand même l'idée, après relecture du fil, qu'elle est complète, ce qui manquait aux propositions précédentes.

Et puisque je suis d'une modestie sans borne , je rajoute même qu'elle ouvre aussi vers une preuve visuelle, plus élégantes et si chère à gillesh38...

Bon, j'arrête tout de suite...

[matthias]

Concernant ma solution, j'ai quand même l'idée, après relecture du fil, qu'elle est complète, ce qui manquait aux propositions précédentes.

La solution du message #35 n'est pas complète ?

[Evil.Saien]

Evil.Saien utilise le discriminant pour arriver à cela, mais je ne vois pas non plus à quoi ça sert.

Comment ca vous voyez pas a quoi ca sert ??? Mais ca parait evident !

A avoir le prix nobel de math !