Le général malchanceux

[invitec314d025]

Comment ca vous voyez pas a quoi ca sert ??? Mais ca parait evident !

A avoir le prix nobel de math !

Toutes mes excuses alors. Tu nous tiens au courant de tes découvertes ?
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[ClaudeH]

Bonjour:

J'ai suivi ce fil avec attention.

Il me semble que ce problème à un lien avec la Conjecture de Syracuse?
Mais je n'en suis pas certain. Pourriez-vous me dire si je suis dans l'erreur?
Merci

[invite8915d466]

Comment ca vous voyez pas a quoi ca sert ??? Mais ca parait evident !

A avoir le prix nobel de math !

Qui n'existe pas.... Pour la Medaille Fields, tu as jusqu'a 40 ans je crois..

Pour continuer, je propose de déterminer toutes les solutions et leur nombre., quand elles existent....

[invitec314d025]

J'avoue que je ne vois pas trop le rapport avec la conjecture de Syracuse. Où est-ce qu'il y aurait un lien d'après toi ? Ce sont les puissances de 2 qui te font penser à ça (dans l'algo à la base de la conjecture de syracuse, on est sûr de retomber sur 1 dès qu'on a atteint une puissance de 2) ?

[invitec314d025]

Pour continuer, je propose de déterminer toutes les solutions et leur nombre., quand elles existent....

Si je ne me suis pas trompé ça donne ça:
N = nombre de soldats
n = nombre de colonnes
k = nombre de soldats dans la première colonne
N = q.2^p avec q impair

Solutions avec n pair:
tous les n = q₁.2^p+1
où q₁ est un diviseur de q qui vérifie



Solutions avec n impair:
tous les n =q/q₁
où q₁ est un diviseur de q qui vérifie



avec dans tous les cas:

[ClaudeH]

Où est-ce qu'il y aurait un lien d'après toi ? Ce sont les puissances de 2 qui te font penser à ça

Re

Effectivement ce sont les puissances de 2. N'étant pas mathématicien, j'ai lu tous les posts de ce fil et me suis
rendu compte que vous étiez tous d'accord sur le fait qu'un nombre impair posait problème.

Codialement

[invité576543]

En reprenant la construction que j'ai exposée:

chaque diviseur impair q₁ de N donne une et une seule solution, soit n=q₁, soit n=2N/q₁

Réciproquement, si une solution existe avec n pair, alors on a N = (k + k +n-1)n/2 (en regroupant les colonnes symétriquement), soit 2N = n(2k+n-1) et n = 2N/(2k+n-1), ce qui est exactement la solution obtenue en partant du diviseur impair de N, 2k+n-1.

Ce qui démontre, sauf erreur de ma part, que le nombre de solutions est exactement le nombre de diviseurs impairs de N, et elles sont construites par la construction que j'ai exposée.

Cordialement,

[invite8915d466]

Si je ne me suis pas trompé ça donne ça:
N = nombre de soldats
n = nombre de colonnes
k = nombre de soldats dans la première colonne
N = q.2^p avec q impair

Solutions avec n pair:
tous les n = q₁.2^p+1
où q₁ est un diviseur de q qui vérifie



Solutions avec n impair:
tous les n =q/q₁
où q₁ est un diviseur de q qui vérifie



avec dans tous les cas:

D'accord, mais ça ne te donne pas le nombre....

J'ail'impression (sauf erreur) que le découpage que j'ai dessiné donne une bijection univoque entre la disposition et la factorisation IxH en rectangle de coté impair.

Dans ce cas, le nombre de dispositions serait égal au nombre de rectangles dont un côté est impair.

Si on décompose le nombre N en facteurs premiers
, avec etc...

, le nombre de facteurs impairs différents est (-1 car on exclut le 1), ce qui est bien nul si et seulement si tous les pour

EDIT :d'accord avec mmy donc, je précise juste le nombre de diviseurs impairs

[inviteeecca5b6]

Salut,

j'ai deja fait ca avant, et j'en ai conclue la chose suivante:

La reponse est M t.q. il n'existe pas de r t.q.:
(2(r-1)-1)^2 + 8M soit un carre parfait

Avec ma solution c'est tres facile (informatiquement tout du moins).

On teste un nombre M, on prend r=2, on regarde si (2(r-1)-1)^2 + 8M est un carré parfait.
Si oui -> 1ere colone avec r-1 soldat.
Si non -> r=r+1

Et 'oila le travail

[invitec314d025]

En reprenant la construction que j'ai exposée:

chaque diviseur impair q₁ de N donne une et une seule solution, soit n=q₁, soit n=2N/q₁

chaque diviseur impair sauf 1, non ?
bon on est pas obligé de considérer 1 comme un diviseur ...

D'accord, mais ça ne te donne pas le nombre....

Pas le nombre directement, mais ça donne la même chose.
On retrouve bien nombre de solutions = nombre de diviseurs impairs - 1 (moi j'enlève q et pas 1).

[invitec314d025]

En gros, on est tous d'accord. Une solution géométriqe et une solution purement arithmétique. Encore heureux qu'on trouve la même chose

[invité576543]

chaque diviseur impair sauf 1, non ?
bon on est pas obligé de considérer 1 comme un diviseur ...

Sûr, mais c'est artificiel dans l'énoncé... D'un point de vue général, la solution d'une seule colonne existe.

[invitec314d025]

Oui effectivement, je suis bien d'accord, il est inutile de se cantonner aux limites imposé par l'énoncé.
En tout cas, le résultat final est assez beau.

[invite8915d466]

Sauf que si on accepte une colonne,tous les nombres marchent effectivement et l'histoire n'a plus de sens !
(ou alors il faudrait dire que la seule solution est de ne faire qu'une colonne! )

[invite1b8833c5]

Ton fils ne lit pas science et vie junior ? l'Enigne y est paru me semble t'il

[invité576543]

Ton fils ne lit pas science et vie junior ? l'Enigne y est paru me semble t'il

Si c'est à moi que cela s'adresse, ledit fils ne lit rien (légère dyslexie...). Très bon en maths, mais il travaille "en visuel"...

Par ailleurs je n'ai, disons, pas un grand attrait pour Science et Vie....

Cordialement,

[invite8915d466]

Dommage pour lui....

A mon avis "Science et Vie Junior" n'a rien a voir avec "Science et vie", l'équipe rédactionnelle est différente. Le premier est un très bon journal pour les ados. (suis je resté assez politiquement correct ?)

Amicalement

Gilles

[invité576543]

A mon avis "Science et Vie Junior" n'a rien a voir avec "Science et vie", l'équipe rédactionnelle est différente.

Je note. Je vais en acheter un exemplaire et faire un essai...

Amicalement,

Michel

[ClaudeH]

Bonjour..

J'étais curieux de savoir quel était le nombre de soldats.
(quoique j'en ai une brève idée.)
Surtout les calculs qui permettaient d'arriver au résultat.
Matthias, Gillesh38 et Mmy detiennent la réponse.

Dommage que ce fil se termine en queue de poisson.

Cordialement..

[invitec314d025]

J'étais curieux de savoir quel était le nombre de soldats.
(quoique j'en ai une brève idée.)
Surtout les calculs qui permettaient d'arriver au résultat.

Si tu as tout lu, tu as du voir que c'était nécessairement une puissance de 2. Il n'y en a qu'une entre 1000 et 2000, à savoir 1024.
Pour la méthode, la démo géométrique est vraiment bien, et si c'est des calculs que tu veux, il y a deux ou trois messages ou c'est expliqué. Si tu veux qu'on les remette de manière détaillée dans un seul message, dis-le, ça doit pouvoir se faire.

[ClaudeH]

Si tu as tout lu, tu as du voir que c'était nécessairement une puissance de 2. Il n'y en a qu'une entre 1000 et 2000, à savoir 1024.

Effectivement lorsque j'évoquais la "conjecture de Syracuse ce n'était que la puissance de "2" qui semblait se rapprocher du fameux problème.

En #2 Gillesh38 expilque que ce nombre est utilisé en informatique. j'ai donc fais des recherches sur 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048... (Ram)

Je suis même passé par le calcul des égyptiens.
Puis je suis tombé sur "2 exposant 14".
Ensuite le nombre de ligne d'un tableau exel..Etc..Etc
et j'en oublie...
Je reconnais que ma démarche n'est pas mathématique.
Mais dans tous les cas je retrouvais des puissances de 2.
1024 est la seule puissance de 2 comprise entre 1000 et 2000, mais cela ne me dit pourquoi c'est le résultat recherché.

Si tu veux qu'on les remette de manière détaillée dans un seul message, dis-le, ça doit pouvoir se faire.

Oui.. merci cela m'interesse énormément.

Cordialement

[invitec314d025]

Démonstration arithmétique détaillée pour ClaudeH (sans erreur j'espère).

On a N soldats.
On sait qu'il est impossible de les mettre en formation requise avec n colonnes () et k soldats () sur la première colonne.

Cherchons les nombres N qui permettent la formation requise.



Or avec et q impair (par la décomposition en facteurs premiers)
donc

2k-1 >= 1 et impair donc n < n + 2k - 1 et les deux sont de parité différente.
On en déduit que si q = 1 alors n = 1, ce qui est contraire à l'énoncé.

Si 2^p+1 > q > 1, on a une solution en posant:
n = q et (n+2k-1) = 2^p+1 d'où k = (2^p+1+1-q)/2
Si q > 2^p+1, on a une solution en posant:
n = 2^p+1 et (n+2k-1) = q d'où k = (q+1-2^p+1)/2

Les seuls N qui ne marchent pas sont ceux pour lesquels q=1, c'est à dire N puissance de 2. Une seule puissance de 2 entre 1000 et 2000, à savoir 1024, donc N = 1024.