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Le général malchanceux



  1. #1
    Argyre

    Le général malchanceux


    ------

    Un général convoque son état-major pour le défilement du quatorze juillet. Messieurs, combien de militaires vont défiler ?
    Un colonel répond : entre 1000 et 2000 mon Général, je pourrais vous dire le nombre exact cet après-midi.
    Très bien. Voici ce que je voudrais que vous fassiez : vous allez les disposer en n colonnes rangées en ordre croissant, de sorte que s'il y a k soldats dans la première colonne, il y en ait k+1 dans la 2ème, puis k+2 dans la troisième etc avec à chaque fois 1 soldat de plus dans la colonne suivante jusqu'à la dernière colonne.
    Le colonel reprend : et combien de colonnes voulez-vous mon Général ?
    Le général répond : je m'en fiche, choisissez le nombre de colonnes que vous voulez. Evidemment, il faudrait au moins 2 colonnes, sinon ça n'aurait aucun sens.
    Vous m'avez compris ?
    Oui mon général.

    Quelques heures plus tard, le colonel chargé de trouver la solution revient voir le général :
    Mon général, je suis désolé, j'ai tenté toutes les combinaisons possibles de colonnes en respectant les conditions que vous avez indiqué, ça ne marche pas.

    Question : Combien de soldats doivent défiler ?

    -----

  2. #2
    GillesH38a

    Re : Le général malchanceux

    Marrant comme problème, je crois que j'ai trouvé !

    Indices pour les autres :
    1)Il n'y a pas besoin d'ordinateur, ni même de calculette.
    2)Mais si vous les utilisez, vous reconnaitrez tout de suite le nombre.

  3. #3
    KarmaStuff

    Re : Le général malchanceux

    Citation Envoyé par Argyre
    Question : Combien de soldats doivent défiler ?
    Une infinité...
    Connais-toi toi-même et l'Univers n'aura plus aucun secret pour toi...

  4. #4
    didier9417

    Re : Le général malchanceux

    au maximum 999 pour la premiere colonne si il y en a deux.....non?
    sinon.....je suis curieu de lire la bonne reponse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    GillesH38a

    Re : Le général malchanceux

    Argyre a dit : entre 1000 et 2000 .....

  7. #6
    matthias

    Re : Le général malchanceux

    Citation Envoyé par gillesh38
    Marrant comme problème, je crois que j'ai trouvé !
    Oui, et ça fait plaisir de voir une énigme que je ne connaissais pas.
    Et la solution est assez jolie

  8. #7
    didier9417

    Re : Le général malchanceux

    c vrai manque d'attention.....

  9. #8
    GillesH38a

    Re : Le général malchanceux

    Citation Envoyé par matthias
    Oui, et ça fait plaisir de voir une énigme que je ne connaissais pas.
    Et la solution est assez jolie
    quand est ce qu'on a le droit de comparer nos solutions, enfin plutot nos démarches parce que je suppose que la solution est la même ?

  10. #9
    matthias

    Re : Le général malchanceux

    Citation Envoyé par gillesh38
    quand est ce qu'on a le droit de comparer nos solutions, enfin plutot nos démarches parce que je suppose que la solution est la même ?
    Oui j'imagine que nos solutions sont identiques. Un nombre tout à fait remarquable en effet
    Pour la démarche, j'ai appelé N le nombre de militaires. Si il existait une configuration qui marche, on aurait une forme factorisée simple de 2N, un facteur pair et un facteur impair ...

    ou une autre démarche : chercher les diviseurs possibles.
    Dernière modification par matthias ; 05/12/2005 à 16h12.

  11. #10
    GillesH38a

    Re : Le général malchanceux

    voila, a partir de la factorisation, j'ai tatonné en me disant que si N etait impair, il y avait une solution évidente (avec 2 colonnes), et si N etait pair on considerait N/2, si N/2 etait impair, il y avait une solution a 4 colonnes etc...

    pour N quelconque, la solution comporte donc 2(p+1) colonnes où p est la puissance de 2 dans sa décomposition en facteurs premiers, ce qui marche sauf pour....

  12. #11
    ClaudeH

    Re : Le général malchanceux

    Bonjour..

    Matthias et Gillesh38

    Pourriez-vous me donner un petit indice par rapprot à vos calculs Sans dévoiler le résultat bien sure??
    Merci..

  13. #12
    matthias

    Re : Le général malchanceux

    As-tu fait le calcul de N en fonction de n et k ? Sous forme factorisée simple ?

  14. #13
    invité576543
    Invité

    Re : Le général malchanceux

    Bonsoir,

    Après avoir marné sans succès pour un beau raisonnement, j'ai posé le pb à table ce soir...

    Mon fils de 14 ans a brillamment proposé la démarche suivante: si le nombre total est un multiple d'un nombre impair >1, alors il y a une solution en mettant ce nombre impair de colonnes et la colonne centrale avec un nombre de soldats égal au rapport entre le nombre total et le nombre de colonnes: par symétrie le total est le bon...

    Ce n'est donc pas un multiple d'un nombre impair >1...

    Amicalement,

  15. #14
    matthias

    Re : Le général malchanceux

    Joli !
    J'arrivai à la même chose mais de manière beaucoup moins intuitive et beaucoup moins visuelle (c'était ce que j'entendais par : chercher tous les diviseurs possibles).
    Toutes mes félicitations à ton fils, je ne pense pas qu'on trouve une solution beaucoup plus élégante.

  16. #15
    Evil.Saien

    Re : Le général malchanceux

    Ca serait pas plutot "le produit de 2 nombres impairs" que "le multiple d'un nombre impair" ?
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  17. #16
    invité576543
    Invité

    Re : Le général malchanceux

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    Ca serait pas plutot "le produit de 2 nombres impairs" que "le multiple d'un nombre impair" ?
    Non, par exemple avec 30 soldats, 3 colonnes, 10 au milieu 9 =10-1 d'un côté et 11=10+1 de l'autre...

  18. #17
    Evil.Saien

    Re : Le général malchanceux

    Sauf grosse betise de ma part, avec 14 il me semble que ca marche pas !
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  19. #18
    invité576543
    Invité

    Re : Le général malchanceux

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    Sauf grosse betise de ma part, avec 14 il me semble que ca marche pas !
    Bonne remarque!

    Effectivement, la solution par symétrie ne marche que si, en notant d le diviseur impair, N/d>(d-1)/2, soit N>d(d-1)/2

    J'va réfléchir...
    Dernière modification par invité576543 ; 05/12/2005 à 20h58.

  20. #19
    Evil.Saien

    Re : Le général malchanceux

    Donc ca enleve par tout les nombres multiples de nombres impairs...

    Par exemple si on prend le plus grand nombre premier <1000, qu'on le multiplie par 2, on pourra pas l'arranger selon cette méthode (sans pour autant dire qu'on puisse pas l'arranger du tout).

    Par contre, si on a un nombre qui est le multiple de 2 nombres impairs, la c'est sur qu'il peut etre arrange comme ca.
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  21. #20
    matthias

    Re : Le général malchanceux

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    Sauf grosse betise de ma part, avec 14 il me semble que ca marche pas !
    Ah tiens, c'est vrai ça
    Ca paraissait si beau pourtant qu'on avait même pas envie d'en douter.
    Shame on you Evil

  22. #21
    invité576543
    Invité

    Re : Le général malchanceux

    Tu as raison, evil, cela ne permet pas d'&#233;liminer 2 fois des premiers entre 500 et 1000, par exemple... Dommage!
    EDIT: Croisement...

  23. #22
    matthias

    Re : Le général malchanceux

    En fait je pense qu'on peut retomber sur nos pattes en comparant le plus grand diviseur impair et le quotient du nombre total par ce diviseur (une puissance de 2 donc). Suivant le r&#233;sultat de cette comparaison on peut construire la solution de mani&#232;re diff&#233;rente.
    Finalement &#231;a revient &#224; ma d&#233;mo initiale et &#224; celle de gilles38.

    [EDIT: erreur, il faut comparer le plus grand diviseur impair et le double du quotient]
    Dernière modification par matthias ; 05/12/2005 à 21h14.

  24. #23
    matthias

    Re : Le général malchanceux

    Pour être plus précis:
    N = nombre total de soldats = q.2p
    avec q impair > 1.
    Si 2p+1 > q on a une solution à q colonnes, sinon on a une solution a 2p+1 colonnes.

    Pour 30 ça donne une solution différente: 6 + 7 + 8 + 9

    peut-être qu'il y a un autre moyen donc ...

  25. #24
    matthias

    Re : Le général malchanceux

    Une manière plus simple tirée de la méthode du fils de mmy:
    quand la solution ne marche pas, pour 14 par exemple, on prend le plus grand facteur impair p (ici 7) et on le "casse" en 2 en (p-1)/2 + (p+1)/2, ici 3 et 4, et on rajoute des colonnes de chaque côté.
    Reste à voir si ça résoud tous les cas.

  26. #25
    Evil.Saien

    Re : Le général malchanceux

    Soient c le nombre de colones,
    p la hauteur de la première colone.

    On a alors
    Donc




    A votre avis, il y a moyen de conclure la-dessus ??
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  27. #26
    invité576543
    Invité

    Re : Le général malchanceux

    Citation Envoyé par matthias
    (...) sinon on a une solution a 2p+1 colonnes.

    Pour 30 &#231;a donne une solution diff&#233;rente: 6 + 7 + 8 + 9

    peut-&#234;tre qu'il y a un autre moyen donc ...

    G&#233;om&#233;triquement une solution &#224; un nombre de colonnes pair 2n a un total de n(2m+1) en notant m et m+1 la taille des deux colonnes centrales (d&#233;coupage en 2 et r&#233;aboutement des morceaux en rectangle). Il y a encore une condition >0 de la plus petite colonne, mais si &#231;a se trouve &#231;a correspond &#224; ton q>2p+1 ...

    EDIT: Crois&#233; et pas tr&#232;s loin du poste #24

  28. #27
    matthias

    Re : Le général malchanceux

    Citation Envoyé par Evil.Saien
    Soient c le nombre de colones,
    p la hauteur de la première colone.

    On a alors
    Donc




    A votre avis, il y a moyen de conclure la-dessus ??
    Si tu cherches une solution moins intuitive que celle du fils de mmy, alors pas besoin de faire si compliqué.
    Tu pars de 2N = n.(n+2k-1) (un facteur pair et un facteur impair) et tu retrouves la solution que j'esquissais 3 messages plus haut.

  29. #28
    matthias

    Re : Le général malchanceux

    Citation Envoyé par mmy
    Géométriquement une solution à un nombre de colonnes pair 2n a un total de n(2m+1) en notant m et m+1 la taille des deux colonnes centrales (découpage en 2 et réaboutement des morceaux en rectangle). Il y a encore une condition >0 de la plus petite colonne, mais si ça se trouve ça correspond à ton q>2p+1 ...

    EDIT: Croisé et pas très loin du poste #24
    Oui exactement. Par exemple on voit que pour 36, ça va marcher vraiment ric-rac.
    Finalement je ne suis pas sûr qu'on trouve une solution vraiment très élégante.
    Je pense que partir de 2N = n.(n+2k-1) est encore le plus simple.

  30. #29
    invité576543
    Invité

    Re : Le général malchanceux

    La condition de psotivit&#233; de la petite colonne est (q-1)/2>2p, &#231;a marche presque. Il y a peut-&#234;tre un cas vicieux &#224; l'&#233;galit&#233; q=2p+1+1

    EDIT: On est en ligne, 36 = (8+1)8/2 !!

  31. #30
    matthias

    Re : Le général malchanceux

    Citation Envoyé par mmy
    La condition de psotivité de la petite colonne est (q-1)/2>2p, ça marche presque. Il y a peut-être un cas vicieux à l'égalité q=2p+1+1

    EDIT: On est en ligne, 36 = (8+1)8/2 !!
    Oui pas de cas vicieux, ton cas correspond à k = 1, n= 2p+1

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