Le général malchanceux

[invite06fcc10b]

Un général convoque son état-major pour le défilement du quatorze juillet. Messieurs, combien de militaires vont défiler ?
Un colonel répond : entre 1000 et 2000 mon Général, je pourrais vous dire le nombre exact cet après-midi.
Très bien. Voici ce que je voudrais que vous fassiez : vous allez les disposer en n colonnes rangées en ordre croissant, de sorte que s'il y a k soldats dans la première colonne, il y en ait k+1 dans la 2ème, puis k+2 dans la troisième etc avec à chaque fois 1 soldat de plus dans la colonne suivante jusqu'à la dernière colonne.
Le colonel reprend : et combien de colonnes voulez-vous mon Général ?
Le général répond : je m'en fiche, choisissez le nombre de colonnes que vous voulez. Evidemment, il faudrait au moins 2 colonnes, sinon ça n'aurait aucun sens.
Vous m'avez compris ?
Oui mon général.

Quelques heures plus tard, le colonel chargé de trouver la solution revient voir le général :
Mon général, je suis désolé, j'ai tenté toutes les combinaisons possibles de colonnes en respectant les conditions que vous avez indiqué, ça ne marche pas.

Question : Combien de soldats doivent défiler ?
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[GillesH38a]

Marrant comme problème, je crois que j'ai trouvé !

Indices pour les autres :
1)Il n'y a pas besoin d'ordinateur, ni même de calculette.
2)Mais si vous les utilisez, vous reconnaitrez tout de suite le nombre.

[inviteba0a4d6e]

Question : Combien de soldats doivent défiler ?

Une infinité...

[invitefd2dbdcd]

au maximum 999 pour la premiere colonne si il y en a deux.....non?
sinon.....je suis curieu de lire la bonne reponse

[A voir en vidéo sur Futura]

[GillesH38a]

Argyre a dit : entre 1000 et 2000 .....

[matthias]

Marrant comme problème, je crois que j'ai trouvé !

Oui, et ça fait plaisir de voir une énigme que je ne connaissais pas.
Et la solution est assez jolie

[invitefd2dbdcd]

c vrai manque d'attention.....

[GillesH38a]

Oui, et ça fait plaisir de voir une énigme que je ne connaissais pas.
Et la solution est assez jolie

quand est ce qu'on a le droit de comparer nos solutions, enfin plutot nos démarches parce que je suppose que la solution est la même ?

[matthias]

quand est ce qu'on a le droit de comparer nos solutions, enfin plutot nos démarches parce que je suppose que la solution est la même ?

Oui j'imagine que nos solutions sont identiques. Un nombre tout à fait remarquable en effet
Pour la démarche, j'ai appelé N le nombre de militaires. Si il existait une configuration qui marche, on aurait une forme factorisée simple de 2N, un facteur pair et un facteur impair ...

ou une autre démarche : chercher les diviseurs possibles.

[GillesH38a]

voila, a partir de la factorisation, j'ai tatonné en me disant que si N etait impair, il y avait une solution évidente (avec 2 colonnes), et si N etait pair on considerait N/2, si N/2 etait impair, il y avait une solution a 4 colonnes etc...

pour N quelconque, la solution comporte donc 2^(p+1) colonnes où p est la puissance de 2 dans sa décomposition en facteurs premiers, ce qui marche sauf pour....

[ClaudeH]

Bonjour..

Matthias et Gillesh38

Pourriez-vous me donner un petit indice par rapprot à vos calculs Sans dévoiler le résultat bien sure??
Merci..

[matthias]

As-tu fait le calcul de N en fonction de n et k ? Sous forme factorisée simple ?

[invité576543]

Bonsoir,

Après avoir marné sans succès pour un beau raisonnement, j'ai posé le pb à table ce soir...

Mon fils de 14 ans a brillamment proposé la démarche suivante: si le nombre total est un multiple d'un nombre impair >1, alors il y a une solution en mettant ce nombre impair de colonnes et la colonne centrale avec un nombre de soldats égal au rapport entre le nombre total et le nombre de colonnes: par symétrie le total est le bon...

Ce n'est donc pas un multiple d'un nombre impair >1...

Amicalement,

[matthias]

Joli !
J'arrivai à la même chose mais de manière beaucoup moins intuitive et beaucoup moins visuelle (c'était ce que j'entendais par : chercher tous les diviseurs possibles).
Toutes mes félicitations à ton fils, je ne pense pas qu'on trouve une solution beaucoup plus élégante.

[Evil.Saien]

Ca serait pas plutot "le produit de 2 nombres impairs" que "le multiple d'un nombre impair" ?

[invité576543]

Ca serait pas plutot "le produit de 2 nombres impairs" que "le multiple d'un nombre impair" ?

Non, par exemple avec 30 soldats, 3 colonnes, 10 au milieu 9 =10-1 d'un côté et 11=10+1 de l'autre...

[Evil.Saien]

Sauf grosse betise de ma part, avec 14 il me semble que ca marche pas !

[invité576543]

Sauf grosse betise de ma part, avec 14 il me semble que ca marche pas !

Bonne remarque!

Effectivement, la solution par symétrie ne marche que si, en notant d le diviseur impair, N/d>(d-1)/2, soit N>d(d-1)/2

J'va réfléchir...

[Evil.Saien]

Donc ca enleve par tout les nombres multiples de nombres impairs...

Par exemple si on prend le plus grand nombre premier <1000, qu'on le multiplie par 2, on pourra pas l'arranger selon cette méthode (sans pour autant dire qu'on puisse pas l'arranger du tout).

Par contre, si on a un nombre qui est le multiple de 2 nombres impairs, la c'est sur qu'il peut etre arrange comme ca.

[matthias]

Sauf grosse betise de ma part, avec 14 il me semble que ca marche pas !

Ah tiens, c'est vrai ça
Ca paraissait si beau pourtant qu'on avait même pas envie d'en douter.
Shame on you Evil

[invité576543]

Tu as raison, evil, cela ne permet pas d'&#233;liminer 2 fois des premiers entre 500 et 1000, par exemple... Dommage!
EDIT: Croisement...

[matthias]

En fait je pense qu'on peut retomber sur nos pattes en comparant le plus grand diviseur impair et le quotient du nombre total par ce diviseur (une puissance de 2 donc). Suivant le r&#233;sultat de cette comparaison on peut construire la solution de mani&#232;re diff&#233;rente.
Finalement &#231;a revient &#224; ma d&#233;mo initiale et &#224; celle de gilles38.

[EDIT: erreur, il faut comparer le plus grand diviseur impair et le double du quotient]

[matthias]

Pour être plus précis:
N = nombre total de soldats = q.2^p
avec q impair > 1.
Si 2^p+1 > q on a une solution à q colonnes, sinon on a une solution a 2^p+1 colonnes.

Pour 30 ça donne une solution différente: 6 + 7 + 8 + 9

peut-être qu'il y a un autre moyen donc ...

[matthias]

Une manière plus simple tirée de la méthode du fils de mmy:
quand la solution ne marche pas, pour 14 par exemple, on prend le plus grand facteur impair p (ici 7) et on le "casse" en 2 en (p-1)/2 + (p+1)/2, ici 3 et 4, et on rajoute des colonnes de chaque côté.
Reste à voir si ça résoud tous les cas.

[Evil.Saien]

Soient c le nombre de colones,
p la hauteur de la première colone.

On a alors
Donc




A votre avis, il y a moyen de conclure la-dessus ??

[invité576543]

(...) sinon on a une solution a 2^p+1 colonnes.

Pour 30 &#231;a donne une solution diff&#233;rente: 6 + 7 + 8 + 9

peut-&#234;tre qu'il y a un autre moyen donc ...

G&#233;om&#233;triquement une solution &#224; un nombre de colonnes pair 2n a un total de n(2m+1) en notant m et m+1 la taille des deux colonnes centrales (d&#233;coupage en 2 et r&#233;aboutement des morceaux en rectangle). Il y a encore une condition >0 de la plus petite colonne, mais si &#231;a se trouve &#231;a correspond &#224; ton q>2^p+1 ...

EDIT: Crois&#233; et pas tr&#232;s loin du poste #24

[matthias]

Soient c le nombre de colones,
p la hauteur de la première colone.

On a alors
Donc




A votre avis, il y a moyen de conclure la-dessus ??

Si tu cherches une solution moins intuitive que celle du fils de mmy, alors pas besoin de faire si compliqué.
Tu pars de 2N = n.(n+2k-1) (un facteur pair et un facteur impair) et tu retrouves la solution que j'esquissais 3 messages plus haut.

[matthias]

Géométriquement une solution à un nombre de colonnes pair 2n a un total de n(2m+1) en notant m et m+1 la taille des deux colonnes centrales (découpage en 2 et réaboutement des morceaux en rectangle). Il y a encore une condition >0 de la plus petite colonne, mais si ça se trouve ça correspond à ton q>2^p+1 ...

EDIT: Croisé et pas très loin du poste #24

Oui exactement. Par exemple on voit que pour 36, ça va marcher vraiment ric-rac.
Finalement je ne suis pas sûr qu'on trouve une solution vraiment très élégante.
Je pense que partir de 2N = n.(n+2k-1) est encore le plus simple.

[invité576543]

La condition de psotivit&#233; de la petite colonne est (q-1)/2>2^p, &#231;a marche presque. Il y a peut-&#234;tre un cas vicieux &#224; l'&#233;galit&#233; q=2^p+1+1

EDIT: On est en ligne, 36 = (8+1)8/2 !!

[matthias]

La condition de psotivité de la petite colonne est (q-1)/2>2^p, ça marche presque. Il y a peut-être un cas vicieux à l'égalité q=2^p+1+1

EDIT: On est en ligne, 36 = (8+1)8/2 !!

Oui pas de cas vicieux, ton cas correspond à k = 1, n= 2^p+1