Géométrie non plane

[Amanuensis]

Une "énigme" issue de réflexions suite à des remarques es "topologie".

Quel objet a comme six projections sur des plans orthogonaux respectivement deux disques et quatre carrés pleins?

Question subsidiaire: quelles sont ses quatre projections ?
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[invite51d17075]

je dois mal saisir l'énoncé.
car un cylindre de diamètre égal à sa hauteur a des projections "carrées" sur tout plan vertical et des projection "disque" sur les plans horizontaux.

[Amanuensis]

Le plus gros de "l'énigme" est dans les bizarreries de l'énoncé.

[invite51d17075]

je comprend mieux.
je me doutais qu'il devait y avoir une subtilité.
or, tu ne précises pas par exemple dans quelle nb de dimensions tu situes le pb.
d'ou le 6 et le 4.
donc doit on supposer que tu te places en dimension 6 ?
ou la subtilité est ailleurs ?
ce qu'on peut supposer vu le titre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

donc doit on supposer que tu te places en dimension 6 ?

Non

ou la subtilité est ailleurs ?

Non plus.

[Médiat]

donc doit on supposer que tu te places en dimension 6 ?
.

Pourquoi pas 4 ?

[invite51d17075]

effectivement, mais le titre me fait réflechir un peu.
ça fait pas de mal

[Amanuensis]

Annulé......

[invite51d17075]

oups, il a failli donner un indice le malin

[Amanuensis]

Non, c'est juste que j'ai eu un doute passager sur mon énoncé, suffisant pour proposer une correction, puis le doute s'est dissipé.

(C'était entre disque et cercle, mais l'un ou l'autre fait sens, la réponse est juste un peu différente.)

[Médiat]

Réponse simple en dimension 5 :

Les bons plans à choisir sont évidents

[Amanuensis]

Et pour la question subsidiaire?

(Pour une version améliorée de l'énigme, je proposerai "quel objet, descriptible par un mot, ...")

[Amanuensis]

Les bons plans à choisir sont évidents

D'une certaine manière. Il y a alors plein (105 ?) de possibilités, et aucune raison évidente d'en choisir une plutôt qu'une autre. (Je compte 3 disques et 7 carrés parmi lesquels choisir, non?)

[invite51d17075]

je dirais betement un hypercylindre.
mais pourquoi Géometrie "non-plane" ?

[Amanuensis]

Fallait bien un titre.

[Médiat]

aucune raison évidente d'en choisir une plutôt qu'une autre.

Pour une bonne énigme il n'y a qu'une seule solution, ici il y a plein de plans évidents qui répondent à la question, ce n'est pas de mon fait (et l'énoncé n'interdit pas un nombre supérieur de dimensions) !

[Amanuensis]

Eh bien ce n'est pas une "bonne énigme" selon ce critère.

Est-ce un problème?

[Médiat]

Pour certains, oui ! Par exemple :

Ce qui rend ce type d'énigme peu satisfaisant est qu'il existe une infinité de solutions

[polo974]

je dirais betement un hypercylindre.
...

Médiat a décrit une sphère élevée dans 2 autres dimensions, mais sauf erreur, ça pourrait aussi être une hyper-sphère de dimension 4 élevée dans une seule autre dimension.

Enfin, ça pourrait être un cylindre "hyper-élevé" (on duplique les équations des 3 premières dimensions dans un second groupe de 3 nouvelles dimensions) mais là, on est alors à 6 dimensions.

(excuses⁵ pour les "hyper-néologismes"...)

[Amanuensis]

annullé.........

[Amanuensis]

Médiat a décrit une sphère élevée dans 2 autres dimensions, mais sauf erreur, ça pourrait aussi être une hyper-sphère de dimension 4 élevée dans une seule autre dimension.

Cela doit faire 6 disques et 4 carrés, il me semble.

[Amanuensis]

Et là encore; qu'en est-il de la question subsidiaire? (En particulier, comment faut-il la comprendre? Pourquoi "ses"?)

[polo974]

Cela doit faire 6 disques et 4 carrés, il me semble.

Ben oui, 10 projections planes dans un hyper espace à 5 dimensions...

Donc si on reprend l’énoncé:

Quel objet a comme six projections sur des plans orthogonaux...

il faut en conclure qu'on est en 4 dimensions (x,y,z,a par la suite)
et avec:

... respectivement deux disques et quatre carrés pleins

disons (x² + y² <= 1) inter (z² + a² <= 1)
on a donc des disques dans les plans (x,y) et (z,a), et des carrés dans les autres.

Question subsidiaire: quelles sont ses quatre projections ?

(je suppose que c'est ces et non ses qu'il faut lire, ou ai-je tout faux?)
(x,z), (x,a), (y,z), (y,a)

[Amanuensis]

Donc si on reprend l’énoncé:

il faut en conclure qu'on est en 4 dimensions (x,y,z,a par la suite)

Oui

disons (x² + y² <= 1) inter (z² + a² <= 1)
on a donc des disques dans les plans (x,y) et (z,a), et des carrés dans les autres.

Oui. Et cet "objet" a un nom!

(je suppose que c'est ces et non ses qu'il faut lire

Non, c'est bien "ses", et comme il y en a 4 fallait penser aux projections sur 4 espaces 3D "orthogonaux", à l'instar des 3 projections planes pour un objet 3D "à la façon des mécaniciens". La réponse doit être donc quatre "volumes", lesquels?

L'un des intérêts (selon mes critères) est le côté surprenant de ce qu'est l'hypervolume (donné par son nom) et ses projections 3D.

[Médiat]

Projections 4D-->3D-->2D

[polo974]

...

Oui. Et cet "objet" a un nom!

heuuu un hyper-bi-cylindre...

Non, c'est bien "ses", et comme il y en a 4 fallait penser aux projections sur 4 espaces 3D "orthogonaux", à l'instar des 3 projections planes pour un objet 3D "à la façon des mécaniciens". La réponse doit être donc quatre "volumes", lesquels?

Ok, je croyais que ça faisait référence aux 4 projections donnant les quatre carrés pleins (trop simple, bien sûr...).
ça donnes des cylindres "standards" (en gros on vire chaque fois une des dimensions dans l'équation).

L'un des intérêts (selon mes critères) est le côté surprenant de ce qu'est l'hypervolume (donné par son nom) et ses projections 3D.

[Médiat]

heuuu un hyper-bi-cylindre

Ou un "hyper"-coussin

[polo974]

Ou un coussin

Ah bon, même en 4 dimensions, ça s'appelle comme ça... (c'est bien le nom de l'objet en 4 dimension qui est à trouver, non?)

Je suis déçu, j'attendais un hyper bidule...

(scrogneugneu, coussin, c'est trop pas mathématique pour trouver un truc utile sur gogol...)

[Amanuensis]

heuuu un hyper-bi-cylindre...

Il y a plus simple!

Quelle est la surface de l'objet, en tant que variété 2D? (Le bestiaire des variétés topologiques 2D est bien établi...)

ça donnes des cylindres "standards" (en gros on vire chaque fois une des dimensions dans l'équation).

C'est bien cela, tous identiques. Ce sont des cylindres pleins, dont la surface est homéomorphe à une sphère S2.

Si on se limite à ce qui vient de la surface de l'objet 4D, on obtient des cylindres à bord au sens d'une surfaces 2D (S1x[-1/2, 1/2]).

[polo974]

Merci pour cette récréation...