Petit Jeu de l'été II

[Médiat]

Bonjour,

On se place dans IN² et on suppose que vous disposez d'une machine qui, pour chaque point M(x, y) sait calculer le carré du rayon du cercle de centre (0, 0) passant par M(x, y) (il sera noté M(x, y) aussi), peut-on, avec cette seule machine, calculer le périmètre et la surface du rectangle délimité par O et M (et les projections orthogonales de M sur les axes) ?

Cette machine sait aussi résoudre certaines équations du genre : déterminer x tel que M(3, x) = 25 (elle ne saurait pas résoudre M(3, x) = 12).

Cet exercice se traduit en arithmétique formelle, le but ici (pour moi, en tout cas), c'est d'expliquer, par l'exemple ce que l'on peut et ce que l'on ne peut pas faire dans ce cadre (et pas forcément de trouver la réponse finale (ce qui irait au delà du ludique)).
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[Matmat]

Bonjour,
Déjà on peut dire une première chose , c'est que le point (y,x) appartenant au même cercle que le point (x,y) , la machine est démunie s'agissant de déterminer les projections orthogonales sur les axes ( quand elle a une solution (x,y) , il y en a toujours une deuxième possible (y,x) et elle n'a aucune manière de décider entre les deux )

[Médiat]

Bonsoir,

Elle ne sait que calculer le rayon au carré, vous remarquerez que quelque soit le choix (x, y) ou (y, x) la surface et le périmètre sont inchangés.

[Matmat]

Quand la machine dit 625 il y a plusieurs solutions de périmètre et de surface.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Je n'avais pas compris votre question.

Vous avez raison, mais c'est vous qui nourrissez la machine, la question est : peut-on la nourrir et de quelle façon, de telle sorte que la machine me fournisse le périmètre et la surface...

[Médiat]

Bonjour,

Je vais essayer d'être plus clair :

Supposons que l'on veuille calculer le périmètre et l'aire du rectangle lorsque x = 3 et y = 4 ; on ne sait faire aucune opération sur ces nombres, à part les fournir à la machine, je peux donc obtenir facilement :
(3, 4) --> 25
(3, 3) --> 18
(4, 4) --> 32

On dispose donc, après ces calculs, de 5 nombres différents : 3, 4, 25, 18, 32. Je peux donc demander à la machine de nouveaux calculs, par exemple : quelle valeur de x permet d'avoir (3, x) --> 25 ; la machine répond 4 (ce qui, ici, ne sert pas à grand chose ... Je précise que pour ce genre d'équation, la machine ne peut répondre que s'il existe une et une seule réponse (dans IN).

[Matmat]

Ah je crois que je comprend mieux mais je n'en suis pas sur.
si je reprend l'exemple avec (3,4) --> 25 , si par exemple je veux lui faire dire 24 , est ce que j'ai le droit de lui demander x tel que (3+4,x) --> (25,25) ? Je crois pas car 3+4 est une opération .

[Médiat]

si je reprend l'exemple avec (3,4) --> 25 , si par exemple je veux lui faire dire 24 , est ce que j'ai le droit de dire (3+4,x) --> (25,25) ? Je crois pas car 3+4 est une opération .

Pour prendre une notation courante, on pourrait écrire et le but c'est de définir l'addition et la multiplication en n'utilisant que (donc, tant que ce n'est pas fait, on ne peut pas écrire (3 + 4), puisque + n'existe pas)

[invite4b07365d]

Pour prendre une notation courante, on pourrait écrire et le but c'est de définir l'addition et la multiplication en n'utilisant que (donc, tant que ce n'est pas fait, on ne peut pas écrire (3 + 4), puisque + n'existe pas)

Bonjour,

Il semblerait que cela ne soit pas possible car si on considère l'opération, : (x,y)->x^2+y^2.
Et que l'on par de l'ensemble {0,1} alors les seuls nombres plus petit que 5 que l'on peut construire avec cette opération sont : 2=1^2+1^2 et 5=2^2+1.
Donc on ne peut construire ni 4, ni 3 donc ne suffit pas pour produire l'addition.

Bonne journée.

[invite4b07365d]

Juste en prenant l'ensemble de départ {0,1,2} on se rend compte que pour la multiplication également cela ne semble pas possible.

PS : 5 minutes pour changer un message c'est trop court.

[Médiat]

Bonjour,

Le problème n'est pas de produire 3 et 4, mais 14 et 12.

De plus je ne sais pas ce que sont ce 0 et ce 1, ici on ne connaît (dans l'exemple) que 3 et 4.

[invite4b07365d]

Ok, je vais essayer de produire un raisonnement plus compréhensible.
Supposons que cette opération permette de produire l'addition ou la multplication, alors à partir de l'ensemble {0,1,2}, on devrait pouvoir obtenir 4=2+2=2*2; or à partir de cette ensemble on construit {0,1,2,5,...} et donc 4 n'y est pas, d'où l'impossibilité.
Répondant à cela :

Pour prendre une notation courante, on pourrait écrire et le but c'est de définir l'addition et la multiplication en n'utilisant que (donc, tant que ce n'est pas fait, on ne peut pas écrire (3 + 4), puisque + n'existe pas)

[Médiat]

Je reprends votre exemple en partant de {0, 1}

[invite4b07365d]

Effectivement, j'ai bien fait de prendre des précautions oratoires, en tous les cas 3 n'est pas constructible à partir de {0,1,2}.

[Médiat]

Je continue mon exemple avec dorénavant {0, 1, 2, 4}

[invite4b07365d]

Je ne réponde pas au problème en génèrale mais à ceci :

Citation :

le but c'est de définir l'addition et la multiplication en n'utilisant que

[Médiat]

Oui, le but est bien de définir l'addition, mais vous disiez ne pas pouvoir générer 3, j'aurais pu l'écrire :



Attention cette formule n'est pas générale pour l'addition

[invite4b07365d]

Oui, mais vous n'utiliser pas que l'opération op1 : (x,y)->x^2+y^2, mais aussi op2 : (x,y)->sqrt(y-x^2) si entier, me semble-t-il.

Bonne journée.

[Médiat]

Relisez l'énoncé :

Cette machine sait aussi résoudre certaines équations du genre : déterminer x tel que M(3, x) = 25 (elle ne saurait pas résoudre M(3, x) = 12).

D'ailleurs la dernière forme que j'ai donnée est parfaitement valide au regard de la logique du 1er ordre (but ultime de ce "Jeu").

[invite4b07365d]

C'est juste un malentendu.

Pour le problème génèrale (avec op2) je ne sais pas, sinon pour le problème avec op1 seulement, c'est impossible de définir l'addition car on ne peut construire 3 à partir de {0,1}, question que vous ne semblez pas poser, j'ai juste mal interprèté la citation en italique.

Bonne journée.

[Médiat]

C'est juste un malentendu.

Pas de problème

avec op1 seulement, c'est impossible de définir l'addition car on ne peut construire 3 à partir de {0,1}, question que vous ne semblez pas poser

C'est effectivement impossible car sinon cela signifierait que tout nombre entier est la somme de 2 carrés, alors que le Théorème de Lagrange indique qu'il en faut 4.

[Médiat]

Je précise un point :

Cette machine sait aussi résoudre certaines équations du genre : déterminer x tel que M(3, x) = 25 (elle ne saurait pas résoudre M(3, x) = 12).

Les équations valides sont de la forme (j'utilise la nouvelle notation) , où et sont soit des nombres déjà calculés préalablement, soit des variables, et que l'équation possède une et une seule solution.

Par exemple en précisant que et sont 3 variables ne ramène aucune valeur puisque plusieurs triplets conviennent, par contre, si 18 a été calculé, alors permet d'affecter la valeur 3 à la variable , et, si 2 a été calculé, permet d'affecter la valeur 1 à et à .

[Matmat]

Je précise un point :
...si 2 a été calculé, permet d'affecter la valeur 1 à et à .

Très intéressante celle-ci .
Je n'avais pas réalisé qu'en cas de solution unique, les équations à deux inconnues étaient autorisées .

[Médiat]

Bonjour,

Et on peut compliquer un peu, par exemple si 13 a été calculé au préalable permet de définir 1 et 3. Et, bien sûr, on peut compliquer à loisir ; la règle est qu'il doit exister une solution et une seule.

[invite4b07365d]

Bonjour,

Et on peut compliquer un peu, par exemple si 13 a été calculé au préalable permet de définir 1 et 3. Et, bien sûr, on peut compliquer à loisir ; la règle est qu'il doit exister une solution et une seule.

Bonjour,

Pour 25=op(x,y) on a seul un couple ensembliste de solutions et deux couples cartésiens, alors on prends ou pas ?
Deplus a-ton le droit de compiler plusieurs équations qui ensemble ont une seule solution et prise une à une pas du tout ?

[Médiat]

Pour 25=op(x,y) on a seul un couple ensembliste de solutions et deux couples cartésiens, alors on prends ou pas ?

Non, x et y représente des variables, on ne peut les interchanger.

Deplus a-ton le droit de compiler plusieurs équations qui ensemble ont une seule solution et prise une à une pas du tout ?

A priori oui, puisque plusieurs équations peuvent devenir une seule avec un "et" entre les deux.

[invite4b07365d]

A priori oui, puisque plusieurs équations peuvent devenir une seule avec un "et" entre les deux.

Aurrais-tu un exemple où c'est non ?

[invite4b07365d]

Non, x et y représente des variables, on ne peut les interchanger.

Pourtant il semblerait que l'usage du "et" est permis pourquoi alors le "ou" ne pourrait pas être utiliser lui aussi, permettant ainsi de manipuler des ensembles fini d'entiers ?

[Médiat]

Le principe est de définir un nombre par une formule :

Pour que cela marche il faut qu'un seul x vérifie la formule

[invite4b07365d]

Le principe est de définir un nombre par une formule :

Pour que cela marche il faut qu'un seul x vérifie la formule

Si j'ai bien compris, (merci de me corriger si j'ai tord) x = a peut-être de la forme
(x1=a1 et x2=a2 et x3=a3 ... et x3=an) <équivaut à> (Phi_1(x1,x2,..,xn,b1) et Phi_2(x1,x2,...,b2= et .... Phi_k(...,bk)

Or la logique du première ordre permet l'usage du "ou" donc on peut écrire :
(x=a ou x=b) car il semble que (x=a) soit une formule valable (selon tes critères) lorque a est déjà définie.