Hôtel magique...

[inviteea23c262]

Excusez moi, mais si elles sont toutes occupées, est ce qu'on ne peut pas dire que c'est parce que toutes les chambres sont réservées par l'infinité de clients qui va arriver ? (ma copine a pensé à ça, je pense que c'est pas la solution, mais c'a m'a fait rire...) Bien entendu, si des gens sont déjà installés dans les chambres, ça ne marche plus (dommage, parce que dans la série " je cherche pendant des plombes mais la solution est toute bête, ça aurait été marrant... )

Bien cordialement

Train
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[invitedebe236f]

oulala
alors infini de chambre toute occupe soit de 1 a infini
on leur telephone tous pour qu il sorte de leur chambre (x)
et qu il rentre dans la chambre 2x
donc chambre impaire(infini) est vide

le truc est de savoir si infini et 2 fois infini est le meme infini

[invitefe3b6e75]

Oula ça devient de plus en plus compliqué... c'est bizarre quand même cette histoire d'infini fini... ^^

[inviteba0a4d6e]

Oula ça devient de plus en plus compliqué... c'est bizarre quand même cette histoire d'infini fini... ^^

Quel infini 'fini' ? De quoi parles-tu ?

[invitefa5fd80c]

Quel infini 'fini' ? De quoi parles-tu ?

En fait, lorsque l'on parle d'infini, il est à mon sens impossible de savoir de quoi l'on parle puisque, par essence, l'infini est une "quantité" non-déterminée en soi.
A rapprocher d'une certaine façon avec l'indétermination quantique
Il y a là de quoi construire un hôtel encore plus magique

[invitefe3b6e75]

Pour dire que toutes les chambres sont occupées, il faut le nombre de voyageurs présents soit égal au nombre de chambres. Or le nombre de chambre est infini... bref je me mélange les pinceaux. Au début dans l'hôtel il y avait 1 infinité de chambre et ensuite il y en a 2 * infini... Rholalalala

[inviteeecca5b6]

Faut pas se melanger les pinceaux pour si peu...

C'est juste un exemple un peu tordu pour illustrer le fait qu'il y a autant de nombres impairs que de nombres pairs et que de nombre entiers naturels... Puisqu'on peut definir une fonction qui associe un pair (ou impair) a tout entier naturel...

Par contre, on peut pas remplir tous les reels en utilisant seulement les naturels... C'est pour ca qu'on dit qu'il y a "plus" de nombre reels que de nombres naturels bien que dans les 2 cas il y en ait une infinite...

[invitec314d025]

En fait, lorsque l'on parle d'infini, il est à mon sens impossible de savoir de quoi l'on parle puisque, par essence, l'infini est une "quantité" non-déterminée en soi.
A rapprocher d'une certaine façon avec l'indétermination quantique

Non il n'y a aucun problème. On parle ici d'infini dénombrable. Donc on sait tout à fait de quoi on parle : d'un ensemble en bijection avec l'ensemble des entiers naturels.
Et en maths on peut comparer les infinis, même les quantifier en un sens (en faire des nombres). Merci Cantor et cie.

[inviteba0a4d6e]

Pour dire que toutes les chambres sont occupées, il faut le nombre de voyageurs présents soit égal au nombre de chambres. Or le nombre de chambre est infini... bref je me mélange les pinceaux. Au début dans l'hôtel il y avait 1 infinité de chambre et ensuite il y en a 2 * infini... Rholalalala

Le nombre des premiers hôtes est infini... Le nombre des hôtes suivants est aussi infini... Il s'agit de 2 infinis distincts... Ces 2 infinis peuvent entrer dans l'infini numérique des chambres, du moment où on les répartit de manière 'logique'...

On pourrait même aller plus loin et imaginer 3 infinis pour les hôtes... Au lieu de se restreindre au choix chambres paires/impaires, on pourrait délimiter le choix à :

- numéros paires

- numéros impaires non premiers

- numéros impaires premiers

Là encore, aucun problème pour loger tout le monde, il existe une infinité de termes pour chaque choix...

Les hôtes déjà présents et occupant au préalable toutes les chambres vont dans les chambres dont le numéro est paire...

Les nouveaux hôtes vont dans les chambres dont le numéro est impaire non premier...

Les derniers hôtes vont dans les chambres dont le numéro est impaire premier...

3 infinis répartis dans un seul infini... Ca donne le vertige mais ça fonctionne...
Et on pourrait même augmenter les possibilités avec les "nuances" mathématiques des nombres...

[invitec314d025]

On pourrait même aller plus loin et imaginer 3 infinis pour les hôtes...

Même une infinité (toujours dénombrable).
En fait ce problème se veut à l'origine une illustration du fait qu'une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
On échappe ici difficilement à la formalisation mathématique si on ne veut pas s'embrouiller avec des considérations épistémo-philosophiques sur l'infini.

[inviteba0a4d6e]

Même une infinité (toujours dénombrable).
En fait ce problème se veut à l'origine une illustration du fait qu'une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
On échappe ici difficilement à la formalisation mathématique si on ne veut pas s'embrouiller avec des considérations épistémo-philosophiques sur l'infini.

Dans le cas de l'hôtel, on ne peut pas nuancer indéfiniment les numéros de chambres... Après les paires, impaires premiers et non premiers, il existe d'autres "exceptions" numériques (numérales ?), mais pas une infinité (?) Il y aura un moment où l'on ne pourra plus loger une nouvelle infinité d'hôtes...

D'ailleurs, combien de possiblités existerait-il ?

[invitec314d025]

Il y aura un moment où l'on ne pourra plus loger une nouvelle infinité d'hôtes...

Si on peut toujours. C'est pour ça qu'au post #2 cricri proposait une extension du problème (qui fait partie du problème original) où on devait loger les gens arrivant dans une infinité de cars contenant chacun une infinité de personnes.
C'est ce que signifie : une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
Ici chaque car est un ensemble dénombrable de passagers. L'ensemble des cars est un ensemble dénombrable, donc l'ensemble des passagers des cars (plus ceux de l'hôtel) forment une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables.
Et tout ce petit monde loge facilement dans l'hôtel.

[piwi]

On échappe ici difficilement à la formalisation mathématique si on ne veut pas s'embrouiller avec des considérations épistémo-philosophiques sur l'infini.

Je suis assez d'accord. Je dirais même que l'on ne peut accepter la réponse que si on la formalise de façon mathématique et que l'on s'en tient à cette vision. Sinon on tombe assez rapidement sur les considérations que j'evoquais plus haut.

[inviteba0a4d6e]

Si on peut toujours. C'est pour ça qu'au post #2 cricri proposait une extension du problème (qui fait partie du problème original) où on devait loger les gens arrivant dans une infinité de cars contenant chacun une infinité de personnes.
C'est ce que signifie : une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
Ici chaque car est un ensemble dénombrable de passagers. L'ensemble des cars est un ensemble dénombrable, donc l'ensemble des passagers des cars (plus ceux de l'hôtel) forment une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables.
Et tout ce petit monde loge facilement dans l'hôtel.

Non non, ce n'est pas de ça dont je parlais (et je suis d'accord avec ce que tu dis), mais plutôt de l'agencement au sein de l'hôtel (par rapport aux 'différenciations' des chambres)...

La solution de l'énigme s'arrêtait à la solution "chambres avec numéros paires et numéros impaires"... Rien n'empêche d'aller au-delà de 2 choix et d'ordonner les hôtes selon 3 solutions "paires, impaires premiers et non premiers"... Et pourquoi pas 10 solutions "numéros finissant par les chiffres de 0 à 9".
Par exemple, lors d'une nouvelle arrivée, les hôtes iront uniquement dans les chambres 7, 17, 27, etc... Idem pour une autre arrivée "10, 20, 30 etc" et ainsi de suite...

On peut inventer toutes sortes d'alternatives (c'est là-dessus que j'insiste) comme toutes celles citées précédemment, mais pas une infinité... (?)

[inviteeecca5b6]

Je te propose une infinite d'ensembles:

On prend tous les multiples de 2 (on va inclure 1 dans les multiples de 2),
Tous les multiples de 3 sauf les nombres deja multiples de 2 (c'est a dire sauf 6, 12, etc... qui sont consideres comme multiples de 2),
Tous les multiples de 5 sauf ceux qui sont deja multiples de 2 et 3,
Et ainsi de suite avec tous les nombres premiers...

Ca nous fait donc une infinite d'ensemble contenant une infinite denombrable d'elements.
Ensuite plus qu'a les ranger.

[invitec314d025]

Je vous propose une vision plus géométrique (version infinité de cars contenant chacun une infinité de passagers).



Chaque point représente une personne.
Chaque ligne se prolonge à l'infini vers la droite.
La ligne du bas ce sont les personnes déjà dans l'hôtel.
Chaque ligne au dessus représente un car (infinité de lignes).
Les points se répartissent donc dans un quart de plan.
On attribue les chambres en suivant la ligne rouge dans le sens des flèches (premier point = première personne -> chambre 1, etc).
On voit que l'on peut tracer une ligne rouge qui passe par tous les points. Chaque personne se verra donc attribuer une chambre.

Convaincus ?

[invitec314d025]

On peut inventer toutes sortes d'alternatives (c'est là-dessus que j'insiste) comme toutes celles citées précédemment, mais pas une infinité... (?)

Oui, il faut changer de logique, on ne peut plus le faire aussi simplement, si c'est bien ce que tu voulais dire.

[inviteba0a4d6e]

Je te propose une infinite d'ensembles:

On prend tous les multiples de 2 (on va inclure 1 dans les multiples de 2),
Tous les multiples de 3 sauf les nombres deja multiples de 2 (c'est a dire sauf 6, 12, etc... qui sont consideres comme multiples de 2),
Tous les multiples de 5 sauf ceux qui sont deja multiples de 2 et 3,
Et ainsi de suite avec tous les nombres premiers...

Ca nous fait donc une infinite d'ensemble contenant une infinite denombrable d'elements.
Ensuite plus qu'a les ranger.

En effet, ça fonctionnerait mais seulement en excluant la chambre numéro 1 (et on ne peut pas l'inclure dans les multiples de 2, on est bien d'accord )... Or, il faut remplir TOUTES les chambres...

[inviteeecca5b6]

En effet, ça fonctionnerait mais seulement en excluant la chambre numéro 1 (et on ne peut pas l'inclure dans les multiples de 2, on est bien d'accord )... Or, il faut remplir TOUTES les chambres...

Et pourquoi on peut pas ?? C'est un choix de construction comme un autre...

[inviteba0a4d6e]

Convaincus ?

Non... Je ne comprends pas bien le choix aléatoire (la ligne rouge)...

[invitec314d025]

Il faudrait commencer par les ranger en fait. Parce que comme ça, ça ne marche pas.
Si tu prends TOUS les multiples de 2, tu en as déjà une infinité. Ton premier multiple de 3 non multiple de 2 n'arrive jamais, puisque toutes les chambres seront occupées par des multiples de 2.

[invitec314d025]

Non... Je ne comprends pas bien le choix aléatoire (la ligne rouge)...

Il est pas aléatoire
Tu suis au plus près le morceau de ligne déjà tracé afin de ne pas laisser de trou (donc là la suite, c'est de descendre, puis un à droite, puis remonter, etc ...)

[inviteba0a4d6e]

Et pourquoi on peut pas ?? C'est un choix de construction comme un autre...

Oui, et ton système permettrait de conclure qu'il existe bien une infinité d'alternatives, puisqu'il existe une infinité de nombres premiers, et une infinité de multiples correspondant à chaque nombre premier choisi pour chacune des alternatives, en excluant les multiples des nombres premiers utilisés précédemment...

Mais la chambre 1 tu en fais quoi avec tous ces multiples ?

[invitec314d025]

Ah non j'avais mal compris.
Par exemple, tu mets tous ceux qui étaient dans l'hôtel dans la chambre 1 plus les chambres multiples de 2, puis tous les passagers du premiers cars dans les chambres multiples de trois mais pas de 2, etc.
Si c'est ça ça marche bien.

[inviteeecca5b6]

Il faudrait commencer par les ranger en fait. Parce que comme ça, ça ne marche pas.
Si tu prends TOUS les multiples de 2, tu en as déjà une infinité. Ton premier multiple de 3 non multiple de 2 n'arrive jamais, puisque toutes les chambres seront occupées par des multiples de 2.

Ok, mais pour les ranger, on peut utiliser ta methode ou une variante...

Mais la chambre 1 tu en fais quoi avec tous ces multiples ?

Par convention, on dit que le 1 va dans la chambre 1...

Pour reprendre le schema de matthias, ca donnerait ca:

5 - 25 - 35 - 55 - ...
3 - 9 - 15 - 21 - 27 - ...
1 - 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - ...

Et donc l'ordre est le suivant:
1 - 3 - 9 - 2 - 4 - 15 - 35 - 25 - 5 ...

[invitec314d025]

Mais la chambre 1 tu en fais quoi avec tous ces multiples ?

Puisqu'on met 1 avec les multiples de 2 il n'y a pas de problème.
Le premier ensemble est : 1, 2, 4, 6, 8, ...

Ceci-dit personne ne nous oblige à remplir toutes les chambres, juste à caser tout le monde.

[invitec314d025]

Il est pas aléatoire
Tu suis au plus près le morceau de ligne déjà tracé afin de ne pas laisser de trou (donc là la suite, c'est de descendre, puis un à droite, puis remonter, etc ...)

Si mon schéma n'est pas clair, tu peux prendre le plan entier plutôt qu'un quart de plan, et faire une spirale infinie.

[inviteeecca5b6]

Ceci-dit personne ne nous oblige à remplir toutes les chambres, juste à caser tout le monde.

Tiens c'est marrant ca !! Ca va perturber encore plus de monde... Ca veut dire qu'on peut partir avec un hotel possedant une infinite de chambre (toutes pleines), une infinite de clients arrivent, et selon notre manniere de les caser, on peut au final avoir caser tous le monde et en plus obtenir une infinite de chambre vide !!

[invite35452583]

Bonjour,
pour loger une infinité dénombrable d' infinités dénombrables, le plus simple, il me semble, reste l'argument diagonal.
Les habitants initiaux de l'hôtel sont numéroté (0,n) n étant leur chambre initial. n=1,2,...
Les passagers du bus numéro m sont notés (m,n) n étant leur place dans le bus.
m,n=1,2...
(0,1) va loger en 1.(Il ne bouge pas)

(0,2) va loger en 2.(Il ne bouge pas)
(1,1) va loger en 3

(0,3) va loger en 4
(1,2) va loger en 5
(2,1) va loger en 6
...

(0,n) va loger en
...
(i,n-i) va loger en
...
(n-1,1) va loger en
....
Sur un dessin, c'est encore plus clair.

[inviteba0a4d6e]

on peut au final avoir caser tous le monde et en plus obtenir une infinite de chambre vide !!

Que l'on pourra remplir avec une nouvelle infinité de personnes...

Donc effectivement, il y a bien une infinité d'alternatives, et on peut loger une "infinité d'infinités" de personnes...