Paradoxe des deux enfants

[le_STI]

En faisant des recherches

Soit. Je pensais qu'on était en train de répondre à la demande de l'auteur de cette discussion...
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[Deedee81]

Soit. Je pensais qu'on était en train de répondre à la demande de l'auteur de cette discussion...

Il a le droit de faire des recherches Ceci dit, vgondr, ce serait sympa d'indiquer où tu as trouvé ça.

[le_STI]

Bien sûr qu'il peut faire des recherches, mais la question initiale était:

.......
Voici l'énoncé:

Un homme a deux enfants. L'un d'entre eux est une fille. Quelle est la probabilité que l'autre soit aussi une fille?

Ma réponse: 1/2. Réponse de mon ami et de Wikipedia: 1/3. ......
.....
Et vous, quelle réponse donneriez-vous à cette énigme (dans la formulation initiale)?

Bref, j'ai répondu. Je vais m'arrêter là...

[Amanuensis]

Bref, j'ai répondu. Je vais m'arrêter là...

Dommage de s'arrêter après avoir donner une réponse au mieux partielle au pire incorrecte.

(J'ai supposé que la réponse en question est celle dans le message #11.)

Mais, bon, on peut effectivement comprendre le message #1 comme visant une simple récolte de réponses (et donc d'opinions), sans qu'on cherche à discuter les mérites ou démérites de ces réponses et opinions.

[le_STI]

Alors j'ajouterai simplement: En considérant que la naissance d'une fille ou d'un garçon est équiprobable.

[vgondr98]

Je vais répondre encore une fois.
"Un homme a deux enfants. L'un d'entre eux est une fille. Quelle est la probabilité que l'autre soit aussi une fille?

Ma réponse: 1/2. Réponse de mon ami et de Wikipedia: 1/3. ......
.....
Et vous, quelle réponse donneriez-vous à cette énigme (dans la formulation initiale)?"
La réponse est si j'ai bien compris : "Cela dépend de la manière dont on a appris qu'il avait deux enfants".
Si on a appris par une réponse oui ou non que l'homme avait au moins une fille alors la réponse est 2/3.
Si on lui a demandé le sexe d'un de ces enfants alors l'homme a une chance sur 2 de répondre une fille dans le cas FG et le cas GF et il est obligé de répondre une fille dans le cas FF (explication de wikipédia) donc p(FG)=p(GF)=1/2p(FF) et donc la réponse est 1/2.

[Amanuensis]

La réponse est si j'ai bien compris : "Cela dépend de la manière dont on a appris qu'il avait deux enfants".

Il me semble que c'est un peu plus général: "Cela dépend de la manière dont on a compris la question".

Du coup, la "bonne" réponse est "La question est ambigüe et on ne peut pas répondre mieux sans information supplémentaire".

[Amanuensis]

PS: Ce n'est qu'une reformulation de la réponse de Interférences.

[SunnySky]

Je vais préciser ma question. Plusieurs ont déjà compris que deux réponses sont acceptables:
1/2, que j'ai prétentieusement présenté comme la bonne réponse exclusivement pour une raison: c'est ma réponse
1/3, que j'ai ironiquement présenté comme une erreur de Wikipedia

Les 2 réponses sont en réalité bonnes. La première considère que l'information sur le sexe d'un enfant a pour effet de rendre équiprobable le choix de la fille (4 filles sur 8 enfants) alors que la deuxième considère que ce sont les familles qui sont équiprobables. Les 2 sont défendables selon la façon d'obtenir l'information. Ça, c'est acquis pour moi.

Le reste n'est qu'une question d'opinion. De compréhension du français.

Si vous aviez à donner une préférence pour l'une des deux interprétations, compte tenu de l'énoncé que j'ai formulé dans le premier message, laquelle vous semble la plus "naturelle", la plus "intuitive" pour un esprit logique?

[Amanuensis]

Opinion personnelle: l'énoncé proposé commence par "Un homme a deux enfants" et non pas par "Une fille appartient à une famille de deux enfants". Il semble normal que ce soit l'homme (et donc la famille) qui ait été tiré au hasard.

Si on cherche à formuler autrement les deux compréhensions de manière à ce qu'elle soient le plus proche possible tout en n'étant pas ambiguës, on peut proposer:

"Une famille est tirée au hasard, il y a deux enfants, l'une est une fille, ..."

et

"Une fille est tirée au hasard, elle appartient à une famille de deux enfants, ..."

Alors, parce que l'énoncé initial commence par "Un homme...", le choix doit se porter sur la première de deux re-formulations.

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Je ne prétends pas que c'est intuitif, plutôt que c'est logique si on considère le choix fait parmi les énoncés possibles. L'idée est de comparer avec ce qui aurait pu être énoncé, d'analyser non pas l'énoncé en lui-même, mais aussi les énoncés alternatifs qui n'ont pas été choisis à la place.

Il ne s'agit pas de "compréhension du français", mais d'analyse du choix fait par le locuteur, de compréhension du locuteur, ce qui n'est pas la même chose..

[Amanuensis]

Je vais tenter de reformuler avec plus de rigueur.

Je reformule d'abord la question telle que posée dans le dernier message de SunnySky:

1) L'énoncé est ambigu, il y a deux interprétations possibles ;

2) On suppose que celui/celle qui pose l'énoncé a en tête une des deux interprétations, mais que par maladresse il choisit un énoncé ambigu ;

3) Quelle est alors la probabilité (la vraisemblance), sachant l'énoncé choisi, que la personne avait en tête telle interprétation plutôt que l'autre?

Alors, comme exposé précédemment, la vraisemblance est plus grande pour le tirage au hasard de la famille, parce que l'énoncé commence par "Un homme...", et qu'on imagine peu vraisemblable que si l'énonceur pensait à une fille tirée au hasard il aurait choisi de commencer l'énoncé ainsi.

(La supposition 2) est certainement discutable. C'est pourquoi j'écrivais que la question revient à une analyse du choix du locuteur. On peut monter un cran, étudier les comportements--et donc les buts--possibles du locuteur, en évaluer les vraisemblances et entrer cela dans le calcul.)

[papy-alain]

Je viens de me rendre compte d'une erreur d'interprétation de l'énoncé initial :

<<Un homme a deux enfants. L'un d'entre eux est une fille. Quelle est la probabilité que l'autre soit aussi une fille?>>

La réponse correcte est 0. Si l'un des deux enfants est une fille, l'autre est forcément un garçon. En langage correct et rigoureux, on ne peut confondre "l'un des deux est une fille" avec "parmi les deux il y a au moins une fille"

[Amanuensis]

La vraisemblance que quelqu'un pose cette question en considérant que la réponse correcte est 0 est quasi nulle.

[papy-alain]

La vraisemblance que quelqu'un pose cette question en considérant que la réponse correcte est 0 est quasi nulle.

On parle français, ou non ?

[vgondr98]

La vraisemblance que quelqu'un pose cette question en considérant que la réponse correcte est 0 est quasi nulle.

Il est possible que celui qui pose la question est un petit farceur qui aime jouer sur les mots.
Après, s'il nous sort que la réponse est 0 juste parce qu'il nous a dit une fille et non au moins une fille, on peut lui rétorquer que le français est plein de sous-entendus.

[invitedb5bdc8a]

Je viens de me rendre compte d'une erreur d'interprétation de l'énoncé initial :

<<Un homme a deux enfants. L'un d'entre eux est une fille. Quelle est la probabilité que l'autre soit aussi une fille?>>

La réponse correcte est 0. Si l'un des deux enfants est une fille, l'autre est forcément un garçon. En langage correct et rigoureux, on ne peut confondre "l'un des deux est une fille" avec "parmi les deux il y a au moins une fille"

Excellent ! et parfaitement rigoureux. (ce qui montre que le rédacteur de l'article n'était pas rigoureux, lui !)

[inviteb456439c]

je sais que l'interprétation suivante est fausse et que la bonne réponse est 1/3 (j'ai meme fait un programme en tirant 100 milliards de familles généré aléatoirement pour etre sur), mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi ce raisonnement est faux, si quelqu'un a la clé, ça m'interesse :


"On peut faire un arbre des possibles avec tout d'abord la possibilité d'avoir vu la fille aînée ou la fille cadette et ensuite l'autre enfant est soit un garçon soit une fille. On obtient 4 cas équiprobables dont deux en faveur d'une fille pour le deuxième soit une proba d'1/2."

[Amanuensis]

Vous calculez pour un autre cas: on a choisi une fille dans la fratrie et on vous la montre. Mais s'il y a deux garçons, on ne peut pas le faire!

(Il n'y a que trois cas sur 4 où c'est possible. Et sur ces trois cas, un avec deux filles, et deux avec 1 fille et un garçon. C'est l'élimination du cas deux garçons qui amène à 1/3.)

[inviteb456439c]

non mais j'ai compris ça, mais vous ne répondez pas à pourquoi c'est faux :

on a éliminé le cas garçon, du coup pourquoi l'arbre que j'ai décris ne marche pas?

moi je dirais que c'est parce qu'il faut additionner le cas cadet et le ainé, car c'est deux cas différent. mais je ne suis pas tout à fait convaincu...

[phuphus]

Bonjour,

Le père cache ces 2 enfants derrières 2 portes. Il sait très bien les sexes de ces enfants et où ils se cachent. Un mec complètement paumé ouvre une des portes derrière laquelle se trouve une fille. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille, sachant que la définition du sexe est équiprobable à la naissance. Réponse : 1/2
Au revoir

Quelle(s) information(s) n'a pas le "mec paumé" ?

[phuphus]

Bonjour,

"On peut faire un arbre des possibles avec tout d'abord la possibilité d'avoir vu la fille aînée ou la fille cadette et ensuite l'autre enfant est soit un garçon soit une fille. On obtient 4 cas équiprobables dont deux en faveur d'une fille pour le deuxième soit une proba d'1/2."

La situation "deux filles" est commune aux deux branches.

[inviteb456439c]

Le problème du raisonnement c'est d'oublier qu'on aurait pu voir les garçons (cadet ou ainé), mais du coup je ne sais pas calculé les bonnes proba de cet arbre... qq'un sait?

Sans titre.png

[invite6486d7bd]

C'est la réponse "à peu près 1/2" qui est la bonne (à mon piètre avis évidemment).

Ici, l'énigme part d'un cas réel, et il faut donc raisonner dans le monde réel.
Dans le monde réel nous savons tous que que l'espèce humaine n'est pas constitué d'un père et de deux enfants.

Donc, pour respecter la proportion de 1/2 homme/femme (on prend ce chiffre très exactement même s'il est approximatif) au sein de la population humaine, en admettant que tous les parents ont déjà des enfants et que la proportion actuelle vaut 1/2 à peu près, pour respecter cette proportion au final il faut que la probabilité d'avoir un fils ou une fille soit à peu près égale à 1/2.
Prendre un autre chiffre reviendrait à éloigner la valeur finale de la valeur moyenne (c'est mon argument, pour ce qu'il vaut...).
(Etant piètre mathématicien, je suis limité au raisonnement ).

[Amanuensis]

Trop belle occasion de placer

https://xkcd.com/2059/

qui semble parfaitement s'appliquer.

[Amanuensis]

n-ième tentative, un peu bizarre...

Commençons par quelques raisonnements justes.

* On rencontre un homme qui dit avoir deux enfants, quelle est la probabilité qu'il ait au moins une fille? Réponse: 3/4 (quatre cas équiprobables, FF, MF, FM, et MM ; donc trois avec au moins une fille).

* À la maternité, on rencontre un homme accompagnée d'une fille de 10 ans, qui indique que sa femme vient d'avoir leur deuxième enfant. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille? 1/2, pas de problème.

* On rencontre un homme accompagnée d'une fille, il dit avoir deux enfants dont sa fille aînée, ci présente. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille? 1/2, pas de problème.

* On rencontre un homme accompagnée d'une fille, il dit avoir deux enfants dont sa fille cadette, ci présente. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille? 1/2, pas de problème.

* On rencontre un homme accompagnée d'une fille, il dit avoir deux enfants. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille? Valeur p. Il dit alors que la fille l'accompagnant est son aînée. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille? 1/2.

* On rencontre un homme accompagnée d'une fille, il dit avoir deux enfants. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille? Valeur p. Il dit alors que la fille l'accompagnant est sa cadette. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille? 1/2.

Pourquoi p n'est-il pas égal à 1/2? Le fait que la fille présente soit indiquée comme l'aînée (ou la cadette, pareil) donne de l'information en plus, et change la probabilité que la fratrie soit de deux filles.

En sachant seulement qu'il a au moins une fille, il y a trois cas pour la fratrie: FM, FF, MF. Qu'elle soit l'aînée restreint à deux de ces trois cas (à FF et FM), ce qui amène à 1/2 la probabilité de deux filles. Pareil si elle est présentée comme la cadette. Comme on avait trois cas équiprobables a priori, et que la proba de deux filles était alors p, on doit avoir p = 2/3 x 1/2 (Bayes); aussi bien s'il est indiqué que la fille présentée soit l'aînée que la cadette.

En d'autres termes, le fait que l'indication que c'est l'aînée amène à une proba de 1/2 que la fratrie soit FF, est parfaitement compatible avec p(fratrie FF) =1/3 avant l'indication que c'est l'aînée parce qu'il y avait alors 3 cas équiprobables (FF, FM et MF).

[phuphus]

Bonjour,

Le problème du raisonnement c'est d'oublier qu'on aurait pu voir les garçons (cadet ou ainé), mais du coup je ne sais pas calculé les bonnes proba de cet arbre... qq'un sait?

Pièce jointe 378665

Dans le contexte, tes branches ne sont plus "indépendantes" :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...Theorem_2D.svg

[phuphus]

Bonjour,

Trop belle occasion de placer

https://xkcd.com/2059/

qui semble parfaitement s'appliquer.

Je ne vais en vouloir à personne car je sais que pour moi P(C) < 1, mais juste une remarque : je vois deux contributions à P(C), le fait d'utiliser Bayes lorsque c'est nécessaire et le fait de ne pas se tromper ensuite. Pour mon cas, c'est plutôt la première contribution qui pèche.

[phuphus]

Re,

Le problème du raisonnement c'est d'oublier qu'on aurait pu voir les garçons (cadet ou ainé), mais du coup je ne sais pas calculé les bonnes proba de cet arbre... qq'un sait?

Pièce jointe 378665

Voir #51 : tes deux premières branches sont déjà fausses, puisqu'elle ne représentent pas l'intégralité des situations et leur somme fait déjà 1. Il y a un cas commun aux deux branches (les deux enfants sont des filles), tes branches ne sont donc pas indépendantes.

Tu peux le voir autrement : sur tes deux première branches, la probabilité 1/2 concerne seulement "aîné" et "cadet".

[inviteb456439c]

oui justement, quelles sont les bonnes proba et le bon arbre dans ce sens là?

En gros là pour répondre à cette objection il faut dire que dans un cas tu as le cas de la cadette + le cas de l'ainé, mais je sais pas comment retombé sur 1/3 à partir de là?

[invite6486d7bd]

Pour simplifier, on peut considérer des séries de tirages pile/face, une série correspondant à une famille, pile à la naissance d'une Fille, Face à la naissance d'un garçon.
Les tirages ont tous déjà été effectuées pour toutes les séries, sont équiprobables et indépendants.
Mais à noter quand même, les fréquences des différentes combinaisons qui identifient la "catégorie" de chaque série, n'est pas identique.
On peut voir ça comme un tirage supplémentaire qui serait effectué à chaque tirage, qui détermine si la série s'arrête ou pas.
Les séries courtes sont plus fréquentes que les séries longues.

De la même manière, si on se concentre sur les séries de même longueur, toutes les séries et quelle que soit leur combinaisons auront la même probabilité d'apparition (leur fréquence).
C'est contrintuitif, mais il y aura autant de séries et quelle que soit leur longueur d'une combinaison que d'une autre.
Par exemple autant de FFFFFFFF que de FFPFPPFP ou de PFPFPFPF.

Par contre, si on compte le nombre de F et de P comme on le fait dans l'énigme, ce qui produit un nombre de "catégories" moindre du fait de perdre l'information en rapport avec la position, ces nouvelles catégories ne se présentent pas avec la même fréquence.
Il y aura par exemple moins de séries de catégorie 8*F que de catégorie 4*F/4*P.

L'énigme consiste à présenter l'information incomplète d'une série choisie au hasard parmi les n séries compatibles avec l'information présentée et de déterminer la probabilité d'avoir énoncé l'hypothèse qui permet de compléter l'information.

Si on précise, comme dans l'énigme qu'il y a deux tirages par série, on élimines tous les autres cas, ce qui ne pose pas de problème puisqu'il n'y a pas de changement dans la répartition des différentes séries.

De la même manière, si on précise, comme dans l'énigme, qu'il y a 1 tirage P dans la série, on élimine toutes les séries qui ne sont pas dans ce cas.
MAIS, contrairement à la réduction du nombre de tirage par série, cette opération change la répartition des différentes séries.
C'est le point qui fait qu'on peut dire dans ce cas de figure que la fréquence d'apparition de la série FF vaut 1/3.

MAIS, si on construit les séries autrement, sans élimination des séries incompatibles avec l'énigme (qui change les proportions relatives des séries entre-elles), alors leur répartition peut être différente.
Si par exemple on ne tient pas compte des séries incompatibles.

Il reste donc le pool de séries compatible avec l'énigme avec lequel nous travaillons dont la fréquence des différentes combinaisons n'est pas nécessairement équiprobable et cela selon la manière dont on a procédé pour les créer.

Pour ma part, je répond 1/2, puisque je ne construit pas de séries et ne travaille pas sur un pool de séries, c'est à dire que j'imagine le principe certes de la production des séries qui peut permettre d'en produire au moins 1, et je m'en tiens à ce qui est dit dans l'énigme : On a 1 série (tombée du ciel ) , et c'est la seule observation connue.
De ce fait, je me borne à énoncer la fréquence qui permet de produire CETTE série, à savoir qu'à chaque tirage on a 1 chance sur deux de tomber sur F ou P..