Paradoxe des deux enfants

[SunnySky]

Bonjour,

Hier un ami m'a posé une énigme à laquelle j'ai donné, évidemment, la bonne réponse. Il m'a répliqué que je me trompais et m'a fourni une autre réponse (évidemment mauvaise...).

Revenu chez moi mon premier réflexe a été d'aller sur Wikipedia pour trouver la démonstration de ma réponse. Déception... Wikipedia affirme que c'est mon ami qui a raison. J'en tire évidemment la seule conclusion logique: Wikipedia se trompe. Mais un doute a germé dans mon esprit...

Voici l'énoncé:

Un homme a deux enfants. L'un d'entre eux est une fille. Quelle est la probabilité que l'autre soit aussi une fille?

Ma réponse: 1/2. Réponse de mon ami et de Wikipedia: 1/3. Je comprends parfaitement la justification de Wikipedia sauf sur un point: le caractère équiprobable des 4 situations. À mon avis, C'était vrai après la première phrase mais la deuxième phrase change ces probabilités et la combinaison FF devient deux fois plus probable que la combinaison FG ou GF.

D'ailleurs, si on admet la solution de Wikipedia, on arrive à des résultats amusants. En voici 2:

- Si on précise que l'aîné est une fille, tous le monde s'entend que p=1/2. Si on précise plutôt que la fille est le deuxième enfant, p=1/2. Si on ne précise rien, alors on sait qu'on est soit dans le premier cas (p=1/2), soit dans le deuxième (p=1/2) mais la probabilité est de 1/3!

- Si on garde l'énoncé initial intact, on peut raisonner ainsi: imaginons que la réponse soit 1/3. Reprenons ensuite l'énoncé en inversant les sexes. Par symétrie on devrait conclure que la probabilité que l'autre enfant soit un garçon sachant que l'un est un garçon est également 1/3. Cherchons ensuite la probabilité que les deux enfants soient de même sexe. De toute évidence, c'est la somme des deux premières probabilités, donc 2/3!

Il est clair pour moi que ce problème s'apparente au paradoxe de Monty Hall en ce sens que la clé de l'énigme réside dans la façon dont est sélectionné l'enfant dont le sexe est donné dans l'énoncé.

Si on transforme l'énoncé en celui-ci: "Claire dit à Louis qu'elle a deux enfants. Louis demande si dans ces 2 enfants il y a au moins une fille. Claire répond oui." alors j'accepte la réponse 1/3 donnée par Wikipedia. Si on utilise plutôt cette formulation: " mon nouveau voisin m'a dit qu'il a 2 enfants mais jusqu'à maintenant je n'en ai vu qu'un et c'est une fille", alors je maintiens ma réponse: p=1/2.

Et vous, quelle réponse donneriez-vous à cette énigme (dans la formulation initiale)?
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[invite82078308]

Il y a quatre possibilités équiprobables.
Il n'est donc pas difficile de calculer stupidement les probabilités conditionnelles au lieu de faire des raisonnements littéraires qui embrouillent le poisson !

[vgondr98]

Je trouve que wikipédia ne donne pas de réponse clair.
J'ai trouvé une réponse plus simple sur un site d'énigme.
Voici leur explication :
Déja on peut appeler A l’aîné des enfants et B le cadet.
On a 4 combinaisons :
A B
Fille Garçon = autre enfant est un garçon
Fille Fille = autre enfant est une fille
Garçon Garçon = combinaison impossible
Garçon Fille = autre enfant est un garçon
Sur les 3 combinaisons possibles (FG), (FF) et (GF) on voit bien que la phrase "l'autre enfant est un garçon" s'applique pour les combinaisons FG et GF mais pas sur la combinaison FF soit dans 2 cas sur 3.

[SunnySky]

Je comprends très bien ce raisonnement. Avant l'information sur le sexe, il y a 4 cas équiprobables. L'information sur le sexe change cela.

Mais de quelle façon? Nous sommes maintenant rendus à 3 cas possibles, mais sont-ils équiprobables?

Je ne le crois pas. L'information sur le sexe a deux fois plus de chances de provenir de FF que de FG ou GF. Wikipedia indique que les probabilités sont passées à 1/3 partout, alors que moi je les vois à 1/4, 1/4 et 1/2. En somme, je préfère la réponse considérée comme une critique par Wikipedia.

[A voir en vidéo sur Futura]

[interferences]

Bonsoir,

Le père cache ces 2 enfants derrières 2 portes. Il sait très bien les sexes de ces enfants et où ils se cachent. Il ouvre une des portes derrière laquelle se trouve une fille. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille, sachant que la définition du sexe est équiprobable à la naissance. Réponse : 1/3.

Le père cache ces 2 enfants derrières 2 portes. Il sait très bien les sexes de ces enfants et où ils se cachent. Un mec complètement paumé ouvre une des portes derrière laquelle se trouve une fille. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille, sachant que la définition du sexe est équiprobable à la naissance. Réponse : 1/2

Un homme a deux enfants. L'un d'entre eux est une fille. Quelle est la probabilité que l'autre soit aussi une fille?
Réponse : Je ne sais pas. Qui a ouvert la porte ?

Au revoir

[Matmat]

Je comprends très bien ce raisonnement. Avant l'information sur le sexe, il y a 4 cas équiprobables. L'information sur le sexe change cela.

Mais de quelle façon? Nous sommes maintenant rendus à 3 cas possibles, mais sont-ils équiprobables?

Je ne le crois pas. L'information sur le sexe a deux fois plus de chances de provenir de FF que de FG ou GF. Wikipedia indique que les probabilités sont passées à 1/3 partout, alors que moi je les vois à 1/4, 1/4 et 1/2. En somme, je préfère la réponse considérée comme une critique par Wikipedia.

ils sont équiprobables parce que dans l'ensemble des couples ayant au moins une fille , 1/3 d'entre eux ont FF , 1/3 d'entre eux ont FG , 1/3 d'entre eux ont GF.

Quand vous dites 1/4, 1/4 et 1/2 vous ne tenez pas compte que dans l'ensemble des enfants des couples ayant au moins une fille , 2/3 d'entre eux sont des filles .

Donc imaginons que vous etes face à 300 couples ayant au moins une fille . Ils ont 600 enfants dont 400 filles ( et donc 200 garçons ) .
Il y a deux pièces A et B dans laquelle on va demander à ces couples de répartir les enfants .

Si vous vous adressez aux couples et leur dites "mettez une fille dans la pièce A et votre autre enfant dans la pièce B"

Quelle sera la proportion de fille dans la pièce B ?

[interferences]

Re,

@Matmat : C'est inutile de raisonner, 1/2 ou 1/3 ou 0.314159, toutes ces réponses sont mauvaises. La bonne est on ne sait pas (mais bien sûr c'est pas toujours ce que le "prof" veut entendre que son énoncé est mal foutu).
Dans le pb de monthy hall c'est le choix de la porte qui modifie la figure de probabilité.
Dans les fentes d'Young c'est le choix de la fente qui modifie la figure de probabilité.
Et dans le paradoxe qui nous préoccupe c'est l'information dont dispose le "prof" mais qu'il ne veut pas nous donner qui modifie ou non la figure de probabilité.

Au revoir

[Deedee81]

Salut,

Et dans le paradoxe qui nous préoccupe c'est l'information dont dispose le "prof" mais qu'il ne veut pas nous donner qui modifie ou non la figure de probabilité.

Je suis d'accord car, en soit, le problème n'est pas particulièrement compliqué (il est même beaucoup plus simple que Monthy Hall. Et de plus :

Je trouve que wikipédia ne donne pas de réponse clair.

Je n'ai pas lu l'article Wikipedia en détail mais ils disent quand même que, posée de cette manière, la question est ambigüe et n'admet pas de réponse claire.

Je préfère l'énigme (pas si difficile) suivante.

Le Sultan de Jarawak veut faire profiter à tous des harems. Mais pour cela, il faudrait qu'il y ait plus de filles et moins de garçons.
Il décide donc que dès la naissance d'un garçon, la mère sera stérilisée.
On aura ainsi des familles avec 1 garçon, un garçon et une fille, un garçon et deux filles, etc... un garçon et dix filles, etc...

Quelle sera la proportion de garçon et de filles dans la population ?
Notons qu'on fait implicitement l'hypothèse que la femme fait des enfants indéfiniment jusqu'à ce qu'on l'arrête. Ce n'est pas très réaliste.
Supposons donc une certaine loi de probabilité sur le nombre d'enfants qu'aurait un couple, pour peu qu'on ne les stérilise pas.
Est-ce que cela change quelque chose ?
Attention : on ne pratique ni l'avortement, ni l'infanticide.

C'était dans le volume Mathématiques de l'Alpha des Sciences. J'avais trouvé cette énigme assez sympa

[Matmat]

Le Sultan de Jarawak veut faire profiter à tous des harems. Mais pour cela, il faudrait qu'il y ait plus de filles et moins de garçons.
Il décide donc que dès la naissance d'un garçon, la mère sera stérilisée.

J'adore le "donc" haha

[papy-alain]

Instinctivement, je dirais qu'il y aura toujours autant de filles que de garçons, car si ce n'était pas le cas cette énigme donnerait la martingale infaillible pour gagner au casino.

[le_STI]

.....

On a 4 combinaisons :
A B
Fille Garçon = autre enfant est un garçon
Fille Fille = autre enfant est une fille
Garçon Garçon = combinaison impossible
Garçon Fille = autre enfant est un garçon
.....

La simplification que tu proposes ne correspond pas à l'énoncé, qui est:

Un homme a deux enfants. L'un d'entre eux est une fille. Quelle est la probabilité que l'autre soit aussi une fille?

Il n'est nullement question de distinguer si la fille citée est l'aînée ou pas. Les combinaisons Garçon/Fille et Fille/Garçon doivent donc être regroupées.

Les combinaisons possibles sont donc :
Fille/Fille (peu importe qui est l'aînée)
Fille/Garçon (Idem)

La probabilité du cas Fille/Fille est donc de 1/2.

[interferences]

Bonjour,

@Deedee81 : La moitié des femmes on 1 garçons.
25% une fille un garçon.
12.5% 2 filles un garçon etc...

La proportion est donc (1/4+2/8+3/16+4/32...)/1+1/4+1/8+1/16...= 1/1.5 donc 2/3 de filles.

Si on fait une hypothèse plus réaliste quant au nombre d'enfant par couple la proportion baisse (la hausse du rapport se gagne sur le tard).

Au revoir

[interferences]

PS : Ah non je me suis planté...c'est 1/2 au départ pour les garçons.
Donc rapport de 1/1. En plus j'aurais du dire qu'il y avait plus de garçon.
Donc autant de filles que de garçons.
Par contre plus de garçon si on fait une hypothèse réaliste.

[Deedee81]

Instinctivement, je dirais qu'il y aura toujours autant de filles que de garçons, car si ce n'était pas le cas cette énigme donnerait la martingale infaillible pour gagner au casino.

Bien vu ça

@Deedee81 : La moitié des femmes on 1 garçons.
25% une fille un garçon.
12.5% 2 filles un garçon etc...
La proportion est donc (1/4+2/8+3/16+4/32...)/1+1/4+1/8+1/16...= 1/1.5 donc 2/3 de filles.

Y a forcément une erreur dans ton calcul de proportion mais j'ai du mal à voir comment tu trouves cette formule à partir des % que tu donnes (et qui sont corrects).

[papy-alain]

Toutes le femmes ont un garçon.
1/2 femmes ont 1 fille.
1/4 femmes ont 2 filles.
1/8 femmes ont 3 filles.
.........
Au total, quand on tend vers l'infini, ça fait autant de filles que de garçons.

Autre raisonnement : chaque accouchement est équiprobable, peu importe à quel moment le mari se calme.

[Deedee81]

Donc autant de filles que de garçons.

Oui.

Par contre plus de garçon si on fait une hypothèse réaliste.

Mais non.

Si on ne modifie pas la probabilité de naissance (une chance sur deux de donner naissance à un garçon) par avortement ou autre technique, alors quel que soit la stratégie des naissances il y aura autant de garçon que de filles.
C'est d'ailleurs logique même si ce n'est peut-être pas entièrement intuitif.

[CM63]

Bonjour,

Ben en fait, c'est logique et intuitif

A plus

[Deedee81]

Ben en fait, c'est logique et intuitif

Ca dépend peut-être aussi pour qui et selon les habitudes (avec les probas).
Il y a des tas de pièges, parfois simplement dans la manière de poser les questions, exploitant divers biais de comportement humains.

[vgondr98]

Fille/Fille (peu importe qui est l'aînée)
Fille/Garçon (Idem)

La probabilité du cas Fille/Fille est donc de 1/2.

C'est faux, l'ordre compte et la combinaison Fille/Garçon n'est pas équivalente à la combinaison Garçon/Fille.

[Amanuensis]

Si on ne modifie pas la probabilité de naissance (une chance sur deux de donner naissance à un garçon)

Modifier par rapport à l'hypothèse 1/2 1/2 c'est juste prendre autre chose que 1/2 1/2 et donc on n'aura pas égalité. Logique et même tautologique.

Mais pour obtenir 1/2 1/2 faut modifier (par avortement ou autre technique) par rapport aux statistiques naturelles ("non modifiées" ?), qui sont de 1,05 naissance de garçon par naissance de fille (en gros et de mémoire). [Ce qui doit être "l'hypothèse réaliste" de Interférences rétorquée par un "Mais non".]

[vgondr98]

Sinon, j'ai trouvé un blog qui parle de ce problème.
http://blog.rom1v.com/2012/12/paradoxes-probabilistes/
Il parle de "particularisation" ce qui changerai les probabilité de ce problème.
Pour l'instant, je ne comprend pas.

[Amanuensis]

C'est pourtant bien résumé par le message #5 de Interférences. La "particularisation" est alors le choix de la porte.

(Et ce serait bien de limiter la discussion aux questions et réponses visant à aider à comprendre l'idée.)

[vgondr98]

C'est pourtant bien résumé par le message #5 de Interférences. La "particularisation" est alors le choix de la porte.

(Et ce serait bien de limiter la discussion aux questions et réponses visant à aider à comprendre l'idée.)

Le message d'interférences n'explique rien et n'est compréhensible que par ceux qui connaissent déjà ce concept.

[Amanuensis]

Le message d'interférences n'explique rien et n'est compréhensible que par ceux qui connaissent déjà ce concept.

Possible.

Mais c'est une bonne base pour poser des questions, il me semble.

Où est la première difficulté dans l'explication?

[vgondr98]

Il y a quatre possibilités équiprobables.
Il n'est donc pas difficile de calculer stupidement les probabilités conditionnelles au lieu de faire des raisonnements littéraires qui embrouillent le poisson !

Au départ, j'étais d'accord mais après quelques recherches, j'ai compris la subtilité dans ce problème.
En fait tout dépend de comment on a appris que l'homme avait 2 enfant dont au moins une fille.
Par exemple, si on croise l'homme dans la rue avec sa fille et que l'on apprend qu'il a un autre enfant alors la probabilité que se soit une fille est de 1/2.
Je vais reprendre mon raisonnement précédent en l'appliquant à ce nouveau problème.
Déjà on peut appeler A la fille qui est dans la rue et B l'autre enfant.
On a 4 combinaisons :
A B
Fille Garçon = autre enfant est un garçon
Fille Fille = autre enfant est une fille
Garçon Garçon = combinaison impossible
Garçon Fille = combinaison impossible
Dans ce cas FG est équiprobable à GF.

[le_STI]

C'est faux, l'ordre compte et la combinaison Fille/Garçon n'est pas équivalente à la combinaison Garçon/Fille.

Ah, bon? Et où as-tu vu ça?

.....
Voici l'énoncé:

Un homme a deux enfants. L'un d'entre eux est une fille. Quelle est la probabilité que l'autre soit aussi une fille?
.....

[interferences]

Re,

Oui c'est l'hypothèse des 1,05 garçon par fille qui fait changer le rapport et pas que les familles hyper nombreuses n'existent pas bien vu Amanuensis
Sinon Papy a eu plus de bon sens avec sa martingale pour le coup

Au revoir

[vgondr98]

Ah, bon? Et où as-tu vu ça?

En faisant des recherches

[vgondr98]

Et puis ce raisonnement me semble également correcte si au lieu de dire que A est l’aînée et B le cadet, on décide de se dire que l'enfant A s'appelle A et l'enfant B s'appelle B.

[Deedee81]

Salut,

on décide de se dire que l'enfant A s'appelle A et l'enfant B s'appelle B.

Ca me rappelle il y a fort longtemps (une trentaine d'année) une commune qui avait refusé d'enregistrer le prénom "A" pour un enfant. Histoire vraie.
Ca tombe bien sur le forum ludique