Paradoxe des deux enfants

[Amanuensis]

oui justement, quelles sont les bonnes proba et le bon arbre dans ce sens là?

En gros là pour répondre à cette objection il faut dire que dans un cas tu as le cas de la cadette + le cas de l'ainé, mais je sais pas comment retombé sur 1/3 à partir de là?

Le problème est qu'on ne peut pas faire un tel arbre. On parle de probabilités conditionnelles, pas de proba de tirages.

La question, est conditionnellement à ce qu'il a deux enfants dont au moins une fille, quelle est la probabilité que l'autre soit une fille?

En termes de tirages, il y a quatre possibilités a priori, chacune de probabilité 1/4: MM, FF, MF, et FM. La condition permet d'éliminer un cas (MM) ; il en reste trois, chacune de probabilité égale, qui ne peut être que 1/3 (la somme doit être 1). Et sur ces trois cas, un seul est tel que l'autre enfant soit une fille. D'où 1/3 pour la probabilité demandée.

Si on veut travailler avec un arbre, faut comprendre ce que signifie "l'information donnée permet d'éliminer telle partie des branches", c'est ça le sujet des probabilités conditionnelles.
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[invite21ede4b0]

Hello

J'ai vraiment un soucis avec cette énigme. Je le dis de suite, je suis dans le camp des 1/2.
Mon interprétation est que la détermination du sexe d'un enfant est un évènement distinct du sexe d'un éventuel enfant précédent. On a quoi qu'il arrive 1 chance sur 2 d'avoir l'un ou l'autre sexe, peu importe ce qu'on a eu avant.

1 chance sur 3 d'avoir une fille en 2e enfant voudrait dire que si vous avez déjà un enfant et en attendez un second, il y a 2 chances sur 3 qu'il soit du même sexe. C'est complètement faux dans la vie.

La réponse Wikipedia parle de 4 cas: FF, FG, GF et GG. Le cas GG étant impossible dans cette énigme, on l'enlève du calcul. Sauf que FG et GF sont la même éventualité et doivent être groupés. On arrive donc à FG ou FF, donc 1/2.

[invite51d17075]

edit : pas vu la longue discussion précédente.

[Deedee81]

Salut,

EDIT croisement, je répondais kikahuete

La bonne réponse est 1/3 car c'est conditionnel. On exclut volontairement les GG ce qui biaise la probabilité.

Je vais prendre un exemple trivial qui le montre, vraiment trivial.
Quelle est la probabilité d'avoir un garçon comme deuxième enfant si le premier est un garçon et si les deux enfants sont du même sexe.
C'est évidemment 100% de chance :
- malgré le fait qu'on a une chance sur deux d'avoir un garçon a la naissance
- on a exclut, mis de coté, ceux ayant des filles, volontairement, ce qui biaise le résultat

Ce cas évident montre que la réponse peut être différente de 1/2 !!!!

Dans l'énigme c'est "GG" qu'on exclut donc là aussi il y a un biais.
Et tu dis que FG et GF sont la même éventualité, mais c'est faux !!!! Car cela signifie :
FG : Premier enfant = F, Deuxième enfant = G
GF : Premier enfant = G, Deuxième enfant = F
C'est clairement deux éventualités différentes !!!!

Les enfants ne sont pas des bosons (les spécialistes des statistiques quantiques me comprendront) !

D'une manière générale, gaffe, les probabilités c'est piégeux. Très piégeux (il suffit de voir l'encre qu'a fait couler Monty Hall)

[invite1814765f]

Bonjour,

Ne pas oublier que naturellement, il né 51% de garçons contre 49% de filles
Cet élément devrait influencer les probabilités

[vgondr98]

Bonjour,

Il y a eu récemment une série de vidéo sur youtube sur le sujet.
https://www.youtube.com/watch?v=8ArJN4CQs84
Le PARADOXE DES DEUX ENFANTS (dédicace à Science4All !) - Argument frappant #11

https://www.youtube.com/watch?v=NO_FM2FygUI
RETOUR SUR LE PARADOXE DES DEUX ENFANTS (et le Monty Hall) - Argument frappant #11 (ep.2)

[N738139]

Bonjour,

Il y a eu récemment une série de vidéo sur youtube sur le sujet.
https://www.youtube.com/watch?v=8ArJN4CQs84
Le PARADOXE DES DEUX ENFANTS (dédicace à Science4All !) - Argument frappant #11

https://www.youtube.com/watch?v=NO_FM2FygUI
RETOUR SUR LE PARADOXE DES DEUX ENFANTS (et le Monty Hall) - Argument frappant #11 (ep.2)

Pour moi, c'est une mauvaise application de Bayes que de répondre 1/3 car :

Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins une fille ? p(f>1) = 3/4 : première réponse à considérer dans la prochaine question

Quelle est la probabilité qu'il y ait une seconde fille ? ajustement de la réponse : p(f2) = p(f2|f>1) x p(f>1) / p(f>1|f2) = 1/3 * 3/4 / 1/2 = 1/2

Finalement tout dépend si on cherche p(f2) ou p(f2|f>1) en posant la question. Moi je comprends qu'on cherche p(f2) sinon on préciserait les conditions de tirer f>1.

[N738139]

sinon on préciserait les conditions de tirer f>1.

Par exemple en désignant le père (par un cas/prénom).

[N738139]

Finalement, tout dépend s'il s'agit d'approfondir la possibilité d'UN enfant parmi deux (1/2) ou d'un cas de DEUX enfants (1/3).

[le_STI]

Salut,

je déterre cette discussion car j'ai vu ce weekend une vidéo sur Monty Hall dont l'explication ne m'a pas convaincue et, en faisant une recherche sur Futura, je suis tombé sur cette discussion à laquelle j'avais participé (voilà pour l'explication du déterrage ).

Je vais donc relancer le débat puisqu'aucune des explications que j'ai pu lire ne m'ont encore convaincue (je vais m'expliquer).

Toutes les résolutions menant à une probabilité de 1/3 partent du principe qu'il y a 4 possibilités (MM, FF, MF, et FM) dont une peut être éliminée (MM) car on sait que l'homme a au moins une fille.
On m'a opposé, ainsi qu'à kikahuete qui a suivi la même logique que moi, qu'on ne peut pas regrouper les possibilités MF et FM car ce sont deux cas distincts.

Dans ce cas, si le fait que le frère potentiel soit l'ainé ou le cadet est d'importance, est-ce qu'un partisan de la probabilité 1/3 pourrait m'expliquer pourquoi vous ne prenez pas en compte la possibilité que les filles soient jumelles (il y aurait alors une possibilité supplémentaire FFjumelles), ou encore que la soeur soit plus vieille ou plus jeune que la fille dont parle l'énoncé.

Pour moi c'est un raisonnement par l'absurde car le fait de distinguer les cas FG et GF est absurde, mais si je pousse jusqu'au bout le raisonnement des 1/3-istes, on devrait prendre en compte les cas :

Fg (grande fille, petit garçon)
Gf (grand garçon, petite fille)
Ff (la fille de l'énoncé est la plus petite)
fF (la fille de l'énoncé est la plus grande)
FFjumelles

et on exclurait Gg, gG et GGjumeaux

La probabilité qu'il ait une autre fille serait donc de 3/5...

Encore une fois, je ne suis pas partisan de cette façon de voir les choses, mais si pour arriver à une proba de 1/3 il faut distinguer les cas Fg et Gf, alors est-ce que quelqu'un peut m'expliquer pourquoi ne pas tenir compte des autres possibilités ?

[Archi3]

le problème est que tes différentes éventualités ne sont pas équiprobables au départ, donc tu ne peux pas calculer la probabilité finale avec le nombre d'occurrences, il faut aussi pondérer chaque possibilité par sa probabilité intrinsèque (contrairement aux dénombrements GG, GF, FG, FF, qui eux sont bien "presque" équiprobables).

[le_STI]

[...] tes différentes éventualités ne sont pas équiprobables au départ [...]
GG, GF, FG, FF, qui eux sont bien "presque" équiprobables.

Je voudrais bien que tu m'expliques pourquoi Gf et Fg seraient équiprobables alors que Ff et fF ne le seraient pas, s'il te plait? (mais vraiment, j'aimerais comprendre si quelque chose m'échappe)



PS : nouvel argument en faveur de la façon dont je vois les choses :

si on avait posé un problème disant "un homme a deux enfants, quelle est la probabilité qu'il ait un garçon et une fille?", tu devrais donc répondre 1/2 ? (puisque les éventualités telles que tu les définies sont GG, GF, FG, FF).
C'est ça?

Moi je répondrait 1/3 puisque les possibilités sont GG, FG(=GF), FF.

PPS : dans mon message #35

Alors j'ajouterai simplement: En considérant que la naissance d'une fille ou d'un garçon est équiprobable.

[Deedee81]

Salut,

EDIT : je répond juste sur le caractère équiprobable

Je voudrais bien que tu m'expliques pourquoi Gf et Fg seraient équiprobables alors que Ff et fF ne le seraient pas, s'il te plait? (mais vraiment, j'aimerais comprendre si quelque chose m'échappe)

Tu as Fg ce qui compte aussi gF
Alors que tu comptes séparément Ff et fF
De même FF a une probabilité double de Ff ou fF.

Les choix ne sont donc pas équiprobables (mais c'est facile à rectifier)

[le_STI]

Salut Deedee81.

C'est justement tout le sujet de mon argumentation.

Dans ta réponse à kikahuete ci-dessus, tu avais écrit :

FG : Premier enfant = F, Deuxième enfant = G
GF : Premier enfant = G, Deuxième enfant = F
C'est clairement deux éventualités différentes !!!!

et maintenant tu dis que :

Tu as Fg ce qui compte aussi gF

Je ne comprends donc pas si tu considères que FG et GF doivent être regroupés ou pas

Pour qu'on soit bien d'accord, pour moi, Fg et Gf devraient être regroupés, comme les sont implicitement Ff et fF ainsi que Gg et gG dans les résolutions aboutissant à 1/3.

De plus

Alors que tu comptes séparément Ff et fF

Pour rappel, je comptes de cette façon via un raisonnement par l'absurde, je ne soutiens pas cette façon de dénombrer les possibilités mais j'essaie de rester cohérent avec la logique des partisans du 1/3

[Archi3]

Je voudrais bien que tu m'expliques pourquoi Gf et Fg seraient équiprobables alors que Ff et fF ne le seraient pas, s'il te plait? (mais vraiment, j'aimerais comprendre si quelque chose m'échappe)

parce que GF, FG et FF sont équiprobables (0,25 chacun), mais FF se décompose en Ff et fF , donc fF et Ff n'ont qu'une probabilité 0,125 de se produire.

[Deedee81]

J'ai dit une connerie plus haut, désolé (mais chose amusante, ce n'est pas elle que le_STI a pointé).

Mais bon, ça va, Archi3 a corrigé :

parce que GF, FG et FF sont équiprobables (0,25 chacun), mais FF se décompose en Ff et fF , donc fF et Ff n'ont qu'une probabilité 0,125 de se produire.

Pour rappel, je comptes de cette façon via un raisonnement par l'absurde, je ne soutiens pas cette façon de dénombrer les possibilités mais j'essaie de rester cohérent avec la logique des partisans du 1/3

Si tu veux présenter une fausse démonstration expliquant la "logique" de ceux qui se trompent, why not, surtout dans ce forum. Mais il aurait fallu le dire A te relire, tu sembles impliquer cela mais franchement, ce n'était pas clair
EDIT mais dans ce sens ma foi c'est possible qu'ils raisonnent ainsi. J'ai déjà vu pire Parfois c'est bien plus subtil (comme mon histoire de marchand de frites, c'est quelque part dans ce forum ). Et une grosse erreur sur la calculabilité.... mais que je n'ai jamais présenté ici car j'ai trouvé mon erreur. Les probas et les raisonnements sur l'infini, c'est piégeux

[ArchoZaure]

Bonjour.

Bon moi pour commencer à vérifier j'ai effectué une série de lancers Pile (P) ou Face (F)

P F P F F P F P F P
P P F P F F P F P P
P F P P F F P P P F
F P F F P F P P F F
F F P F P F F F P F
P P P F P F F P P P
P P P P F F F F F F
P P P P F F F F P P
P P F F P P F P F P
F P F F F F P P F P
P P F P P P P F F P
P F F P F P P P F F
P F P P P F P P F F
F F F F P P F F F F
P P F P P F P P F P

Donc d'après ces 130 lancers j'ai obtenu à peu de choses près :
70 P venant derrière un F
60 F venant derrière un F

Ce qui fait environ 53% de P venant derrière un F.
Ce qui accréditerait plus la thèse d'une probabilité d'avoir 50% de chance d'avoir une Fille (F) lorsqu'on a déjà une fille que d'avoir 30% d'avoir une Fille (F) lorsqu'on a déjà une fille

Comme j'ai fait ça à la main, à peu de choses près, et que la série est limitée, c'est juste à titre d'information (Mais n'empêche. )
Il faudrait informatiser ça pour vérifier de manière plus certaine.

[Deedee81]

Ca me semble évident

[Deedee81]

Ca me rappelle des propos entendus (pas par moi) à la roulettes :
"le rouge vient de sortir 5 fois, donc il faut miser sur le noir, le rouge n'a presque aucune chance de sortir"

Et ça de joueur quand même habitués.

Ca montre une chose : les gens sont nuls en proba

[ArchoZaure]

Ca me rappelle des propos entendus (pas par moi) à la roulettes :
"le rouge vient de sortir 5 fois, donc il faut miser sur le noir, le rouge n'a presque aucune chance de sortir"

D'accord si je suis votre raisonnement et dans ce cas si je vous dis:
Un homme a 6 enfants. 5 d'entre eux sont des filles. Quelle est la probabilité que "l'autre" soit aussi une fille ?

Ici avec la roulette vous me dites 50%
Quelle est la différence avec le cas des enfants ?

[le_STI]

parce que GF, FG et FF sont équiprobables (0,25 chacun), mais FF se décompose en Ff et fF , donc fF et Ff n'ont qu'une probabilité 0,125 de se produire.

Oui, mais comment arrives-tu à ces probabilités de 0.25 ?
J'imagine que tu pars de la liste de possibilités [GG, FG, GF, FF] mais, si cette liste est effectivement biaisée comme je le pense, on ne peut pas s'en servir pour établir que les probabilités FG, GF et FF sont égales.

J'aimerais beaucoup lire une explication de la logique derrière le fait de distinguer fG de Gf, mais de regrouper Ff et fF (je mets des majuscules et minuscules pour qu'on distingue bien la nuance entre Gf et Fg, qui n'est pas explicitée par vous autre ).

[le_STI]

Si tu veux présenter une fausse démonstration expliquant la "logique" de ceux qui se trompent, why not, surtout dans ce forum. Mais il aurait fallu le dire A te relire, tu sembles impliquer cela mais franchement, ce n'était pas clair

Je l'avais clairement dit dans mon message #70 (le déterrage)

Pour moi c'est un raisonnement par l'absurde car le fait de distinguer les cas FG et GF est absurde, mais si je pousse jusqu'au bout le raisonnement des 1/3-istes, on devrait prendre en compte les cas :

Fg (grande fille, petit garçon)
Gf (grand garçon, petite fille)
Ff (la fille de l'énoncé est la plus petite)
fF (la fille de l'énoncé est la plus grande)
FFjumelles

et on exclurait Gg, gG et GGjumeaux

La probabilité qu'il ait une autre fille serait donc de 3/5...

[Deedee81]

Quelle est la différence avec le cas des enfants ?

Y en a pas. On est d'accord
(en proba sur Futura on est quand même moins nul que la plupart )

Je l'avais clairement dit dans mon message #70 (le déterrage)

Je l'avais vraiment pas compris comme ça

[le_STI]

D'accord si je suis votre raisonnement et dans ce cas si je vous dis:
Un homme a 6 enfants. 5 d'entre eux sont des filles. Quelle est la probabilité que "l'autre" soit aussi une fille ?

Ici avec la roulette vous me dites 50%
Quelle est la différence avec le cas des enfants ?

C'est amusant, c'est justement un exemple sur lequel je voulais m'appuyer pour justifier une fois de plus le fait que la proba doit être de 1/2

En fait je voulais argumenter en disant que peu importe le nombre de filles (ou de garçons) qu'il a déjà, cela n'a aucune influence sur le sexe de l'autre enfant (ou alors, encore une fois, qu'on m'explique en quoi cela a une influence).

Pour moi (qu'on me dise si je me trompe) le problème revient à dire : un homme ayant certaines caractéristiques (dont un nombre d'enfants dont le sexe est déterminé) a un autre enfant, quel est la probabilité que cet enfant soit une fille ?
On aurait aussi bien pu poser le problème en disant "Un homme a un chien, il a également un enfant, quelle est la probabilité que cet enfant soit une fille?"

[le_STI]

Je l'avais vraiment pas compris comme ça

C'est le problème de la communication (émetteur/récepteur, etc...) mais j'ai fait de mon mieux pour être clair :

Pour moi c'est un raisonnement par l'absurde car le fait de distinguer les cas FG et GF est absurde, mais si je pousse jusqu'au bout le raisonnement [...]

[Matmat]

D'accord si je suis votre raisonnement et dans ce cas si je vous dis:
Un homme a 6 enfants. 5 d'entre eux sont des filles. Quelle est la probabilité que "l'autre" soit aussi une fille ?

Ici avec la roulette vous me dites 50%
Quelle est la différence avec le cas des enfants ?

c'est la même différence qu'avec le problème des enfants en remplaçant "l'autre" par "l'ainée" , à la roulette c'est 50% (comme quand l'ainée est une fille) parce qu'on sait que ce sont les 5 premiers tirages (d'une série de 6 arbitraire) qui sont noirs .

[oxycryo]

je me lance, tel un dé à jouer, dans la bataille...je ne l'avais pas vu à l'époque ce coupage de cheveux en quatre...

donc en prenant appuie sur le modèle fort connu de la pièce monnaie:
- je jette une pièce de monnaie, elle tombe sur face... j'avais une chance sur deux qu'elle tombe sur face... 1/2
- je recommence, et elle tombe sur ... pile ou face... probabilité de 1/2...

rien à faire, de mon coté chaque tirage est distinct, et à sa propre matrice de possibilité et qui ne dépend jamais des tirage antécédents
- le 1/3 pour une fille est "selon moi" fort captieux et magistralement faux
- seule l'état des possible disponible pour le dernier enfant (fille/garçon) doit-être retenu..; soit 1/2...

l'on ne connaitrait pas le sexe des deux enfants.. alors il y aurait quatre possibilités... mais puisqu'un tirage à déjà été effectué... ne reste qu'un chance sur deux.

[Archi3]

Oui, mais comment arrives-tu à ces probabilités de 0.25 ?
J'imagine que tu pars de la liste de possibilités [GG, FG, GF, FF] mais, si cette liste est effectivement biaisée comme je le pense

bah si tu penses que c'est biaisé, fais l'expérience, mets une boule blanche et une boule noire dans un sac, et tire deux fois une boule en la remettant en place après le premier tirage. Compte le nombre de fois que tu as tiré NN, BN, NB, et BB, et reviens nous voir. Après on continuera à discuter.

[papy-alain]

Voici un extrait de la réponse de chatGPT à la question initiale :

<<Pour répondre à cette question, nous pouvons utiliser la probabilité conditionnelle. Étant donné que nous savons déjà qu'au moins un des enfants est une fille, il y a trois scénarios possibles : un garçon et une fille (GF), une fille et un garçon (FG) ou deux filles (FF).
Parmi ces trois scénarios, deux d'entre eux incluent une fille (GF et FF). Par conséquent, la probabilité que l'autre enfant soit aussi une fille est de 2 sur 3, ce qui équivaut à environ 66,67%.>>

Marrant, non ?

[ArchoZaure]

Comme j'ai fait ça à la main, à peu de choses près, et que la série est limitée, c'est juste à titre d'information (Mais n'empêche. )
Il faudrait informatiser ça pour vérifier de manière plus certaine.

Bon j'ai tenté un petit programme pour vérifier tout ça

from random import*
def piece(n): 
    pile=0
    face=0
    last=-1
    lancer=0
    total=0
    for k in range(n):
      last=lancer
      lancer=randint(0,1)
      if last==0:
        total=total+1
        if lancer==0:
          face=face+1
        else:
          pile=pile+1
    print(total)
    print(face/total)
piece(1000000)

Que j'ai lancé sur le site http://www.jaicompris.com/python.php
Et ça donne :

500805
0.5007517896187139

Donc lorsqu'on a déjà un tirage Face la probabilité que l'autre tirage soit face également est de 50%