Devinette mathématique

[Médiat]

Faites-le !

Les démonstrations à la "Sâr Rabindranath Duval" ne conviennent pas
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[invite82078308]

Faites-le !

(...)

Cela serait aussi ennuyeux pour moi que pour d'hypothétiques lecteurs.
Ni l'égoïsme, ni l'altruisme ne justifieraient donc que je le fasse.

[invite452d5a24]

Salut,

Les démonstrations à la "Sâr Rabindranath Duval" ne conviennent pas

Pour savoir de quoi il s'agit : https://www.youtube.com/watch?v=6KcZbwLwDzE

Mais tout ça n'empêche pas un autre (disons le physicien) d'inscrire "réponse du mathématicien + 1".
Dans tous les cas, il gagne. Et vis à vis de l'énigme, ça, ça me gêne.

En fait, si on se place dans ZFC on sait qu'il existe G un nombre entier fini : le nombre de pas pour que la suite de Goodstein soit nulle, qui est considèrer dans AP comme indéterminer.

Ainsi si on revient dans AP, alors on aurait G=G+1 (on pourrait mettre en bijection un ensemble de taille G, avec un ensemble de taille G+1).
Remarque : cela veut dire que AP posséderait un plus grand nombre G.

Cordialement.

[Médiat]

Du moment que les "hypothétiques lecteurs" sont convaincus que vous ne pouvez pas le faire, cela me convient parfaitement.

[invite82078308]

(...)

Les démonstrations à la "Sâr Rabindranath Duval" ne conviennent pas

Je suis désolé de vous l'apprendre, mais si vous ne savez que ce qui vous a été démontré formellement, vous savez très peu de choses.

Il y a actuellement un programme de recherche visant à produire des démonstration formelles des résultats mathématiques à des fins de vérification par ordinateur.
Mon info n'est pas très récente, mais il en était au niveau licence d'après ce que j'ai lu.
Toutefois, je doute que vous ayez lu et vérifié toutes les démonstrations formelles qu'il a produit.

[Médiat]

Il peut le faire

[invite82078308]

Salut,



Pour savoir de quoi il s'agit : https://www.youtube.com/watch?v=6KcZbwLwDzE



En fait, si on se place dans ZFC on sait qu'il existe G un nombre entier fini : le nombre de pas pour que la suite de Goodstein soit nulle, qui est considèrer dans AP comme indéterminer.

Ainsi si on revient dans AP, alors on aurait G=G+1 (on pourrait mettre en bijection un ensemble de taille G, avec un ensemble de taille G+1).
Remarque : cela veut dire que AP posséderait un plus grand nombre G.

Cordialement.

Le fait qu'on ne connaisse pas dans l'arithmétique de peano la valeur précise de ce nombre n'autorise pas à en dire n'importe quoi.

[Médiat]

Le fait qu'on ne connaisse pas dans l'arithmétique de peano la valeur précise de ce nombre n'autorise pas à en dire n'importe quoi.

Là je suis d'accord avec vous, d'autant plus que l'expression "le nombre de pas pour que la suite de Goodstein soit nulle" n'a pas de sens, et je soupçonne de la part du scripteur initial, de tomber aussi dans la confusion entre "pour tout n démontrer" et "démontrer pour tout n" ; le fait que la démonstration de Paris et Kirby fasse appel à des modèles non standard de AP me confortant dans ce sens.

[Merlin95]

"pour tout n démontrer" et "démontrer pour tout n"

Bonjour,

j'ai un peu de mal à comprendre pourquoi ce n'est pas la même chose. Je vois les choses ainsi dans "pour tout n démontrer", on prend un n et on démontre la propriété, dans "démontrer pour tout n" il faut un moyen de démontrer la propriété vraiment pour tout n sans passer par un n particulier.
Dans la logique du premier ordre, la règle d'introduction du quantificateur universel, exprime que c'est équivalent. Mais je crois que dans d'autres cas (logique) ce n'est pas forcément équivalent.

[Médiat]

Bonsoir,

j'ai un peu de mal à comprendre pourquoi ce n'est pas la même chose. Je vois les choses ainsi dans "pour tout n démontrer", on prend un n et on démontre la propriété, dans "démontrer pour tout n" il faut un moyen de démontrer la propriété vraiment pour tout n sans passer par un n particulier.
Dans la logique du premier ordre, la règle d'introduction du quantificateur universel, exprime que c'est équivalent. Mais je crois que dans d'autres cas (logique) ce n'est pas forcément équivalent.

Je parle bien de la logique du premier ordre, et vous avez raison d'invoquer l'axiome de généralisation pour cette logique, mais pas ici ; pour vous donner un exemple, assez simple, prenez l'arithmétique de Robinson (celle de Peano sans le schéma d'axiomes de récurrence), essayez de démontrer que 1 + 2 = 2 + 1, puis que 1 + 3 = 3 + 1, vous remarquerez que vos deux démonstrations sont différentes et donc ne conviennent pas pour démontrer n + m = m + n (puis d'appliquer l'axiome de généralisation), par contre vous aurez un "schéma" de démonstration qui devrait convaincre tous les mathématiciens que pour tout n et pour tout m (que l'on vous fournirait) vous êtes capable de produire la démonstration qui convient à ce cas particulier.

[invite82078308]

Si pour tout n, on peut démontrer p(n), on ne peut pas forcément démontrer que (pour tout n p(n)) ;
A moins de se placer dans une théorie plus puissante, éventuellement celle dans laquelle on a démontré que pour tout n,(p(n) est démontrable).
(Avec des parenthèses, cela me semble plus clair.)

[Merlin95]

ok merci c'est plus clair.

[invite82078308]

Pour illustrer la difficulté de la notion de définition d'un nombre entier , je prendrais cet exemple:
Je considère ceci: "le plus petit entier strictement supérieur à deux tel qu'il existe trois entiers x,y,z strictement positifs tels que xⁿ+yⁿ=zⁿ" .
Est-ce une définition ?
Il a fallu plusieurs siècles pour y répondre (par la négative), et seulement dans une théorie très puissante.

[Médiat]

Est-ce une définition ?

Oui, c'est une définition dans AP, et je le prouve :




L'exponentiation n'est pas une fonction de AP, mais elle y est définissable à l'aide de la fonction de Gödel, elle-même définissable dans AP (j'ai démontré ces deux points dans un document sur l'arithmétique et publié jadis sur FSG).

Ce qu'il a nécessité plusieurs siècles, c'est la démonstration qu'aucun entier ne vérifiait cette définition.

[invite82078308]

Ca définit un prédicat sur les entier. mais cela ne définit pas un entier.
On peut aussi définir naturellement un algorithme qui calcule un tel n si il existe en utilisant une énumération des quadruplets d'entiers naturels (n,x,y,z).
Le théorème de Fermat-Wiles dit alors que cet algorithme ne termine pas.

[Médiat]

C'est ce que je dis, c'est bien une définition, qu'aucun entier ne vérifie.

[invite82078308]

Le but du jeu est, à mon sens, de donner une définition qu'un entier naturel vérifie. (si il y en a plusieurs qui vérifient une définition, on peut prendre le plus petit).
Faut-il donner avec une définition une preuve qu'un entier naturel la vérifie ? L'énoncée n'est pas clair à ce sujet.