Exemple de propositions fausses n fois de suite et vraie la pour k > n

[Merlin95]

Bonsoir,

a-t-on un ou des exemples de propositions fausses n fois de suite et vraie la pour k > n, et je ne l'ai pas mis dans le titre car ca aurait fait trop long, avec n très grand on va dire supérieur à 100, mais surtout dont on ne saurait démontrer la vérité.

PS : les zéros de la fonction de Riemann n'ont pas de rapport avec la question, dans ce cas, on n'a pas encore de contre-exemple, ni ne savons s'il en existe un.

PS2 : la question n'a pas de rapport non plus avec des algorithmes que l'on peut construire adhoc afin de répondre à une proposition donnée.

PS3 : la question n'a pas de rapport non plus avec la valeur de telle proposition adhoc par rapport à une autre

En somme après avoir énuméré ces PS, je ne pense pas qu'on puisse en connaitre, mais je laisse on ne sait jamais .
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[invite73192618]

Soit un hypercube de dimension n et de coté 1.
Soit des hypersphères de dimension n et de diamètre 0,99.
Est-ce qu'on peut mettre k > n hypersphères dans l'hypercube sans qu'ils ne se touchent?

(non non non.... oui oui oui...)

Est-ce que ça correspond au genre de chose que tu recherches?

[CM63]

Bonjour,

...mais surtout dont on ne saurait démontrer la vérité.

C'est surtout ça qui pose un problème, comment démontrer qu'une proposition est impossible à démontrer? On peut démontrer qu'une proposition est indécidable, c'est cela que tu veux dire?

[LeMulet]

Toute affirmation qui fait référence à un processus aléatoire irréversible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Archi3]

Bonsoir,

a-t-on un ou des exemples de propositions fausses n fois de suite et vraie la pour k > n,

La proposition "k > n"

Mais bon ça on sait la démontrer, j'ai l'impression que tu cherches une proposition qui est expérimentalement fausse pour k<=n et vraie pour k> n mais sans qu'on sache encore pourquoi ? (c'est à dire que la conjecture que c'est vrai pour tout k > n serait pour le moment non démontrée, puisque c'est facile par énumération de démontrer que c'est faux pour k<=n ?)

[ansset]

je suis aussi gêné par la restriction de non démonstration.
faut il supposer que l'on sort ( ou peut sortir ) du champ mathématique ?

ce qui impliquerai que la notion de "vérité" est plus subjective.

ps: pas compris le PS3.

[Médiat]

Dans AP


On sait que cette formule est fausse jusqu'à ( c'est plus grand que 100) après, on ne sait pas (d'après mes sources)

[Archi3]

et en français ça veut dire quoi ?

Sinon on peut bricoler un truc à partir d'une proposition vérifiée mais non démontrée pour tout k connu (par exemple la conjecture de Syracuse), et la modifier légèrement en :
* démarrant la suite à u_0 = k-n
* en convenant que pour u_n <=0, alors u_(n+1)=0 (ce qui fait qu'elle devient fausse pour tout entier <n)

[ansset]

Sinon on peut bricoler un truc à partir d'une proposition vérifiée mais non démontrée pour tout k connu (par exemple la conjecture de Syracuse), et la modifier légèrement en :
* démarrant la suite à u_0 = k-n
* en convenant que pour u_n <=0, alors u_(n+1)=0 (ce qui fait qu'elle devient fausse pour tout entier <n)

semble non compatible avec le PS2 !?

[invite73192618]

On sait que cette formule est fausse jusqu'à ( c'est plus grand que 100)

18, ça doit être le nombre de symboles avant que les yeux divergent.
2.10^18, c'est plus loin si j'en crois tes sources.

[Merlin95]

@Jiav, je n'ai pas compris ton exemple pourrais tu le détailler ?

@CM63, non j'ai voulu dire, une proposition qu'on aurait pas démontrer une sorte de conjecture.

@Archi3 oui tu as compris mon objectif.


Je reformule la question. En fait à l'origine le but est de contrer le fait qu'une propriété est vraie pour n très grand mais pourrait s'avèrer fausse à partir d'un certain contre exemple (comme dans la conjecture des zéros de Riemann), mais sur une proposition qui ne soit pas trop adhoc (comme le serait l'exemple donné par Archi3, du genre "k < n" qui est vraie pour k de 0 à n, et fausse après) et donc que j'ai posé non démontrée pour être sûr que ce n'est pas adhoc.

@Ansset une solution adhoc n'est pas satisfaisante car trop évidente, j'ai voulu dire que je n'écarte pas la possibilité que les seuls exemples trouvables soit des propositions adhoc à la limite un peu masquée. Mais bon c'est vrai que c'est pas très clair. Si ca t'embête oublie ce PS3.

@Médiat, cette proposition est difficilement appropriable, elle vient d'où ?

@Archi3 pour la conjecture de Syracuse, je voyais par exemple quelque chose comme "on peut calculer le temps de vol en fonction de N" et "on peut le choisir de sorte qu'il soit aussi grand que l'on veut". On aurait u_k > 1 pour tout k < f(n) avec f(n) arbitrairement grand.

[Merlin95]

ajout .....:

@Archi3 pour la conjecture de Syracuse, je voyais par exemple quelque chose comme "on peut calculer le temps de vol en fonction de N" (ca serait une conjecture forcément) et "on peut le choisir de sorte qu'il soit aussi grand que l'on veut". On aurait u_k > 1 pour tout k < f(n) avec f(n) arbitrairement grand.

[Médiat]

@Médiat, cette proposition est difficilement appropriable, elle vient d'où ?

n'est que la conjecture de Goldbach

[invite73192618]

@Jiav, je n'ai pas compris ton exemple pourrais tu le détailler ?

Un carré de coté 1, c'est une figure en 2D de surface 1. Un cube de coté 1, c'est une figure en 3D de volume 1. Un hypercube de dimension n et de coté 1, c'est une figure en nD avec un hypervolume de 1. Même topo pour les cercles jusqu'aux hypersphères en nD. Jusqu'ici pas de quoi se fouler un neurone.

Maintenant la question faussement triviale: combien d'hypersphères de dimension n et de diamètre "presque 1" (1-epsilon) peut-on mettre dans un hypercube de coté 1?

En dimension 2, il est facile de voir qu'on peut n'en mettre qu'une seule, et qu'elle occupera un peu moins de pi/4 de la surface.
En dimension 3, il est plutôt facile de voir qu'on peut n'en mettre qu'une seule, et qu'elle occupera une proportion x du volume, avec x<pi/4.
En dimension 4, il est un peu casse couille de vérifier qu'on peut n'en mettre qu'une seule, et qu'elle occupera une proportion y du volume, avec y>x
En dimension 5, on commence à se demander pourquoi on s'embête à calculer tout ça alors qu'il semble évident que la réponse sera toujours 1, non?
...
En dimension n, avec n un nombre pas trop court sur patte, il est franchement casse couilles mais tout-à-fait démontrable qu'on pourra mettre plus qu'une hypersphère. Le nombre exact varie selon epsilon, mais varie selon le logarithme de la dimension. Autrement dit, s'il est possible de rentrer 2 hypersphères dans un hypercube de dimension 100, alors il est très probablement possible de mettre 3 hypersphères dans un hypercube de dimensions 1000.

A l'origine c'est un problème assez classique chez ceux qui s'intéressent à la bonne répartition des oranges dans une caisse. Mais un hypercube de dimension n dont chaque coté varie entre 0 et 100% (donc entre 0 et 1), c'est aussi une façon particulièrement intéressante de décrire une base de donnée. Et une hypersphère qui couvre à peu près chaque dimension, c'est aussi une très bonne façon de décrire l'ensemble des réseaux de neurones qu'il est possible d'atteindre après une phase d'entrainement non infinie.

Bref, c'est le genre de problème qui part d'un jeu sans applications pratiques évidentes, et qui se retrouve à être un élément de connaissance particulièrement pertinent pour comprendre la dynamique des réseaux de neurones et ce qu'il est possible ou impossible de faire avec.

[CM63]

Bonjour,

Tes neurones sont placés dans un endroit peu commun

@Merlin95 : ah oui je comprends la phrase de ton premier post : "dont on ne saurait démontrer la vérité." , tu veux dire "qu'on n'aurait pas (encore) démontrée" c'est-à-dire effectivement une conjecture, et non pas , comme je le comprenais , au sens belge : "qu'on serait incapable de démontrer, dont on aurait en quelque sorte démontré l'indémontrabilité" , c'est-à-dire une proposition indécidable.

[invite73192618]

Tes neurones sont placés dans un endroit peu commun

T'as tout compris: dans un espace de haute dimension tout endroit est peu commun.

Je soupçonne un double sens.

[1h1ng01]

Ce n'est peut être pas assez matheux/rigoureux pour ce que tu cherches mais tu as le paradoxe sorite.
A k > n avec un n supérieur à 100, on peut sans l'ombre d'un doute dire qu'il y a un tas de sable (ou d'éléments quelconques).
Mais lorsque n devient trop petit, la proposition cesse d'être vraie (sans l'ombre d'un doute lorsque n = 1).
Bien entendu cela est due à l'imprécision du langage naturel. Qu'est-ce qu'un tas, qu'est-ce qu'un non tas ?
N'empêche que c'est un problème définitionnel qui se pose plus largement dans la vie de tous les jours et qui sous-tend beaucoup de discussions, y compris avec des enjeux sérieux.