Conjecture de Syracuse

[Liet Kynes]

Salut,



Je vais détailler mais en supposant que l'on puisse démontrer ceci.
(EDIT sinon ce serait trop lourd à expliquer, mais ça donne l'idée)

Tout nombre de la forme 3n ou 3n+1 vérifie la conjecture mais on n'arrive pas à le démontrer pour 3n+2
De même on arrive à le démontrer pour :
5n, 5n+1, 5n+2; 5n+3 mais pas 5n+4
Et
7n, 7n+1 etc.... 7n+5 mais pas 7n+6
etc... et on arrive à généraliser

Cela veut dire que si un nombre de ne respecte pas la conjecture (donc en partant de ce nombre : part à l'infini ou cycle différent de 1-2-4) alors il doit être de la forme : 3n+2 et 5n'+4 (n' différent de 3 évidemment) et 7n''+6 etc.... pour tout nombre premier, de la forme, pn'''+(p-1),....
Je te laisse trouver la tête d'un tel nombre

Chaque nombre écrit sa propre formule, au lieu de calculer on peut remplacer le nombre de départ par x par exemple pour 7 le début de formule (jusqu'à 20, 6ème terme de la suite générée à partir de 7) est ((((((((((((x*3)+1)/2)*3)+1)/2)*3)+1)/2)/2)*3)+1)/2= (81*x+73)/32 se simplifiera en x/x à la fin: ce qui est intéressant c'est de faire pareil avec tes variantes..
Quand on réfléchi à un hypothétique cycle la formule écrite par tout nombre dans le cycle reprends les mêmes termes dans un ordre différent on peut même envisager une réversibilité (collatz à l'envers) les "segments" de formules à l’intérieur du cycle devrait présenter des caractéristiques intéressantes aussi sachant qu'en dehors du cycle hypothétique la suite générée à partir du second terme comprends un terme de moins ( 7=suite de 12 termes jusqu'à 1 et 11 le second terme de la suite générée à partir de 7 comprends 11 termes).
C'est assez casse tête ce truc mais comme je l'ai déjà dit cela permet de poser pleins d'idées sympas.
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[Deedee81]

Salut,

C'est assez casse tête ce truc

C'est un peu le but (d'où le nom : Syracuse, l'histoire dit que les étudiants avaient surchargé le serveur de l'université avec leurs simulations numériques )

[Liet Kynes]

Salut,

C'est un peu le but (d'où le nom : Syracuse, l'histoire dit que les étudiants avaient surchargé le serveur de l'université avec leurs simulations numériques )

Tiens j'ai fini ma conversion pour réduire ces suites.. décevant car graphiquement pas top.
Mathématiquement c'est intéressant car du coup fini les cycles .
Il faut reprendre les coordonnées de mon tableau de départ dans lequel on converti les nombres en adresses de façon logique et rajouter une coordonnée pour avoir un repère spatial en trois dimensions, la troisième coordonnée est simplement le kème terme dans une suite (what else?) Puis calcul de la coordonnée en 3d avec , g et t sont fixés pour tout x et k varie de 1 à +infini => pas possible d'obtenir deux fois la même coordonnée.

tab syr 3d.jpg

Pour mémoire pour chaque x on détermine basiquement l'adresse de sa valeur donnée par l’algorithme en g et t.

Du coup le graphique de ces suites et assez plat (car personne ne se croise en tendant de la même façon vers une limite différente) :

tab syr 3d graph.jpg

(Ici les 10 premiers termes obtenus pour x de 1 à 24)

Donc pour le dessin mieux vaut laisser les nombres en altitude

[Liet Kynes]

Quand on est une bille en maths.. heureusement il y a des aides sympas sur le net :
tab syr 3d2.jpg

[Liet Kynes]

Salut,

C'est un peu le but (d'où le nom : Syracuse, l'histoire dit que les étudiants avaient surchargé le serveur de l'université avec leurs simulations numériques )

Hello, l'étude bilan (https://hal.archives-ouvertes.fr/hal...181v2/document) de ce qui est étudié reste assez succincte et comporte des manques importants * . L'émulation estudiantine a due faire fuser des idées en quantités et c'est cela qu'il aurait été intéressant de rechercher et cataloguer.

Je suis en train de prendre le problème du point de vue de la quantification des formules et c'est super intéressant, sur une suite de Collatz on peut dénombrer le nombre de formules "/2" et le nombre de "3x+1/2" ou ("3x+1") au n-ème terme de la suite et considérer les écarts, voir aussi l'évolution de ces écarts au n ème terme en les cumulant etc...

Si quelqu'un a des liens sur la quantifications des formules cela m’intéresse. Il y a l'approche nombre paires, impaires à quantifier mais je n'ai pas encore tenté vu que 3x+1 est paire mais x/2 et il y a un effet de confusion possible.

Avec les formules je pense que l'on est obligé de ce poser des questions sur les combinaisons et leur dénombrement (problématique étant donné la nature de l’algorithme)..

Une petite photo de là ou j'en suis "graphiquement" : à droite et à gauche il s'agit d'un seul et même traitement "échelle de couleur" (judicieux). A droite c'est l'écart entre les cumuls de formules 3x+1/2 et x/2 au n - ème terme pour environs les 450 premières suites de Collatz et à gauche la somme cumulée de ces écarts au n ème terme: ce qui m’intéresse c'est le fait qu'une la flamme est assez régulière = le nombre de termes de ces nouvelles suites n'est pas variable comme les suites de Collatz.

Capture.JPG

* "Avec ν(n) valant la puissance de 2 dans la décomposition de n en facteur premier, on a ν(3m+ 1) =p. On note [n] le nombre impair déduit à partir de n par division pax+r une puissance de 2 judicieuse" : pourquoi écrire "judicieuse" ?

[Deedee81]

Salut,

Joli

Mais j'ai franchement du mal à comprendre ton message. Pas assez détaillé ???? Mais déjà, qu'est-ce que tu appelles "quantifier les formules" ??? Tu veux dire juste calculer les valeurs qu'elles prennent ?

[Liet Kynes]

Salut,

Joli

Mais j'ai franchement du mal à comprendre ton message. Pas assez détaillé ???? Mais déjà, qu'est-ce que tu appelles "quantifier les formules" ??? Tu veux dire juste calculer les valeurs qu'elles prennent ?

Bonjour, oui c'est pas très bon le mot "quantifier" que j'utilise. Le truc c'est de laisser de côté les nombres pour ne garder que les formules (la relation entre les termes des suites): dans l'idée je remplace tout les termes de la suite par la formule qui les a générés.
Exemple pour 27 (le premier un peu long dans les suites de Collatz):

Les termes de la suite:
27 41 62 31 47 71 107 161 242 121 182 91 137 206 103 155 233 350 175 263 395 593 890 445 668 334 167 251 377 566 283 425 638 319 479 719 1079 1619 2429 3644 1822 911 1367 2051 3077 4616 2308 1154 577 866 433 650 325 488 244 122 61 92 46 23 35 53 80 40 20 10 5 8 4 2 1

Je remplace cela par les formules ( /2 et *((3+1)/2) ) :


27-> *((3+1)/2) *((3+1)/2) /2 *((3+1)/2) *((3+1)/2) *((3+1)/2) *((3+1)/2) *((3+1)/2) /2 *((3+1)/2) /2 *((3+1)/2) *((3+1)/2) /2 *((3+1)/2) *((3+1)/2) *((3+1)/2) /2 *((3+1)/2) *((3+1)/2) *((3+1)/2) *((3+1)/2) /2 *((3+1)/2) /2 /2 *((3+1)/2) *((3+1)/2) *((3+1)/2) /2 *((3+1)/2) *((3+1)/2) /2 *((3+1)/2) *((3+1)/2) *((3+1)/2) *((3+1)/2) *((3+1)/2) *((3+1)/2) /2 /2 *((3+1)/2) *((3+1)/2) *((3+1)/2) *((3+1)/2) /2 /2 /2 *((3+1)/2) /2 *((3+1)/2) /2 *((3+1)/2) /2 /2 /2 *((3+1)/2) /2 /2 *((3+1)/2) *((3+1)/2) *((3+1)/2) /2 /2 /2 /2 *((3+1)/2) /2 /2 /2

et je remplace les formules par 1 et 0 en attribuant 1 à la formule que je vais quantifier:

1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0

C'est à ce stade que je "quantifie" = c'est une opération simple qui me donne le nombre de fois ou une partie de l'algorithme (ici "*(3x+1)/2") a été activée selon la règle prédéfinie (si paire/si impaire alors..):

27 41 62 31 47
*((3+1)/2) *((3+1)/2) /2 *((3+1)/2)
je remplace les formules "*((3+1)/2)" par 1 et les "/2" par 0 -> 1 1 0 1 et j’additionne au quatrième terme de la suite de Collatz commençant par 27 j'ai utilisé 1+1+0+1= 3 formules *((3+1)/2). Je fait cela pour l'ensemble des suites avec chacune des deux formules (trivialement pour déduire le nombre de formules "/2" du quatrième terme il n' y a qu' à soustraire le nombres de formules déjà formées: 4 - 3 = 1
J'obtiens ainsi deux suites "quantifiant" le nombres de formules utilisées pour arriver à chaque terme et je fait la différence : cela donne le graphe de gauche.
La dernière étape étant ensuite de cumuler ; pour les entiers naturels dans l'ordre croissant:
j'obtiens en additionnant le nombre de formules "*((3+1)/2)" au nème terme pour les entiers de 1 à n (graphe de la flamme). Cela donne une tendance mais ce qui m’intéresse c'est que les nombres obtenus sont positifs dans la "flamme" et négatifs autour (positifs pour les premiers termes puis négatifs puis positifs dans la "flamme" et négatifs (à partir des suites dont le premier terme est 64). Un cycle avec un écart variable apparaît : pour 27 c'est -35 -40 -35 -40..

En fait cela semble bien compliqué mais c'est très basique car j'exprime ici des choses très triviales de façon compliquées.

Après j'ai effectué une opération supplémentaire qui me donne une "flamme" sans artefacts mais dont je n'ai pas encore saisi ce qu'elle représentait. En additionnant le cumul des écarts au n ème terme..: c'est mieux pour le dessin mais je ne vois pas encore ce que c'est par rapport aux suites de départ,c'est pour cela que je ne l'ai pas mise avant mais je la met car c'est quand même sympa pour les yeux :

Capture.JPG

[Deedee81]

Salut,

En fait cela semble bien compliqué mais c'est très basique car j'exprime ici des choses très triviales de façon compliquées.

Bienvenue dans le monde de Futura

Sinon, très sympa comme recherche "expérimentale".

[Liet Kynes]

Bonjour,

Je ne trouve pas de textes sur l'étude des formules proprement dites malheureusement et cela me bloque un peu pour trouver du sens. La succession de formules doit s'envisager de façon combinatoire mais j'ai cherché et rien vu ou alors l'approche ne change rien à ce qui se fait d'ordinaire?

Les écarts dans le cumul des itérations des deux formules sont pourtant révélateurs d'une certaine logique.

En gardant la même base de travail mais cette fois en faisant apparaître l'évolution des écarts sur une même suite (l'écart entre les écarts des cumuls: pas fastoch à décrire je vais mettre un .ods pour illustrer en PJ dés que j'ai un peu de temps de faire quelque chose de "propre") j’obtiens une structure composées de 4 zones distinctes .. cela change des structures classiquement obtenues avec les nombres et me parait plus logique..

Toujours sur mon échantillon des suites de 1 à 450, en vert nombre négatif, en gris 0 , en blanc positifs avec la zone de gauche composée de cycles -1,0,-1,0 ... ou 1,0,1,0.. sans fin.

syr = 2ec.jpg

Cela doit quand même avoir été un peu développé quelque part cette approche?

[Liet Kynes]

Je met un graphe "séries empilées" du précédent tableau au cas ou quelqu'un a déjà vu cela quelque part.. je trouve rien de rien.

syr = 2ec2.jpg

Traitement pour 456 suites la dernière convergence (à droite avant le cycle régulier) est au 100 ème terme.

[Liet Kynes]

Bonjour,

J'ai trouvé ce qu'il y a de bizarre dans mon dernier graphe.. j'avais traité en sommes partielles plusieurs parties de mes séries précédentes en gardant le même tableau de destination

Par contre l'idée d'analyser les écarts dans une suite de collatz entre le nombre d'itérations de la formule majorante te et celui de la formule minorante me surprends dans la forme des suites obtenues.
Du coup j'explore les notions sur les suites numériques mais cela devient un peu costaud..

[amineyasmine]

Bonjour,

J'ai trouvé ce qu'il y a de bizarre dans mon dernier graphe.. j'avais traité en sommes partielles plusieurs parties de mes séries précédentes en gardant le même tableau de destination

Par contre l'idée d'analyser les écarts dans une suite de collatz entre le nombre d'itérations de la formule majorante te et celui de la formule minorante me surprends dans la forme des suites obtenues.
Du coup j'explore les notions sur les suites numériques mais cela devient un peu costaud..

Bonjour
Tout ce que tu fais pour les nombres inférieurs à 10^12 ne sert à rien.
S’il y a un contre-exemple c’est dans l’infiniment grand que ça se passe.
Quel que soit le nombre «A» que tu prends, il te donne une suite qui se termine dans le nombre 1 et il existe toujours un nombre «B» plus grand qui te donne une suite plus grande qui se termine dans le nombre 1 et absorbe la suite crée par le nombre «A», ….et ainsi de suite.

Donc toute les suites (3*n+1, n/2) prennent naissance dans l’infini et se terminent dans 1, sauf la suite contre-exemple qui prend naissance dans l’infini et se termine dans l’infini.
C’est cette suite qu’il faut chercher. Si tu la trouve la conjecture est fausse et si elle ne peut pas exister la conjecture est vrai.

[pm42]

Tout ce que tu fais pour les nombres inférieurs à 10^12 ne sert à rien.

En fait, on a vérifié encore plus loin, jusqu'à 2,95×10²⁰.
Mais on fait des progrès théoriques et récemment, Terence Tao a montré des choses intéressantes.

Ceci dit, que ce qui se fait ici ne serve à rien me semble assez évident.

[amineyasmine]

En fait, on a vérifié encore plus loin, jusqu'à 2,95×10²⁰.
Mais on fait des progrès théoriques et récemment, Terence Tao a montré des choses intéressantes.

Ceci dit, que ce qui se fait ici ne serve à rien me semble assez évident.

bonjour
que fait Terence Tao pour démonter ?

je vous dis ce qu'il va faire à l'avance,

il ne va pas démonter directement, il va chercher à démonter un théorème semblable à celui des valeurs intermédiaires pour les fonctions continues.

si une suite contre-exemple existe elle croisera nécessairement une vrai suite se terminant dans le cycle trivial (4,2,1)

donc ..... à toi de voir

merci pour l'information : on est 10^20 et non à 10^12

[pm42]

que fait Terence Tao pour démonter ?
je vous dis ce qu'il va faire à l'avance,

A ce niveau de Dunning-Kruger, cela mériterait carrément un autre nom.

[amineyasmine]

A ce niveau de Dunning-Kruger, cela mériterait carrément un autre nom.

Dunning-Kruger
est une vrai théorie, qui ne va pas empêcher le Dunning-Kruger.

moi et et toi nous y somme dedans, ca ne change rien de nous dire taisez-vous et laissez les experts parler.

[amineyasmine]

Dunning-Kruger
est une vrai théorie, qui ne va pas empêcher le Dunning-Kruger.

moi et et toi nous y somme dedans, ca ne change rien de nous dire taisez-vous et laissez les experts parler.

tu a ouvert un sujet que je trouve vrai mais qui ne fonctionne pas
Dunning-Kruger

prenant Donald Trump, est ce qu'il est expert en politique ?
vous allez dire non, mais il devenu président des USA il est donc plus meilleur que tous les experts, en politique, du monde.

c'est un sujet compliqué que tu ouvre

[Liet Kynes]

En fait, on a vérifié encore plus loin, jusqu'à 2,95×10²⁰.
Mais on fait des progrès théoriques et récemment, Terence Tao a montré des choses intéressantes.

Ceci dit, que ce qui se fait ici ne serve à rien me semble assez évident.

C'est bien l'objet de ce post positionné en science ludique: ce qui se fait ici ne sert à rien mais il faut préciser - dans la recherche de démonstration de la conjecture.-

Le premier objectif est de montrer que le problème peut être compris par un néophyte (je ne parle même pas d'amateur) au travers d'idées diverses à développer avec cohérence: il s'agit juste de tenter d'approcher le sens de la question posée par la conjecture.

Second objectif apprécier au moins le fait que la démarche ouvre sur des notions très simples en prenant progressivement connaissance de ce que peuvent-être les propriétés du cycle hypothétique.

Troisièmement et c'est accessoire, il y a une certaine esthétique aussi dans la démarche qui peut être développée en parallèle.

bref du ludique et tout cela reste un jeu, en l'absence de maitrise du langage formel cela n’aboutis que sur des banalités pour les experts, c'est un juste terrain exploratoire pour les non initiés.

Sinon cela permet aussi de belles figures

syr rs.jpg

[JPL]

S’écharper quand on est dans Science ludique n’est pas très opportun.

[Liet Kynes]

Donc toute les suites (3*n+1, n/2) prennent naissance dans l’infini et se terminent dans 1, sauf la suite contre-exemple qui prend naissance dans l’infini et se termine dans l’infini.
C’est cette suite qu’il faut chercher. Si tu la trouve la conjecture est fausse et si elle ne peut pas exister la conjecture est vrai.

Bonjour,

Il est possible aussi de se dire, de façon un peu capillotractée, que chaque nombre écrit sa propre formule, que chaque nombre a une relation avec ses prédécesseurs et successeurs et que pour ces "suites" il peut être intéressant de chercher se qui les relies.
Par l'exemple que j'ai déjà donné, chaque nombre va générer un nombre d'itérations de 3x+1/2, celles ci se combinent de façon unique jusqu'au cycle trivial et donc il y a des relations, des comparaisons possibles.
J'ai une étape dans l'étude de ces relations assez intéressante pour laquelle le cycle engendré devient le nombre de départ après avoir été, dans l'étape précédente 2 nombres donnant par somme le nombre de départ
syr lin.jpg

En plus sympa du point de vue d'un plus grand nombre de nombres considérés, vison océanique :

syr lin w.jpg

[polo974]

Bonjour
Les graphiques sont incompréhensibles sans la méthode de génération.

Peux-tu mettre en pièced jointes l'algo ou le tableur ( meme réduit à qq suites (qu'on peut trouver dans notre coin)).

[Liet Kynes]

Bonjour
Les graphiques sont incompréhensibles sans la méthode de génération.

Peux-tu mettre en pièced jointes l'algo ou le tableur ( meme réduit à qq suites (qu'on peut trouver dans notre coin)).

Je vais ouvrir dans en maths en essayant de me faire aider par mon gamin (terminale avec 17 de moyenne maths + maths expertes , son père est un guignol à côté ).. les graphes et le tableur sont insuffisants vu la complexité au bout d'un certain stade.

[Liet Kynes]

Bon j'ai montré le truc à mon gamin mais il m'a expliqué que c'est simple apparemment mais que en même temps il y en a pour des heures.. je le laisse à son travail.
J'ai fait un fichier ODS en laissant les formules uniquement dans les cases quadrillées (sinon trop volumineux).
Dans le premier tableau chaque 1 correspond à une itération de la formule *3+1/2 , le second somme de ces itérations pour chaque entier, le troisième somme de ces sommes pour le nème application de l’algorithme (par exemple
le nombre total d'itérations de *3+1/2 au rang 16 pour les nombre de 1 à 15 est 110: mis en surbrillance jaune)
Ensuite les écarts obtenus entre les termes d'une même suite et le dernier tableau équipé de son graphe idem avec écarts cumulés entre trois termes.
J'espère que le fichier sera assez explicite, l'idée suivante et de se représenter ce que cela donne en terme de formule globale et d'en déduire les règles d'équivalences..

[polo974]

Merci,
Je vais regarder dès que j'aurais mon pc, car sur mon phone, c'est pas possible (pour mes yeux ) ...

[Liet Kynes]

Merci,
Je vais regarder dès que j'aurais mon pc, car sur mon phone, c'est pas possible (pour mes yeux ) ...

Attention à ne pas chopper une "mathematical desease " (cf https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01593181/document )

Le plus important est de garder à l'esprit que les nombres obtenus sont sur une valeur de vérité (formule 3x+1/2 itérée ou non) qui est liée aux propriétés du nombre de départ.

[Liet Kynes]

Merci,
Je vais regarder dès que j'aurais mon pc, car sur mon phone, c'est pas possible (pour mes yeux ) ...

Hello, tu as compris les tableaux?

Je trouve que c'est intéressant, j'ai trouvé une relation entre les itérations générées à partir d'un nombre donné et celles de 1 à ce nombre, ce qui me semble une belle éclaircie.. je développe demain.

Une petite vue de la météo du jour (pour n=27)

27.jpg

[polo974]

compris, la façon de les construire, oui, la suite, à creuser...

(sinon, ta source de données du graphique, il faut mettre $Feuille2.$D$158:$CN$192 (D au lieu de E) si tu utilises la première colonne comme étiquette.)

[polo974]

sinon, j'ai viré les nombres pairs (qui ne sont que le double d'un nombre impair déjà vu ).

[Liet Kynes]

Bon mon idée d'hier était bonne: il a bien plus aujourd'hui avec quelques éclaircies

C'est le tableau violet? pour les nombres paires que tu as viré ?

Bon au final on peut en tirer une petite idée de ce qui se passerait si par exemple un cycle non trivial apparaissait par rapport à ces sommes correspondantes au premier terme (il suffit de répéter en début d'apparition du cycle trivial plusieurs fois un 0 ou un 1).

Il est tout à fait possible de rajouter un tableau supplémentaire pour que amineyasmine ne voit plus ces suites comme "infinie" et les faire se finir toutes par zéro.. c'est assez simple de se dire que cette fois il va falloir soustraire de façon habile les termes obtenus dans le dernier tableau que j'ai envoyé.
c'est assez amusant d'autant que cela m'arrange dans mon idée de réduire les suites (celles faites de nombres) pour m'affranchir de mes problèmes graphiques.

Je ne remet pas les formules des premiers tableaux et je vire le violet aussi (limitation du poids des fichiers), je rajoute par contre le même traitement effectué cette fois sur les suites classiques: le fait que cela se termine par un zéro permet d'obtenir une somme finie pour chaque suite et de regarder l'évolution de celle ci (petits graphes dont la construction est facile à identifier plage= $Feuille2.$FP$155:$FP$188).

Le problème du jour est que je n'ai pas tiré de graphique susceptibles d'être sympa visuellement dans cette voie.

[Mwendanga]

pas à ma connaissance