Sortir sans trop décider.

[Liet Kynes]

Bonjour, je propose une petite énigme qui m'est passer par la tête, je n'ai pas encore calculé la solution donc je chercherai comme tout le monde si toutefois l'enigme interesse.

Une station spatiale est composée de 27 sphères disposées en cube: 9 sphères alignées sur 3 étages reliées entre elles par des tunnels.
Son occupant doit l'évacuer mais il doit d'abord passer par chaque sphère pour verrouiller l'accès de la précédente. Il part de la sphère centrale qui comporte donc 6 portes, quand il arrive dans une des 6 sphères adjacente il appuie sur une commande qui déclenche la fermeture des 6 portes de la sphère centrale (donc précédente). Il doit impérativement passer par chaque sphère.

En regardant la station depuis la terre elle présente toujours la même face, les sphères sont numérotées en fonction de cette vue:
l'étage du bas de 1 à 9 avec 1 à droite puis ,2 et 3, 4,5,6 au second plan et 7,8,9 au troisième. L'étage central 10 à droite puis ,11 puis 12, 13,14,15 au second plan et 16,17,18 au troisième plan: la sphère centrale est donc la n° 14. L'étage du haut : 19à droite puis ,20 et 21 puis 22,23,24 au second plan et 25,26,27 au troisième plan.

L'évacuation doît se faire le plus vite possible mais c'est le chargé de la machine à café (CMC) de la NASO (national agency of specials objects) qui donne l'instruction suivante à l'astronaute en pensant trouver le moyen le plus rapide: vous devez impérativement sortir en ayant fait le moins de choix possibles.

Au départ c'est un chemin forcé: en partant du centre il y a 6 choix qui aboutissent vers 4 choix puis 2 puis 1 mais ensuite ?

Le directeur de la NASO demande ensuite aux astronautes des stations composées de 64 sphères et 125 sphères de faire la même opération.. peut-on vraiment les aider?


NB: Pour s'aider le stagiaire tutoré par le CMC a eu la bonté de faire un petit croquis qui localise les n° des sphères:

Sph 2.jpg
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[Liet Kynes]

NB2: il va de soi qu'une fois une sphère verrouillée, on ne peut plus y pénétrer et qu'elle n'est donc plus un choix comptabilisable.

[Liet Kynes]

NB3: les sphères ne sont pas en reliées entre elles en diagonale (pas de tunnel entre la sphère 14 et la 27 par exemple), le CMS aurait dû se rendre compte qu'une station de 64 sphères n'a pas de sphère centrale .

Correctif: "Au départ c'est un chemin forcé: en partant du centre il y a 6 choix qui aboutissent vers 4 choix puis 3 mais ensuite ?"

[mach3]

Je n'ai pas l'impression qu'il soit possible de passer par toutes les sphères une seule fois en partant de la sphère centrale... En partant d'un sommet j'arrive toujours à sortir par un autre sommet en ayant tout parcouru, mais en partant du centre, je n'ai pas encore trouvé, il reste toujours une sphère par laquelle je ne suis pas passé et où je ne peux plus aller...

EDIT : d'ailleurs partir du centre d'une face ne pose pas de problème non plus, mais partir du centre du arrête, je n'y arrive pas

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[Liet Kynes]

Je n'ai pas l'impression qu'il soit possible de passer par toutes les sphères une seule fois en partant de la sphère centrale... En partant d'un sommet j'arrive toujours à sortir par un autre sommet en ayant tout parcouru, mais en partant du centre, je n'ai pas encore trouvé, il reste toujours une sphère par laquelle je ne suis pas passé et où je ne peux plus aller...

EDIT : d'ailleurs partir du centre d'une face ne pose pas de problème non plus, mais partir du centre du arrête, je n'y arrive pas

m@ch3

Oui à priori ce n'est pas possible, il faut changer le point de départ dans ce cas et dire que l'astronaute n'est pas dans la station au débaut de l'opération: il choisit donc son point d'entrée parmi 26 choix au premier mouvement (sachant que les centres d'arrêtes sont des impasses reste 14 choix). A voir si dans le cube de 125 c'est impossible aussi de partir du centre?

[Liet Kynes]

J'en suis à 55 choix , je compte depuis la sphère d'entrée et ne compte pas les choix de sortie.

[Médiat]

Voir un cas un peu plus compliqué : Une hyper souris qui mange un hyper fromage (futura-sciences.com)

[Liet Kynes]

Voir un cas un peu plus compliqué : Une hyper souris qui mange un hyper fromage (futura-sciences.com)

Votre dimension du "un peu" m'envoie déjà en orbite avec mon astronaute..
Sur mon problème j'en suis à tenter de comprendre comment on passe de la 3d à la 2d sur une simple feuille de papier

[Médiat]

C'est bien là (entre autres) que se situe la beauté des mathématiques : quand on a vraiment compris un problème (sans représentation visuelle) la dimension 17 n'est pas plus compliquée (n'est pas différente) que la dimension 3 ; il y a une anecdote célèbre (dont j'ai oublié tous les détails, mais un lecteur pourra peut-être nous en dire plus) :

On demande à un mathématicien célèbre comment il fait pour résoudre un problème en dimension 11, il répond "c'est facile, je réfléchis en dimension n et à la fin je pose n = 11"

[Liet Kynes]

En fait si je considère les 27 sphères elles sont les sommets de 8 cubes (agencés pour former également un cube). Le problème est de passer une et une seule fois par chaque sommet. Avec 125 sommets ->64 cubes. J'imagine que c'est par là qu'il faut chercher.

27=3^3 -> 2^3 = 8 cubes contenus dans un cube
125=5^3 -> 2^5 = un cube de 64 cubes ou 8 cubes de 8 cubes
343=7^3 ->(2^3)*(3^3) cubes= un cube de 216 ou 8 cubes de 27 cubes ou 27 cubes de 8 cubes = je retrouve des cubes de 27 sommets ce qui me parait utile pour généraliser en trouvant la relation entre le nombre de sommets n et le nombre de cubes.

De là trouver si les propriétés de "traçage" (le choix du sommet extérieur de départ permettant un tracé en passant par tous les sommets une seule fois) sont fonction de la relation nombre de sommets-nombre de cubes ?

Pour la partie qui compte le nombre de choix (possibilités d'aller vers d'autres sommets depuis un sommet) ce serait le même genre de démarche ?

Pas si simple quand même de réfléchir en dimension n

[albanxiii]

On demande à un mathématicien célèbre comment il fait pour résoudre un problème en dimension 11, il répond "c'est facile, je réfléchis en dimension n et à la fin je pose n = 11"

C'est surement déclinable de plusieurs façons, mais j'ai lu cette anecdote à propos d'une discussion entre un ingénieur, un physicien et un mathématicien qui assistent à une conférence sur la théorie des cordes. L'ingénieur est largué, le physicien dit qu'il visualise bien en dimension 3 mais qu'il a du mal au delà, et alors le mathématicien lui donne l'astuce que vous avez indiquée.

[Médiat]

Dans ma mémoire c'était une histoire vraie (même si le mathématicien en question était ironique), mais, bien sûr, je peux me tromper.

[polo974]

Bonjour, ...

NB: Pour s'aider le stagiaire tutoré par le CMC a eu la bonté de faire un petit croquis qui localise les n° des sphères:

Le stagiaire s'est planté sur la 22...

[Liet Kynes]

Le stagiaire s'est planté sur la 22...

Comme quoi il faut toujours être dérrière leur dos..

Pour un cube formé de n cubes le nombre s de sommets est (n+1)^3 qui est une extension vers le cube du calcul du nombres d'intersections dans un quadrillage formant un carré.

Le nombre de façon de relier les s sommets en un seul trait est plus compliqué à trouver, le fait de relier deux sommets revient à éliminer les arrètes adajacentes du sommet de départ, 2 ou 3 sur le plan en deux dimensions: déjà à ce niveau il faut pouvoir formaliser les combinaisons en fonction du nombre d'intersections et ouvre des questions sous jacentes comme par exemple le fait de connaître le nombres de points qui ne permettent pas de réaliser l'opération. Deux points voisins peuvent-ils être départ et arrivée et cela en fonction de la dimension du quadrillage paire ou impaire et de la position des deux points sur le quadrillage : à priori cela ne semble pas possible mais encore faut-il savoir l'expliquer : c'est la difficulté qui doit devenir évidence, sur le cube à 27 sommets donc quadrillage 3*3 , c'est facile à constater mais perso je ne suis pas capable de transformer cela en langage "non stagiaire"

Je me rend compte que l'enigme demande quand même d'avoir en tête toutes ces connaissances: l'astronaute doît en plus choisir son chemin de façon à ce que la succession des sommets soit celle qui lui permette d'avoir rencontré le moins de choix possibles à chaque sommet.

[Liet Kynes]

C'est pas le tout de discutailler de la méthode, mais le principe est de trouver des solutions (comme c'est en science ludique, on peut le faire sans pour autant tout démontrer) :

Pour la station de 27 sphères je trouve 48 choix et pour celle de 125 sphères 296 choix.. qui fait mieux ?

Méthode utilisée: je pars du centre d'une face externe P1 je tourne en spiral autour du centre et je passe au second plan pour reprendre le même cheminement ainsi de suite pour finir en Pn, n étant le nombre de sommets sur une arête (donc égal au nombre de plans):

Représentation, la case d'entré sur un plan est en rouge, celle de sortie en vert et les nombres correspondent aux choix offerts à l'astronaute au moment où il souhaite changer de sphère.

Pour 27 sphères

c27.jpg

Pour 125:

c125.jpg

[Liet Kynes]

Bon c'est un gros flop cette énigme.. Autant lui trouver une utilité et en faire un test psychotechnique

Un truc du genre "Trouver l'intrus" ou en enlevant un des tracés "Trouver le 9ème" :

9.jpg

[Liet Kynes]

Bonjour,

J'ai cherché un peu le concept sur internet et il semble que cette enigme puisse être comparée à la recherche de valeurs pour des chemins auto-évitants sur différents réseaux cubiques (suite des nombres d'orientations de chaque étape du chemin). La caractéristique des chemins étant de passer par l'ensemble des points du réseau:chemin hamiltonien.
Bref cela me semble peut-être un peu compliqué pour en faire une enigme véritablement ludique.