Théorème de Thalès

[Merlin95]

Bonsoir,

Je suis tombé sur cet article qui me semble intéressant :

https://mathix.org/linux/archives/16503

J'ai voulu le mettre dans cette section, parceque c'est assez "à contre sens".

Quel accueil recevra-t-il chez vous ?
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[Verdurin]

Je dirais que les histoires de triangles homothétiques ont remplacé le théorème de Thalès.

Si on prend on point de vue « moderne » ce théorème dit que la projection d'une droite sur une autre parallèlement à une troisième qui n'est parallèle à aucune des deux autres est une bijection affine.

Si on prend le point de vue « ante-moderne », celui que j'ai appris en quatrième est :

Soient (d) et (d') deux droites. Soient A, B et C trois points distincts de (d), A',B' et C' trois points distincts de (d').
Si les droites (AA'), (BB') et (CC') sont parallèles alors


Et la réciproque ne posait pas de problème.

[Deedee81]

Salut,

C'est vrai ce qu'il dit sur l'enseignement de ce théorème ?
(je pose la question car en ce qui me concerne j'aurais bien du mal à m'en souvenir (*))

(*) je me rappelle par contre un "théorème" en topologie sur la connexité par arc (**) où le prof donne une démonstration, à la fin dit : "avez-vous compris" (réponse oui générale dans la salle) et là le prof :
"et bien non, ce théorème est faux et sa démonstration aussi. Essayez maintenant de trouver pourquoi"
on est resté comme des ronds de flans

(**) c'était "tout espace topologique connexe est connexe par arc", l'erreur jouait sur une subtilité liée aux conditions supplémentaires pouvant rendre le théorème vrai. C'était vicieux.

Mais il y a évidemment une différence entre l'approche pédagogique (à très petite dose) de "non, c'est faux, trouvez l'erreur" et une erreur "institutionnalisée" !!!!
Evidemment si c'est vrai, tous les profs ne font sans doute pas l'erreur et heureusement (ce qui peut expliquer que Verdurin n'ait pas rencontré ce soucis par exemple)

EDIT et ne soyons pas trop dur. Le programme est assez vaste et complexe. L'absence d'erreur serait miraculeuse.

EDITbis : je lance un défi : trouver un théorème (faux) et une démonstration (pas trop longue quand même, faut l'écrire dans UN message, et pas de lien sur un truc de dix pages) où il est vraiment difficile de trouver où est l'erreur. Donc évidemment exclut les habituels 1=2, tous les entiers sont pairs, et autres séries divergentes "convergeant" vers -1/12. Faut du plus subtil que ça. Ca peut être amusant
Le gagnant aura un bonbon (je ne garantit pas une erreur dans la démonstration de cette affirmation )

[Deedee81]

(Merlin si tu préfères qu'on scinde, signale-le)

Bon je me lance sur l'idée que j'ai donné :

E est connexe
Donc E n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints.
Soit deux points différents quelconques p1 et p2. Je peux trouver deux ouverts O1 et O2 les contenant respectivement.
S'ils sont non disjoints je peux choisiur un chemin continu dans ces ouverts allant de p1 à p2.
Sinon leur réunion ne peut être E.
Je choisi donc deux autres points p3, p4 avec des ouverts et non disjoints des deux premiers ouverts.
Je construit un chemin continu de p1 à p3 et de p4 à p2.
Je continue la procédure et ainsi de proche en proche je construit un chemin entre p1 et p2.
Et donc E est connexe par arc.

C'est pas la gaffe la plus subtile auquel on peut penser mais c'est déjà ça

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

je crois que ta démonstration erronée correspond en fait au théorème (faux) selon lequel tout espace topologique localement connexe par arcs est en fait connexe par arcs (ce qui est quand-même plus plausible).

[Deedee81]

je crois que ta démonstration erronée correspond en fait au théorème (faux) selon lequel tout espace topologique localement connexe par arcs est en fait connexe par arcs (ce qui est quand-même plus plausible).

C'est en effet une façon de pointer l'erreur.

Bon, ni Thalès ni mon défi ne semble soulever l'enthousiasme des foules (mais merci à MissJenny). J'ai fait quelques recherches de fausses démonstrations sur le net mais la plupart sont bêbêtes. J'ai trouvé ça :
https://www.pourlascience.fr/sr/logi...ques-20095.php
(je l'avais oublié cet article que j'ai lu et pourtant il n'est pas si vieux, bon ça arrive )

On trouve pas contre pas mal de fausses démonstration de Fermat, Godbach, ... sur le net. La plupart sont faciles à démonter mais.... pas toujours !!!!!
(d'ailleurs même Wiles avait fait une erreur constatée par un collègue lors de sa présentation, ils ont travaillé durement à deux pour la corriger)
Un jour on m'avait soumit une démonstration de Glodbach, j'ai trouvé l'erreur : ce ne fut pas facile à voir mais l'auteur présuposait le théorme vrai sans s'en rendre compte (*) et de là à en déduire que le théorème est vrai c'esty presque facile.
(*) le début était noyé dans des tas de tableaux et d'exemples rendant la chose fort peu claire.
Une autre version qui m'avait été soumise je n'ai pu que répondre : "je ne sais pas" car ça faisait appel à des théorèmes peu connus et trop pointus pour moi.

[MissJenny]

il y a la démonstration erronée par Kempe du théorème des quatre couleurs, où l'erreur n'est pas facile à débusquer.

[Deedee81]

il y a la démonstration erronée par Kempe du théorème des quatre couleurs, où l'erreur n'est pas facile à débusquer.

Ah tiens je ne connaissais pas. Ca a donné le théorème des cinq couleurs (avant celui des 4 évidemment). Sympa.

Merci,

[polo974]

Heu, sa réciproque de Thalès "vraie" est fausse sauf erreur:
Si les 2 droites séquentes sont perpendiculaires, il y a aussi une solution avec 2 autre droites perpendiculaires au lieu de parallèles...

[Verdurin]

À polo974.
Précise un peu s'il te plaît.

[polo974]

Dans le lien:

Je propose :

« Soit deux droites sécantes coupées par deux autres droites,si ces dernières sont parallèles alors les deux triangles ainsi formés sont homothétiques. »

On ne perd rien sur le théorème direct, on a juste une précision sur la disposition des triangles l’un par rapport à l’autre.

Dans ce cas , la réciproque est vraie et les conditions sont tout à fait valables.

Si les 2 droites sécantes sont perpendiculaires, 2 aures droites perpendiculaires (au lieu de //) permettent de créer des triangles homothétiques. Donc la réciproque n'est pas toujours vraie.

[Verdurin]

J'ai l'impression que tu considères un triangle rectangle et la hauteur issue de l'angle droit.
On obtient bien deux triangles semblables, mais ils ne sont pas homothétiques.

Si deux triangles sont homothétiques les côtés correspondants sont parallèles.

[polo974]

Oui, trou de mémoire dans les définitions, j'incluais la rotation dans l'homothécie...
Bref, heureusement, j'ai mis "sauf erreur"...

[Médiat]

Ma démonstration fausse préférée, publiée en 1924-25 par la "Saxonian Academy of Sciences", par Johannes Kirmse et connue depuis comme "L’Erreur de Kirmse".

[Merlin95]

Je ne me suis pas désintéressé de la discussion, mais j'ai du faire des recherches pour retrouver des exemples que voici :

Calculons la valeur de la tour suivante :


Posons :


On remarque que

Et que 4 est solution puisque
Or dans le pattern présenté (ou pas) ce n'est pas la bonne solution (qu'on peut démontrer être en fait 2).

Considérons un problème un peu plus "tricky".

Calculons :

Posons :

On a alors :

x<>0 donc




Donc 2 solutions "possibles" : x=1 et x=2

Soit x=2 alors comme on a

Donc 2 semble être la solution, mais voyons pour x=1
Soit x=1 alors comme on a

Ça marche aussi alors qu'elle est la solution ? x=1 ? ou x=2 ? ou les deux ?

[Merlin95]

@Deedee on séparera peut-être la discussion, on va dire, si tout n'a pas été déjà dit sur l'article que j'ai posté, ce qui me semble être le cas (pas tout dit) mais je peux me tromper.

[Merlin95]

Non tout a été dit en fait. C'est bon

[Deedee81]

Salut,

De toute façon mon idée ne soulève pas l'enthousiasme délirant des foules de groupies

Quoi que l'erreur de Kirmse, sympa, je ne connaissais pas.

[Merlin95]

Ben j'ai donné des exemples de fausses démos sans dire où étaient les erreurs. Attendons de voir si ça fait réagir.

[Médiat]

Erreurs trop classiques pour susciter l'enthousiasme sans doute.


Deedee : ce qui est terrible c'est que Kirmse n'est connu, aujourd'hui, que pour cette erreur (damné jusqu'à la 17ième génération)

[Merlin95]

Ça me semble pas si classique comme a demandé Deedee, c'est un peu moins connu que 1=0. C'est certain que c'est pas aussi sophistiqué que Kirmse dont j'ai pas les connaissances et concepts en tête pour comprendre.

[Merlin95]

D'ailleurs sur le net (c'est en gros mon "niveau") on trouve peu d'explications il me semble à ce sujet.

[Médiat]

Manipuler un objet comme si c'était un nombre réel, sans l'avoir clairement défini, sans avoir démontrer qu'il existe, sans avoir démontrer que c'est un réel, puis confondre implication et équivalence sont effectivement des erreurs classiques (qu'elles soient volontaires ou non).

Une recherche google sur "entiers de Cayley" : 150000 réponses et "cayley integers" 842000 réponses.

[Merlin95]

Manipuler un objet comme si c'était un nombre réel, sans l'avoir clairement défini, sans avoir démontrer qu'il existe, sans avoir démontrer que c'est un réel,

Oui mais c'est un exemple particulier de cette erreur. On connaît plus habituellement l'erreur S=1-1+1-1+1... mais moins cette tour, c'est ce qui me semblait intéressant.

puis confondre implication et équivalence sont effectivement des erreurs classiques (qu'elles soient volontaires ou non).

Oui pour pallier j'ai rencontré 2 démarches : soit aprés avoir trouver des solutions possibles, retourner à l'équation initiale afin de "checker" la solution est effectivement bonne.

Mais comme vous le dîtes quand on ne définit pas correctement les choses, on ne sait même plus trop ce qu'il faut checker, puisqu'on a perdu le sens de ce qu'on faisait.

Si on commence à définir les choses proprement (ce qu'il faut toujours faire comme vous le dîtes), on peut rajouter les conditions à respecter lors des manipulations algébriques pour continuer à travailler par équivalence. Ce qui me semble toujours plus propre.

Pour illustrer ceci considérons l'équation :
x+sqrt(x-2)=2 sur IR

Le domaine de validité pour x est "au plus grand" x>=2 à cause de la racine carrée de (x-2).

Donc je déroule :
sqrt(x-2)=(2-x) => (x-2)=(2-x)²=4-4x+x²
d'où x²-5x+6=0
(x-3)(x-2)=0
Donc
x=3 ou x=2 on a bien 2 solutions >=2
En revenant à l'équation de départ on écarte alors 3 qui ne convient pas et on retient 2 donc la seule solution est x=2.

On est passé à un moment à une implication.

L'autre solution est de continuer à raisonner par équivalence afin d'éviter de faire un "check" final :

sqrt(x-2)=(2-x) <=> (x-2)=(2-x)²et (2-x)>=0, x<=2 (car une racine carrée est toujours positive)

d'où ça équivaut à x²-5x+6=0 et x<=2
(x-3)(x-2)=0 et x<=2
équivaut à
x=2 (car non (3<=2))

L'intérêt spécifique de ces exemples présentés plus haut est de montrer la limite du raisonnement par implication, en mettant en exergue que ce n'est pas une garantie absolue de traiter correctement un problème, ce que vous dîtes peu ou proue dans votre message, mais que je développe un peu plus.

[Merlin95]

Dit autrement un raisonnement nnement par implication ne signifie rien si on n'a pas défini correctement les choses au départ, mais j'enfonce des portes ouvertes.