Bonjour à tous !
Je me suis lancé dans un TIPE qui ambitionne de modéliser de manière simplifiée la croissance d'un cristal de neige. Pour cela le point clé parmi les facteurs physiques semble être le phénomène de diffusion de la matière. Concrètement, il aboutit dans ce cas à l'équation de Laplace qui gouverne la répartition de la saturation en eau dans l'espace autour du cristal (http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Laplace).
Tenter une résolution numérique me paraît intéressant, mais j'ai un peu peur que les particularités du problème ne rendent cela très difficile en pratique. Je vais tenter de vous donner les éléments principaux :
- Je me cantonne à une modélisation en 2D (un cristal neige étant assez plat). Pour cela, je considère que le cristal a au départ une forme hexagonale dans le plan.
-Le but est d'expliquer, de manière approchée comment des dendrites (les branches des cristaux) se forment
-Pour cela, la bibliographie sur le sujet s'intéresse à la répartition de la saturation en eau autour du cristal, gouvernée par l'équation de Laplace
-J'en arrive au problème majeur : les conditions aux limites . J'ai deux CI : l'une sur la surface du cristal hexagonal et l'autre à l'infini. Ces deux conditions font que le domaine de résolution est loin d'avoir une gentille tête de rectangle, comme c'est souvent le cas dans les bouquins de résolution numérique que j'ai feuilletés.
Du coup, la méthode des éléments finis, qui est souvent suggérée me paraît impossible à mettre en oeuvre : d'après ce que j'ai vu, le principe c'est de "quadriller" l'espace de résolution. Or, je me dis naïvement que ça risque d'être difficile de quadriller un espace infini !! ==> c'est la merde
Bref, pourriez-vous me dire si vous connaissez une méthode de résolution qui vous paraît adaptée au problème ? Ou bien si les éléments finis peuvent marcher malgré tout ?
Si je n'ai pas été assez précis, n'hésitez pas à me demander ! Merci d'avance !
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