Merci. Ca fait très plaisir d'être lu sérieusement par des intervenants qui comprennent ce que l'on dit.Envoyé par spi100
Si l'on adopte d'abord un point de vue physique, tu as tout à fait raison : l'échelle 0 est bien la limite infinitésimale de la théorie. C'est également vrai d'un point de vue mathématique, puisque nous considérons les notions de voisinage et d'ouverts autour d'un point.Envoyé par spi100
Cependant (comme nous l'indiquons dans nos thèses) revenons à la définition d'un ouvert. Si l'on considère un espace métrique E, une partie A de l'espace E est un ouvert de E si tout point de A est le centre d'une boule ouverte contenue dans A. C'est pourquoi les ouverts de R sont les réunions dénombrables d'intervalles ouverts deux à deux disjoints. Dans notre modèle, lorsque nous spécifions beta = 0 (et uniquement dans ces cas là) nous considérons le centre de la boule ouverte contenu dans la partie A de E (dans notre modèle, les instantons ont la topologie d'une boule B4 qu'on peut munir d'un bord : ici la sphère S3).
A ce propos, signalons ici un aspect un peu plus "physique" de la discussion concernant le point muni de la métrique de dimension 4. En 1995, dans un remarquable article intitulé "Small Instantons in String Theory" (hepth 9511030) Edward Witten (Médaille Fields) introduit la notion d'instanton de taille 0. Comme on le sait, les instantons sont munis d'une métrique définie positive (++++ dans le cas des instantons de dimensions 4). Or, comme le souligne Witten, cette métrique continue d'être définie lorsque l'instanton a une taille nulle. Dans notre modèle, nous considérons, pour décrire la singularité, un instanton gravitationnel singulier de taille 0 (mais de dimension 4). Cette configuration euclidienne, lorsque son rayon est nul, continue cependant d'être définie par ce qu'on appelle (en théorie instantons) sa "charge topologique" qui s'écrit (notons que l'intégration se fait sur l'espace à 4 dimensions) :
Q = theta,intégrale d 4x, trace R mu nu R mu nu dual (pour les instantons gravitationnels. Pour toutes ces notations, consulter l'excellent livre de A. Zee "Quantum Field Theory", Princeton University Press).
Ce qui est fascinant dans cette situation, c'est que lorsque la constante de couplage de la théorie tend vers 0 (échelle 0) la composante perturbative de l'instanton est supprimée exponentiellement pour toute valeur non nulle du champs de jauge gravitationnel. Cependant, le terme topologique est toujours conservé. Ce qui veut dire que "sur un point" (dans notre modèle, la singularité initiale) la théorie, vide des contributions physiques du type "effet tunnel" de l'instanton, ne contient plus qu'une contribution de type topologique, indépendante du champs de jauge gravitationnel. Nous avons montré que cette contribution, par construction non perturbative, induite par la charge topologique de l'instanton de taille 0 a pour effet unique (non physique) de fixer la topologie riemannienne de la configuration ( c'est à dire la signature euclidienne ++++) du champs de jauge au voisinage de l'échelle 0 et au point 0. On notera donc que l'action de l'instanton n'admet plus à beta = 0 de composante dynamique mais, uniquement, une composante topologique qui conserve la propriété métrique dont elle est munie (en particulier la signature ++++).
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