Collatz / Syracuse

[Deedee81]

Salut,

Il y aura probablement une actu, mais en attendant : grosse avancée de Terence Tao sur la question (il est incroyable lui, il va finir par nous résoudre toutes les conjectures ).

Voir par exemple :
https://www.quantamagazine.org/mathe...ture-20191211/
https://arxiv.org/abs/1909.03562
(sacrément costaud quand on voit l'article !!!!)

Le résultat est le suivant :
Soit N un nombre entier et la suite S(N) des nombres obtenus par l'application de la fonction de Collatz à partir de N. Alors pour presque tous les entiers (au sens mathématique habituel de cette expression) S(N) passe au moins une fois par une valeur inférieure à N.

C'est un résultat extrêmement fort. Mais il n'est pas sûr que cela conduise rapidement à la démonstration de la conjecture ni que la démonstration finale soit du même genre.
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[obi76]

Alors pour presque tous les entiers (au sens mathématique habituel de cette expression) S(N) passe au moins une fois par une valeur inférieure à N.

C'est bien le "presque" qui fait tout... Parce qu'une fois que on a montré que ça passe forcément par une valeur inférieure, alors par récursion on en déduit que ça finit forcément par 1...

[Deedee81]

C'est bien le "presque" qui fait tout...

En effet. J'avais lu cette actu dans le dernier PLS (j'ai préféré donner les liens précédents car PLS est payant). Et ils disaient la même chose.

Précision sur ce presque.
Soit une propriété P(N) Et S(N) le nombre d'entier inférieur ou égal à N vérifiant cette propriété. Si S(N)/N tend vers 1 quand N tend vers l'infini, alors P(N) est vérifiée pour "presque tous les entiers". Mais hélas cela ne veut pas dire pour "tous les entiers" et ça ne veut même pas dire "pour tous les entiers sauf un nombre fini d'entre-eux". Mais ça reste un résultat très fort.

Tao a le chic pour ce genre d'avancée (il avait fait le coup aussi pour les premiers jumeaux)

[obi76]

Vu le nombre de gens sérieux qui se penchent / sont penchés sur ce problème, chaque avancée est importante, il faut saluer l'exploit oui

[A voir en vidéo sur Futura]

[JPL]

Étant ignare en math pouvez-vous m’expliquer simplement comment est prouvé le fait que c’est valable pour presque tous les entiers, parce que je ne connais pas le sens mathématique habituel de cette expression ?

[invite9dc7b526]

en principe "presque tous les entiers" signifie : tous les entiers sauf (au plus) un nombre fini.

[Deedee81]

Salut,

en principe "presque tous les entiers" signifie : tous les entiers sauf (au plus) un nombre fini.

Non, non, pas ici, je l'ai expliqué plus haut.

Je reformule. Soit une propriété, prenons par exemple la propriété "être un nombre composé (non premier)".
Soit N et C(N) le nombre d'entiers inférieurs ou égaux à N et qui ont cette propriétés (être composé).
Si C(N)/N tend vers zéro lorsque N tend vers l'infini alors la propriété est vraie pour "presque tous les entiers".
Donc "être un nombre composé" est vrai pour "presque tous les entiers" (car les premiers se raréfient).
C'est le même sens que "presque tous les réels sont irrationnels" (les rationnels ne sont pas en nombre fini, juste dénombrable).

Dire "faux seulement pour un nombre fini" est une propriété encore plus forte. C'est déjà bien ce que Tao a fait (et même formidable). Mais si on prouvait que Collatz est correct sauf "peut-être pour un nombre fini d'entiers", là ce serait vraiment énorme. Resterait plus qu'à trouver une borne supérieur (grâce à une démonstration Yakatao (*)) et tester sur ordi (en fait ça on l'a déjà fait, jusqu'à 10^20 environ, impressionnant !)

(*) sans rire, c'est pas toujours si difficile en fait dès qu'on sait qu'on a un nombre fini, le seul truc c'est que souvent une approche grossière donne une borne supérieure faramineuse. Et l'améliorer là peut être vraiment ardu.

[invite9dc7b526]

Le résultat est le suivant :
Soit N un nombre entier et la suite S(N) des nombres obtenus par l'application de la fonction de Collatz à partir de N. Alors pour presque tous les entiers (au sens mathématique habituel de cette expression) S(N) passe au moins une fois par une valeur inférieure à N.

remarque que ce résultat n'implique pas que la suite des itérés arrive à 1 pour "presque tous le entiers". Si on part d'un nombre N qui fait partie de cet ensemble, la suite passe donc par un nombre N' plus petit. On peut être tenté de dire que "presque tous" les N' conduisent à un N'' plus petit, etc. Mais en fait il se pourrait que beaucoup de nombres N conduisent à un même N' à partir duquel on ne peut plus descendre (enfin qui n'est pas dans l'ensemble de densité asymptotique 1 exhibé par Tao)

[obi76]

remarque que ce résultat n'implique pas que la suite des itérés arrive à 1 pour "presque tous le entiers". Si on part d'un nombre N qui fait partie de cet ensemble, la suite passe donc par un nombre N' plus petit. On peut être tenté de dire que "presque tous" les N' conduisent à un N'' plus petit, etc. Mais en fait il se pourrait que beaucoup de nombres N conduisent à un même N' à partir duquel on ne peut plus descendre (enfin qui n'est pas dans l'ensemble de densité asymptotique 1 exhibé par Tao)

D'où ma remarque.

[Deedee81]

Salut,

remarque que ce résultat n'implique pas que la suite des itérés arrive à 1 pour "presque tous le entiers"

Non et c'est dommage car ce serait encore plus fort. Mais bon, reste plus qu'à améliorer

[invite7b7f1ad0]

Bonjour, peut-on rajouter "au moins" dans la phrase ?

"Alors pour au moins presque tous les entiers (au sens mathématique habituel de cette expression) S(N) passe au moins une fois par une valeur inférieure à N."

[pm42]

grosse avancée de Terence Tao sur la question (il est incroyable lui, il va finir par nous résoudre toutes les conjectures ).

Oui, il est très impressionnant même dans le petit monde des médaillés Fields.
Outre son talent naturel incroyable, il a aussi un point fort : il utilise le Net pour organiser des collaborations de mathématiciens de haut niveau autour d'un sujet. Autrefois, cela nécessitait de les mettre au même endroit genre Göttigen ou cela était beaucoup plus lent.

Sur cette conjecture, je ne sais pas s'il a travaillé comme ça. Mais c'est l'anti Perelman : sociable et apparemment équilibré tout en étant au moins aussi bon.

[Deedee81]

Salut,

Bonjour, peut-on rajouter "au moins" dans la phrase ?

Oui, mais c'est implicite de toute façon.

Quand on dit "tous les multiples de quatre sont divisibles par 2", c'est évidemment "au moins" ceux-là.

collaborations

Je trouve même que c'est un exemple qui devrait être suivi dans d'autres disciplines théoriques. C'est extrêmement fructueux. Comme l'ont déjà montré d'autres exemples (par exemple, la collaboration avec des internautes pour chercher les meilleurs repliement de protéines, qui était présenté comme un "jeu". Très vite certains ont obtenus des résultats meilleurs que ceux donnés par les meilleurs outils informatiques.... remarquable. Ca montre que l'intelligence collective humaine surpasse encore la machine ..... pour le moment du moins).

c'est l'anti Perelman

Faudrait pas qu'ils se rencontrent, matière anti matière, boummmmm

[invite7b7f1ad0]

Salut,



Oui, mais c'est implicite de toute façon.

Quand on dit "tous les multiples de quatre sont divisibles par 2", c'est évidemment "au moins" ceux-là.

"Tous les multiples de 4 sont divisibles par deux" est très différents "de presque tout les multiples de 4 sont divisibles par deux": le presque rend d'ailleurs cette assertion fausse, cependant au moins presque tout les multiples de 4 sont divisibles par 2 n'implique pas la négation de tout les multiples de 4 sont divisibles par 2.
Le au moins n'est pas implicite il permet de garder ouvert la conjecture..

[Deedee81]

Salut,

Le au moins n'est pas implicite

Bien sûr que si...... et si on revenait aux maths là ? Parce que la rhétorique littéraire à la Kynes, ça va un temps.

[invite7b7f1ad0]

Salut,



Bien sûr que si...... et si on revenait aux maths là ? Parce que la rhétorique littéraire à la Kynes, ça va un temps.

Ce qui est implicitement de la rhétorique..
Ce que j'ai écris ne me semble pas de la littérature par contre.

[Deedee81]

Ce qui est implicitement de la rhétorique..
Ce que j'ai écris ne me semble pas de la littérature par contre.

C'est pas des maths en tout cas. Le message 14 est aux maths ce qu'un bruit blanc est à la musique.

[Deedee81]

Bon, étant l'auteur de ce fil, je ne vais pas m'offusquer de sa fermeture.

Donc, je ferme, pour éviter d'autres dérives, d'autres bavardages (auxquels on a tous contribué ) et d'autres outrages à la Musca Domestica.

De toute façon, sur le sujet tout a été dit (enfin, pas sur la conjecture, mais sur le résultat de Tao).
On attendra donc une éventuelle actualité Futura ou de nouveaux progrès sur la conjecture.

Merci