Métrique de la sphère de Poincaré

[invité576543]

D'abord, je ne voit pas pourquoi il doit être une relation entre géodésiques et la topologie de la sphère de Poincaré excepté la courbure. Au moins, on devrait être capable d'analiser géodésiques (la géométrie differentiel dans un seul voisinage) sans regarder la topologie de toute la variété, me trompe-je?

Les géodésiques qui m'intéressent sont les géodésiques fermées. Cette notion de fermée dépend de la topologie de toute la variété. (Dans Rn euclidien il n'y en a pas, sur S2 (Sn?) elles sont toutes fermées, sur T2 certaines le sont d'autres pas, etc.)

Qu'est-ce que tu veux dire? Comment sais-tu que les vecteurs tournent?

La suite de la discussion permet de comprendre ce que j'entends par là. Certaines géodésiques fermées de SP se relèvent sur une géodésique fermée sur S3. Celle que j'avais épinglée va du centre de la cellule au centre d'une face.

On muni S3 de la métrique homogène, ainsi que de la connexion de LC, celle de torsion nulle et compatible avec la métrique. Prenons maintenant la ligne de SP dont il est question ci-dessus, et la géodésique correspondante sur S3. Prenons en tout point de cette géodésique une triade continue composée du vecteur tangent à la géodésique et de deux vecteurs perpendiculaires. Et imposons que la triade soit invariante par H, le groupe de 120 éléments. Alors, lors d'un parcours fermé de la géodésique de S3, les deux vecteurs perpendiculaires font 10n+1 tours autour de la tangente par rapport à leur transport parallèle . (Je dis 1 tour en prenant le cas le plus simple, n=1.)

En effet, on peut voir que le passage d'une cellule fait faire n+1/10 tour, par continuité au passage de la face et de par l'invariance par H. Et on vérifie que ça tourne toujours dans le même sens d'où 10n+1 tours.

Réciproquement, si on prend une triade en un point et qu'on la transporte parallèlement le long de la géodésique de S3, ça ne donne pas une triade univoque dans SP: au passage de la face, il y a 10 orientations distinctes des vecteurs perpendiculaires.

La seul faiçon à comparer deux vecteurs dans positions différentes de ta variété que tu as, c'est par la connexion.

Tout à fait. La connexion de référence est celle de S3 sans torsion.

La question de fond est bien de savoir s'il existe une connexion avec torsion qui rende la rotation nulle, c'est à dire qui donnerait un transport parallèle de la triade qui la rendrait périodique sur S3, i.e., invariante par H.

Parce que afin de faire cela, on doit s'imaginer la variété en question enfoncée dans l'espace euclidien

Ce n'est pas vraiment ça, parce que S3 n'est pas Euclidien. Et il ne s'agit pas d'un plongement, c'est l'opération de quotientement de S3 qui permet de remonter à un espace plus grand.

Si par example, tu fais cela dans une courbe de, pas une géodésique, mais une parallèle, tu peux comprendre pourquoi un vecteur perpendiculaire tourne.

Ca ne tourne pas au sens utilisé jusqu'alors: il faut un minimum de 3 dimensions pour faire tourner un vielbein autour de la tangente. Ce qui s'en rapproche le plus est l'inversion dans le cas du plan projectif comme quotient de S2, comme indiqué par homotopie; mais il s'agit d'une isométrie discrète, pas continue comme dans le cas qui m'intéresse.

La torsion sûrement joue un rôle. Tu sais que la conexion peut être défini par des 'frames' (je ne connais pas le mot français) partout.

Triades en 3D, vielbein est utilisé couramment. A la base mon interrogation était l'existence d'une triade partout continue et compatible avec la connexion (dérivée covariante nulle de la triade). Une sous-question plus simple est un vielbein continu sur des lignes particulières. Ca n'a pas l'air possible avec la connexion sans torsion dérivée de la métrique homogène sur S3.

De plus, fais attention au fait que je n'ai pas parlé sur la métrique. N'a rien a faire avec transport parallèle.

Je sais bien. J'aimerais bien comprendre le cas le plus général, mais ici la métrique est nécessaire parce qu'on parle de rotation (une isométrie), de vecteurs perpendiculaires, etc.

Corrige-moi si je me trompe.

C'est moi le novice

Cordialement,
-----

[invitebe47a762]

Uhm merci beaucoup, évidemment, on ne doit pas essayer des réponses sans avoir lit la discussion d'abord . Je n'avait compris que tu avais evoqué des courbes fermées. Mais j'apprends beaucopu avec ton message,
question: Une varieté régulière, connexe, fermée de dimension peut être enfoncée dans [tex]R^{2n+1} n'est-ce pas? c'est ce que j'ai voulu dire.

Merci, une autre fois, en fait, ta topologie est avancé pour moi. Je l'aime mais c'est plûtot un hobby qu'un necessité. Alors je ne peux pas l'y dédier tout le temps que je voudrais.

Ursula

[invite35452583]

Bonsoir,

@homotopie

Merci pour toutes les infos! Je suis loin d'avoir tout intégré. Certains points m'amènent des questions latérales. En voilà une:

Tu dis à un moment qu'un lacet sur SP n'est trivial que s'il se relève en un lacet sur S3.

Question peut-être stupide: SP n'est pas simplement connexe, si? Je pensais justement que les lignes genre centre de face à centre de face étaient des exemples de lacet non triviaux. Du coup je ne sais plus trop à quoi ressemble un lacet non trivial sur SP, ou même s'il y en a!

Cordialement,

Michel

Les lacets que tu évoques sont en effet non homotopiquement triviaux. Et selon le cas il se "relève" (*) en "1/10" de géodésique de S3 donc leurs relèvements ne sont pas des lacets de S3.
Quand je parle de relèvement d'un lacet c'est on a un lacet de SP, càd un chemin c:[0,L]->SP tel que c(0)=c(1) et en plus ici c est géodésique le relèvement (unique si on fixe l'origine) est le chemin c':[0,L]->s3 tel que poc'=c si p est le projeté de S3 sur SP, à remarquer que c' est une géodésique car cette propriété est locale. Comme S3 est simplement connexe alors c est homotopiquement trivial en tant que lacet (**) si et seulement si c' est un lacet de S3 càd c'(1)=c'(0). Dans tous les cas c a un ordre égal à l'élément du sous-groupe d'ordre 120 envoyant c'(0) sur c'(1).
** : il existe une homotopie H:[0,1]x[0,L]->SP, donc continue, tel que H(0,t)=c(t), H(1,t)=c(0), pour tout t et H(x,0)=c(0)=c(1)=H(x,1), cette homotopie quand elle existe peut être rendue plus régulière en la déformamnt homotpiquement car SP est très régulier.
Dans SP on a ceci : tout lacet géodésique sans point double autre que l'origine et l'extrémité est non trivial. En effet, si on relève un tel lacet dans S3 en un chemin dans S3, ce chemin est géodésique dans S3 qui "finit" au 1er point s'identifiant dans la quotient SP à l'origine, or au pire, et c'est le cas général, ce 1er point est le point diamétralement opposé à l'origine du chemin de S3 donc un tel lacet de SP ne se relève jamais en un lacet de S3.

Je ne sais pas si c'est à moi que tu réponds par rapport au sujet de la rotation des triades, je pense avoir donné un cadre plus cohérent, qui recoupe ta manière de voir sans y voir une rotation de la triade mais "de l'espace dans un certain sens", et continue et non au seul passage des faces. Maintenant je te laisse le temps de digérer mon pavé. surtout que ta vison est je recolle des SP pour avoir S3, point de vue courant en géométrie, tandis que moi je préfère travailler sur S3 et quotienter ensuite, point de vue courant du topologue algébriste car S3 est plus simple. Pas toujours évident de passer de l'un à l'autre.

Triades en 3D, vielbein est utilisé couramment. A la base mon interrogation était l'existence d'une triade partout continue et compatible avec la connexion (dérivée covariante nulle de la triade). Une sous-question plus simple est un vielbein continu sur des lignes particulières. Ca n'a pas l'air possible avec la connexion sans torsion dérivée de la métrique homogène sur S3.

J'aime bien cette réexplicitation (surtout la définition de vielbein). A mon humble avis, c'est non seulement impossible avec la connexion sans torsion mais c'est impossible même avec. Je pense que l'obtruction est topologique et je soupçonne que l'existence d'un tel vielbein est : H1(V,Z) doit être un groupe libre.
Vu ce qui a été fait jusqu'ici si, conformément à gillesh38 soupçonne (moi aussi mais ce n'est pas très argumenté sur ce point) du fait que la torsion de l'espace est liée à la partie antisymétrique de la connexion, l'effet de la torsion est nulle sur un lacet alors un tel vielbein continu n'existe pas.
Sinon, il faudrait chercher une torsion de S3 qui fait que le long d'une géodésique on tourne d'un multiple de 60 (ppcm de 4, 6 et 10) tours (0 semble le seul cas réaliste).

[invité576543]

Les lacets que tu évoques sont en effet non homotopiquement triviaux.

OK. J'ai relu le texte de ton message précédent, et j'ai vu où j'avais mal compris!

Dans SP on a ceci : tout lacet géodésique sans point double autre que l'origine et l'extrémité est non trivial. En effet, si on relève un tel lacet dans S3 en un chemin dans S3, ce chemin est géodésique dans S3 qui "finit" au 1er point s'identifiant dans la quotient SP à l'origine, or au pire, et c'est le cas général, ce 1er point est le point diamétralement opposé à l'origine du chemin de S3 donc un tel lacet de SP ne se relève jamais en un lacet de S3.

Vu!

Je ne sais pas si c'est à moi que tu réponds par rapport au sujet de la rotation des triades

Non, c'était à Ursula, mais j'en ai profité pour re-présenter certains points à ma manière.

, je pense avoir donné un cadre plus cohérent, qui recoupe ta manière de voir sans y voir une rotation de la triade mais "de l'espace dans un certain sens", et continue et non au seul passage des faces. Maintenant je te laisse le temps de digérer mon pavé.

C'est effectivement ça le problème: j'ai bien réalisé que tu proposes un cadre différent, mais je ne l'ai pas encore "intégré".

surtout que ta vison est je recolle des SP pour avoir S3, point de vue courant en géométrie, tandis que moi je préfère travailler sur S3 et quotienter ensuite, point de vue courant du topologue algébriste car S3 est plus simple. Pas toujours évident de passer de l'un à l'autre.

J'essaye de faire les deux. Mais quand, il y a quelques semaines, je me demandais ce qu'était la sphère de Poincaré, c'est la description à partir de l'hyperdodéca comme pavage de S3 qui a été le déclic!

A mon humble avis, c'est non seulement impossible avec la connexion sans torsion mais c'est impossible même avec. Je pense que l'obtruction est topologique et je soupçonne que l'existence d'un tel vielbein est : H1(V,Z) doit être un groupe libre.

Juste pour vérifier, tu parles bien d'une triade continue et de dérivée covariante, mais sur une géodésique fermée donnée?

Vu ce qui a été fait jusqu'ici si, conformément à gillesh38 soupçonne (moi aussi mais ce n'est pas très argumenté sur ce point) du fait que la torsion de l'espace est liée à la partie antisymétrique de la connexion, l'effet de la torsion est nulle sur un lacet

Je n'arrive pas à voir pourquoi. Je ne veux pas dire par là que ce n'est pas le cas, mais ça me pose problème. J'ai essayé d'exposer ce problème dans d'autres messages.

Sinon, il faudrait chercher une torsion de S3 qui fait que le long d'une géodésique on tourne d'un multiple de 60 (ppcm de 4, 6 et 10) tours (0 semble le seul cas réaliste).

Là je ne sais plus trop de quoi on parle. Comme tu parles de plusieurs géodésiques, on n'est plus dans le cas d'une géodésique donnée.

Par ailleurs je ne comprends pas le point. Pour les géodésiques que je comprend et que je "vois", celles d'ordre 10, 6 et 4 (centre de cellule à resp. centre de face, sommet et centre d'arête), le cas 1 tour de rotation par géodésique de S3 convient pour toutes à la fois. Le 60 apparaît si on cherche à mettre plus de tours: les solutions sont alors 60n+1.

C'est bien le fait que 1 tour marche dans tous les cas que j'ai détectés qui m'intrigue et m'amène à me demander s'il y a une torsion homogène et isotrope sur S3 qui marche. (Si je comprends bien ce que tu écris, les autres géodésiques sont aussi fermées, et d'ordre 2; que la rotation de 1/2 soit la bonne doit avoir un rapport avec l'appartenance de l'inversion de S3 à H, quelque chose comme ça (est-ce bien le cas? il y a une partie de ton texte en relation avec ça, mais je ne l'ai pas intégré)).

Une question indépendante de SP est d'ailleurs s'il existe pour tout n donné des connexions homogènes et isotropes (= invariante par S3 vu comme groupe agissant sur la variété ?) telles qu'une triade fasse n tours par transport parallèle sur un parcours d'une géodésique quelconque (sans répétition -je ne sais pas trop comment exprimer l'idée qu'on la parcours en entier mais sans passer deux fois par le même point-). n=0 correspond, par définition de "nombre de tours", à la connexion de Lévi-Civita qui sert de référence.

Si elles existent, la question est alors si parmi celles pour n=60k+1 il ne existent qui sont invariantes par H, non?

Cordialement,

[invité576543]

Une question incidente, indépendante de SP.

Je reste troublé par l'usage de "S3" (ou S1 ou même R...). Cela couvre deux notions distinctes à mon sens, les variétés homéomorphes entre elles et dont l'une d'entre elles est l'ensemble des vecteurs de norme 1 de l'espace vectoriel euclidien R⁴; et la structure de S3 en tant que groupe de Lie (comme le sous-groupe multiplicatif des quaternions de module 1).

J'ai l'impression que dès que l'on prend le groupe de Lie on se retrouve avec une métrique canonique, celle dérivée de R⁴ ou des quaternions.

Question: est-ce que S3 en tant que groupe est unique? Ou encore (en espérant que le vocabulaire est bon) si on prend deux variétés homéomorphes à S3 qui sont aussi des groupes agissant transitivement sur eux-mêmes, est-ce qu'il existe un isomorphisme de groupe continu entre les deux?

Est-ce que cette question a un rapport avec les géométries de Thurston?

Cordialement,

[invite35452583]

Question: est-ce que S3 en tant que groupe est unique? Ou encore (en espérant que le vocabulaire est bon) si on prend deux variétés homéomorphes à S3 qui sont aussi des groupes agissant transitivement sur eux-mêmes, est-ce qu'il existe un isomorphisme de groupe continu entre les deux?

Oui. On peut le dire aussi ainsi : il n'existe à iso de groupes continus qu'une structure de groupe continue sur S3. (S3 étant entendu ici comme la structure topologique de la sphère unité de R^4).
Une variété topologique compacte (*) qui admet une structure de groupe continue (les structures algébriques et topologiques sont donc seulement supposées compatibles) plus précisément : on peut définir une structure de variété analytique à cette variété pour laquelle le produit GxG->G est analytique ainsi que l'opération inverse G->G x->x^(-1). A partir de là tout l'"arsenal" disponible pour l'étude des groupes de Lie montre le résultat.
(*) on peut sans doute affaiblir à paracompact.

agissant transitivement sur eux-mêmes,

tu connais beaucoup de groupes qui n'agissent pas transitvement sur eux-mêmes ?

[invite35452583]

Juste pour vérifier, tu parles bien d'une triade continue et de dérivée covariante, mais sur une géodésique fermée donnée?

Oui mais mon histoire avec H1(V,Z) libre c'est n'importe quoi.

Je n'arrive pas à voir pourquoi. Je ne veux pas dire par là que ce n'est pas le cas, mais ça me pose problème. J'ai essayé d'exposer ce problème dans d'autres messages.

Pour tout dire moi encore moins mais mon intuition me dit que le problème est topologique et non géométrique (si la torsion locale n'a pas d'effet alors c'est le cas).

Là je ne sais plus trop de quoi on parle. Comme tu parles de plusieurs géodésiques, on n'est plus dans le cas d'une géodésique donnée.

Par ailleurs je ne comprends pas le point. Pour les géodésiques que je comprend et que je "vois", celles d'ordre 10, 6 et 4 (centre de cellule à resp. centre de face, sommet et centre d'arête), le cas 1 tour de rotation par géodésique de S3 convient pour toutes à la fois. Le 60 apparaît si on cherche à mettre plus de tours: les solutions sont alors 60n+1.

C'est bien le fait que 1 tour marche dans tous les cas que j'ai détectés qui m'intrigue et m'amène à me demander s'il y a une torsion homogène et isotrope sur S3 qui marche. (Si je comprends bien ce que tu écris, les autres géodésiques sont aussi fermées, et d'ordre 2; que la rotation de 1/2 soit la bonne doit avoir un rapport avec l'appartenance de l'inversion de S3 à H, quelque chose comme ça (est-ce bien le cas? il y a une partie de ton texte en relation avec ça, mais je ne l'ai pas intégré)).

Une question indépendante de SP est d'ailleurs s'il existe pour tout n donné des connexions homogènes et isotropes (= invariante par S3 vu comme groupe agissant sur la variété ?) telles qu'une triade fasse n tours par transport parallèle sur un parcours d'une géodésique quelconque (sans répétition -je ne sais pas trop comment exprimer l'idée qu'on la parcours en entier mais sans passer deux fois par le même point-). n=0 correspond, par définition de "nombre de tours", à la connexion de Lévi-Civita qui sert de référence.

Si elles existent, la question est alors si parmi celles pour n=60k+1 il ne existent qui sont invariantes par H, non?

Cordialement,

Je reprends mon idée. Le problème pour définir une triade continue partout et stable par transport parallèle il faut que lorsqu'on prend une géodésique fermée il faut que le transport parallèle fasse coïncider la triade d'arrivée avec celle de départ donc un nombre entiers de tours sur la géodésique. Pour les géodésiques triviales a priori il n'y pas de problème, mais les géodésiques de SP ne sont jamais triviales si elles ne sont pas la somme de plusieurs lacets. En fait elles sont toujours les images d'1/2, d'1/4, d'1/6 ou d'1/10 d'un lacet de géodésique de S3. Avec la connexion de Lévi-Civita (c'est bien celle sans torsion, hein ?) cela produit des 1/2, 1/4 1/6 et 1/10 de tours car une pour une géodésique de S3 la triade et S3 vont faire entre elles un tour (langage utilisée pour éviter de dire qui tourne). Ce problème disparaît si au lieu de cet unique tour, il y en avait 60 en effet dans ce cas ça se recollerait dans SP avec des nombres de tours égaux à 60/2=30, 60/4=15, 60/6=10, 60/10=6 donc les triades reviendraient bien sur elles-mêmes.
Toi tu arrives à 60k+1 car ta référence est la triade avec Lévy-Civita moi ma référence est la dérivation du produit par les éléments du groupe S3. Mais on parle globalement de la même chose.

[invité576543]

tu connais beaucoup de groupes qui n'agissent pas transitivement sur eux-mêmes ?

Je cherche

Il y en a bien sur d'autres fils qui cherchent le mouvement perpétuel...

Plus sérieusement, OK, j'ai vu le point!

Tu as précisé "paracompact" dans ton message. A ce que j'en comprend R est paracompact (parce que localement compact et à base dénombrable, évoquer la métricité me semble inapproprié...). Si je te suis bien, la structure de R comme groupe additif est unique à isomorphisme (unique?) près. J'imagine que ça doit être la base d'une jolie définition de l'exponentielle entre R additif et R^*+ multiplicatif...

Cordialement,

[invité576543]

que le problème est topologique et non géométrique

Je ne vois pas trop la différence (mais c'est ma vision qui doit être insuffisante).

Il me semble qu'on peut voir la question d'une triade sur une géodésique topologiquement, en prenant le lacet dessiné par un des vecteurs perpendiculaires sur la surface d'un tore entourant la géodésique, ce qui doit amener à des considérations topologiques sur l'espace (S3 ou SP) privé de la géodésique.

J'ai l'intuition qu'on doit pouvoir parler de tour en partant des classes d'homotopies sur l'espace privé de la géodésique. (Ce qui aurait le bon goût de virer le besoin de parler de métrique ou de connexion de référence...)

Mais je suis peut-être en train de mettre de l'eau à ton moulin: qu'on peut présenter le problème topologiquement...

Cordialement,

[invité576543]

Bonjour,

Je résume mon raisonnement (en gros la question du début, corrigée pour parler de connexion et non de métrique, et fortement enrichie et améliorée par les interventions des autres participants!). J'ai retenu l'approche qui amène à 60k+1, et non à 60k, parce que je continue à penser que "le tour" a une signification en lui-même, position défendue dans le résumé.

S3

Q: Quel est le groupe d'homotopie de S3 privé d'un lacet trivial? Réponse supposée, Z².

Soit un lacet trivial G sur S3, une connexion sur S3, et une triade (u, v, w) continue sur le lacet, telle que u soit la tangente du lacet. (Par la suite, quand on parlera de triade sur une géodésique, le premier vecteur est la tangente.)

Alors P+v(P), P parcourant G (et avec ce qu'il faut pour rendre non nul et continu le déplacement v) est un lacet de S3 privé de G.

Ce nouveau lacet a une classe d'homotopie (+/-1, n) dans S3 privé de G; le signe du premier indice ne dépend que d'une orientation.

Q: Peut-on démontrer, à partir de l'hypothèse que (u, v, w) est continue et que w n'est jamais dans le plan (u, v), que la classe d'homotopie définie pareillement à partir de w est la même que celle définie à partir de v? (On supposera cela vrai, et on dira que la triade "fait n tours".)

Soit maintenant une connexion telle qu'il existe une géodésique telle qu'une triade (u, v, w) sur la géodésique définie comme une triade en un point transportée parallèlement le long de la géodésique se recolle proprement. La triade est alors bien définie, et continue en tout point. Il existe un certain nombre n telle que la triade "fait n tours".

Q: Peut-on parler sur le groupe S3 d'une connexion canonique, en partant d'une relation entre un élément du groupe S3 et un transport parallèle? (On suppose que oui.)

Q: Peut-on présenter cette connexion comme la connexion de Levi-Civita d'une métrique canonique homogène et isotrope? (On suppose que oui.)

T: La connexion canonique de S3 est telle que pour toute géodésique le transport parallèle fait faire 0 tour à une triade. (A démontrer...)

SP

Soit S3 muni de sa connexion canonique, et SP = S3/H.

T: La connexion canonique étant invariante par le groupe S3, elle l'est par H, et la connexion canonique de S3 descend sur SP.

T: Toutes les géodésiques de SP sont fermées.

T: Toutes les géodésiques de SP se relèvent comme une portion de géodésique de S3.

T: Toute géodésique de SP se relève comme 1/2, 1/4, 1/6 ou 1/10 de géodésique de S3.

T: Quelle que soit la géodésique de SP, une triade transportée parallèlement sur une géodésique de SP ne se recolle pas proprement.

T: Soit une géodésique de SP, et une triade sur cette géodésique partout continue (donc se recollant proprement). Alors cette triade se relève sur S3 en une triade qui fait +/-1 tour.

S3 de nouveau

Q: Existe-t-il une connexion sur S3 ayant les propriétés suivantes:

- Elle est compatible avec la métrique canonique;
- Elle est homogène et isotrope (ce qui est peut-être une conséquence de la propriété précédente...)
- Sur toute géodésique le transport parallèle fait faire 1 tour à une triade.

Supposons que oui. (Cette connexion présente nécessairement une torsion, puisque ce ne peut pas être la connexion de LC, celle-ci faisant "faire 0 tour".)

(Question annexe, existence de connexions de ce genre pour tout n, pas seulement 0, 1 ou -1...)

SP de nouveau

(Il y a un problème d'orientation qui joue sur les signes. On suppose dans la suite que les orientations sont toutes cohérentes.)

Q: Cette connexion descend-elle proprement sur SP?

Q: Si oui, est-elle telle que quelle que soit la géodésique de SP, une triade transportée parallèlement sur une géodésique de SP se recolle proprement?

Cordialement,

[invité576543]

Q: Quel est le groupe d'homotopie de S3 privé d'un lacet trivial? Réponse supposée, Z².

Pas Z², plutôt Z. Suffit de jouer avec une ficelle et un anneau pour réaliser que c'est Z dans E3, et je ne vois pas trop pourquoi ce serait différent dans S3.

Par chance, ça ne change pas le fond de la suite, suffit d'une adaptation mineure.

Cordialement,

[invite35452583]

Je ne vois pas trop la différence (mais c'est ma vision qui doit être insuffisante).

On dit généralement que le problème est topologique plutôt que géométrique si la condition d'existence est de nature topologique.
Exemple classique : peut-on "coiffer" une variété (je crois que tu connais le problème) : oui si et seulement si la caractéristique d'Euler-poincaré est nulle. La seule obtruction est même de nature homotopique.
Il y a en gros 4 cadres :
géométrie (connexion, transport parallèle...)
métrique (géodésiques...) ou géométrie riemanienne.
topologie (une tasse avec anse et un tore c'est la même chose, un cube est aussi régulier qu'une sphère)
homotopie (en particulier les invariants topologiques, groupes de homologie, cohomologie, homotopie...)
Il arrive qu'une question formulée en termes géométriques ou métriques est une réponse de nature topologique ou homotopique (cf exemple précédent).
Dans le langage on regroupe souvent les deux premiers (géométrique et métrique) et les deux derniers (topologiques et homotopiques).
La question "existe-t-il une connexion sur SP telle qu'il existe une triade continue à dérivée covariante nulle sur SP?" est une question où les termes sont géométriques mais la réponse est peut-être de la forme "une telle connexion implique que la topologie de la variété doit être ainsi ou tel invariant doit être ça or cette variété n'est pas ainsi". Exemple : si on pouvait coiffer S², alors ces vecteurs tangents fournissent des directions adéquates pour envoyer continuement tous les points de la sphère sur leur opposé diamétral. Ceci définit une homotopie entre id et -id, or comme la deuxième ne conserve pas l'orientation cela rendrait cohomologiquement la forme volume définissant la dernière classe de cohomolgie de S² (si a=-a alors a=0 en carcatéristqiue distincte de 2). L'existence d'objets géométriques ont souvent des implications topologiques qui permettent d'émettre des obstructions.
Pour notre problème, je commencer à douter très fortement, ta nouvelle présentation m'incite à dire que cette connexion doit exister, les autres connexions vont quand même faire "tourner" pourquoi ne ferait-elle pas tourner comme on vaut après tout ?

Pas Z², plutôt Z. Suffit de jouer avec une ficelle et un anneau pour réaliser que c'est Z dans E3, et je ne vois pas trop pourquoi ce serait différent dans S3.

Par chance, ça ne change pas le fond de la suite, suffit d'une adaptation mineure.

Cordialement,

Le E étant à côté du R sur le clavier je suppose que c'est R3 et non E3.
Sinon, oui le groupe est bien Z.
Preuve par le théorème de Van Kampen :
S3 est le complété d'Alexandroff de R3 (on "colle" un point "àl'infini" à R3).
Le cercle retiré peut être pris pour un vrai cercle de R3, on retire le cercle de S3 vu dans R3 complété comme la droite orthogonal au 1er cercle passant au centre de ce cercle et complété par le point à l'infini. Le sous-espace X1 obtenu est R3 privé d'un cercle (un vrai cercle) de R3 et d'une droite placée de telle manière que X1 est homotope à un tore creux T².
Maintenant pour X2 on prend un fin tore plein autour du 2ème cercle. Il a l'homotopie d'un cercle.
L'intersection X3 de X1 et de X2 est un tore plein dont on a retiré un cercle en son intérieur faisant un tour. Il a l'homotopie d'un tore creux T².
est un isomorphisme de groupe les images des générateurs sont trivialement des générateurs.
envoie un lacet transversal au "2ème cercle retiré" sur un cercle homotopiquement trivial, un lacet "parallèle" au "2ème cercle retiré" est envoyé sur un générateur de .
Le push-down "écrase" donc les lacets parallèles au 1er cercle retiré, et a comme générateurs les lacets transversaux à ce cercle. .
Pour la suite en effet ça ne change pas grand chose. Maintenant cela confirme aussi que le transport parallèle par la connexion de L.C. ne tourne pas et que l'on peut prendre celle-ci comme référence pour compter les tours.
En effet, on peut toujours prendre un fibré en disque trivial autour d'un chemin, si on en prend le bord on peut alors compter le nombre de tours pour une triade continue dont le 1er vecteur est tangent en tout point à ce chemin.
Il suffit de regarder pour le 2ème vecteur mais là on revient à l'image avec une sphère S² (à pau de chose près, construire une homotopie entre les deux est juste histoire d'application pas de difficukltés réelles). Le transport parallèle "de L.C." définit un lacet dans un des deux hémisphères qui fournit un disque assurant que le lacet est trivial.
Voià voilà pour mes remarques (que j'espère constructives) sur la partie S3 du très bon résumé du message précédent.
Pour la partie "SP" Ok
Pour les questions de la fin :
je pense (je ne peux pas aller plus loin ne sachant plus très bien comment se comporte un "opérateur de torsion") qu'il faudrait chercher à définir cet "opérateur" en un seul point.
Je m'explique :
on regarde d'abord comment le vecteur noté v doit "tourner" : on prend le vecteur v, on le déplace par dérivée du produit par un élément du groupe S^3 (proche de l'identité) puis on ramène par le "transport de Lévy-Civita". On peut alors prendre quelque chose qui est en gros une dérivée seconde (qui est +/- une rotation dans l'espace tangent). Ceci permet de définir "un tour" localement.
on fait de même avec une torsion "générique" si on peut de même définir une rotation infinitésimale reste à égaliser cette rotation à la 1ère.
Si la "torsion" est gentille ceci doit être invariant par l'opération de SO(3) dans l'espace tangent.
Puis utiliser l'opération du groupe S3 pour définir la torsion sur l'ensemble des points de S3.
A priori ça devrait "coller".
Si cette voie est efficiente, la connexion obtenue "descend" sur SP, elle serait non seulement invariante par H mais par S3 en entier.
Quant à savoir si on peut faire plusieurs tours, ne peut-on pas faire varier continuement (si ce n'est pas linéairement) la partie antisymétrique de la connexion, dans ce cas la réponse serait oui pour tout nombre de tours n entier mais aussi réel. (la définition ne se basant que dans une comparaison avec L.C plus dans le groupe d'homotopie du tore défini autour de la géodésique).
A ce niveau, il faudrait trouver de l'aide chez ceux qui maîtrisent la géométrie différentielle.