Paradoxe des jumeaux (nouvelle édition)

[Mailou75]

Bonjour,

J'ai une petite question concernant le paradoxe des jumeaux mais c'est pas simple à expliquer... j'vais essayer

Expérience 1:
On place deux jumeaux dans un vide "parfait" (aucune masse présente) semelle contre semelle
Ils sautent en même temps, puis retombent dans la position initiale avec la gravité.
A priori dans ce cas tout est symétrique, ils ont le même age à l'arrivée.

Expérience 2:
On réitère l'expérience mais au moment où la distance est maximale entre les jumeaux, on attache un boulet au pied de l'un.
Le boulet pèse 1000 fois la masse d'un jumeau, la masse du système [boulet+jumeau] modifie la symétrie.
Ainsi seul le jumeau sans boulet voyagera pour rejoindre le nouveau centre d'inertie du système [boulet+jumeau+jumeau]
Le jumeau sans boulet sera plus jeune à l'arrivée.

Expérience 3:
Même expérience en attachant le boulet dès le début.
On retrouve l'expérience classique, le boulet est la terre.
Le jumeau sans boulet est plus jeune au terme du voyage.

Expérience 4:
On attache un demi-boulet au pied de chaque jumeau dès le début de l'expérience.
On retombe dans la symétrie de l'expérience 1, les jumeaux ont le même âge à l'arrivée.

Donc... tout ça pour ça me direz vous
En fait, si je ne me suis pas trompé dans ma logique, le centre de gravité d'un système est le lieu où le temps s'écoule le plus lentement
et ce peu importe si il existe un objet en ce lieu, j'm'explique...
Le temps s'écoule plus lentement sur le soleil que sur terre, plus lentement encore au niveau du TN galactique
Mais il est encore plus lent entre la voie lactée et andromède, au centre de gravité, puisque les deux objets bougent vers ce point "inertiel"
C'est un lieu vide qui a le plus de "gravité"
Bref je m’égare, revenons en à nos jumeaux...

Je place donc mon jumeau A sur terre et j'envoie mon jumeau B à coté du soleil, avec une bonne crème UV
B ne se déplace pas extrêmement vite mais vieillit tout de même un peu moins vite que A pendant le trajet.
Puis A (terre) se retrouve donc en mouvement par rapport à B (soleil), c'est alors lui qui vieillit moins vite.
Si B attend assez longtemps avant de revenir, il sera plus vieux que A qui est resté sur terre.
(On peut aussi faire l'expérience en envoyant B vers le TN galactique, si c'est pas concluant avec le soleil )

Donc j'arrive à une conclusion qui peut être différente de celle qu'on propose d'habitude
A savoir " celui qui fait demi tour est le plus jeune car il est accéléré "
Tout ça pour en venir à la question :

Le paradoxe des jumeaux n'est il pas lié plus aux masses en présence qu'au trajet entre elles?
Suivant la route empruntée entre les masses je peux revenir plus jeune ou moins jeune que mon jumeau ?

Merci à ceux qui ont eu le courage de lire jusqu'ici encore plus à ceux auront celui de répondre
A plouch
Mailou
-----

[Amanuensis]

Expérience 1:
On place deux jumeaux dans un vide "parfait" (aucune masse présente) semelle contre semelle
Ils sautent en même temps, puis retombent dans la position initiale avec la gravité.
A priori dans ce cas tout est symétrique, ils ont le même age à l'arrivée.

Expérience 2:
On réitère l'expérience mais au moment où la distance est maximale entre les jumeaux, on attache un boulet au pied de l'un.
Le boulet pèse 1000 fois la masse d'un jumeau, la masse du système [boulet+jumeau] modifie la symétrie.
Ainsi seul le jumeau sans boulet voyagera pour rejoindre le nouveau centre d'inertie du système [boulet+jumeau+jumeau]
Le jumeau sans boulet sera plus jeune à l'arrivée.

Expérience 3:
Même expérience en attachant le boulet dès le début.
On retrouve l'expérience classique, le boulet est la terre.
Le jumeau sans boulet est plus jeune au terme du voyage.

Expérience 4:
On attache un demi-boulet au pied de chaque jumeau dès le début de l'expérience.
On retombe dans la symétrie de l'expérience 1, les jumeaux ont le même âge à l'arrivée.

Donc... tout ça pour ça me direz vous
En fait, si je ne me suis pas trompé dans ma logique, le centre de gravité d'un système est le lieu où le temps s'écoule le plus lentement
et ce peu importe si il existe un objet en ce lieu

Jusque là, très bien.

[phys4]

Bonjour,

Quelque chose n'est pas vrai dans ces expériences : la force de rappel qui intervient est la gravitation.
Dans ces conditions, il faut tenir compte du fait suivant, lorsqu'une personne "saute" en s'éloignant de la Terre, le temps s'écoule plus vite pour lui, le résultat de l'expérience 3 est inversé.

Pour rester dans le cadre donné par Langevin, il ne faut pas utiliser le potentiel de gravitation pour se déplacer.

[Amanuensis]

le résultat de l'expérience 3 est inversé.

Démonstration ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Zefram Cochrane]

Bonjour Mailou, Cela faisait une paye.

Hormis le problème de symétrie lié au paradoxe des jumeaux pour lequel je ne suis pas le mieux placé pour résoudre, j'ai deux phrases mnémotechniques:
en RR, plus la vitesse d'une capsule (avec ton jumeau B à l'intérieur) est proche de la vitesse de la lumière et moins le temps s'y écoule rapidement par rapport à l'observateur de référence (l'autre jumeau A) supposé fixe.
en RG, plus l'intensité du champ de gravitation environnant la capsule est élevée et moins le temps s'y écoule rapidement par rapport à l'observateur de référence situé dans un environnement de microgravitation.

D'où ma question pour en revenir à ta problématique:
Une capsule (jumeau B) est projeté verticalement par le jumeau Adepuis la surface de la Terre à une vitesse v inférieure à la vitesse de libération.
RR : de par sa vitesse, le temps s'écoule moins rapidement pour B que pour A;
mais RG: En s'élevant, l'intensité du champ de gravitation dans l'environnement de B devient plus faible que celle de A. du point de vue de la RG, le temps s'écoule plus rapidement pour A que pour B.

Question : comment s'écoule le temps de B par rapport à A?

[Amanuensis]

B
en RG, plus l'intensité du champ de gravitation environnant la capsule est élevée et moins le temps s'y écoule rapidement par rapport à l'observateur de référence situé dans un environnement de microgravitation.

C'est faux, cela a été écrit je ne sais combien de fois ! C'est le potentiel qui intervient, pas l'intensité du champ de gravitation.

[Zefram Cochrane]

Autant pour moi,
Il faut juste remplacer dans mon texte , intensité du champ de gravitation par potentiel de gravitation.
Je remarque aussi que aussi que j'ai inversé les jumeaux poru la RG, il faut lire :
En s'élevant, le potentiel de gravitation dans l'environnement de B augmente( car le potentiel est une quantité négative), du point de vue de la RG, le temps s'écoule plus rapidement pour B que pour A

Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Que ce soit le potentiel est fort utile pour la question posée (cas 3), car le v² a la même dimension que le potentiel...

Et il y a une dissymétrie causées par les masses. La séparation donne, dans le référentiel du centre de masse, des quantités de mouvement égales, et donc des énergies mécaniques totales distribuées inversement aux masses (car E=p²/m). Les rapports E/m sont donc inversement proportionnels aux carrés des masses. Le plus léger a le plus grand E/m, c'est à dire la plus grande somme potentiel + v²/2.

[papy-alain]

Bonjour tout le monde.

En principe, le paradoxe des jumeaux ne se réfère qu'à la RR. Mailou, quel est le but de faire intervenir la RG dans l'expérience ?

[Amanuensis]

Mais non, pas de tel principe, il y a plein de textes et d'études sur les différences d'âge entre lignes d'Univers en RG.

C'est d'ailleurs nettement plus intéressant qu'en R4 Minkowskien, parce qu'on peut avoir plusieurs géodésiques joignant deux événements. Et aussi parce qu'il n'y pas de règle générale simple, si on veut aller au bout faut dans certains cas calculer correctement l'intégrale de la métrique.

[phys4]

Bonjour tout le monde.

En principe, le paradoxe des jumeaux ne se réfère qu'à la RR. Mailou, quel est le but de faire intervenir la RG dans l'expérience ?

Bonjour papy, il ne l'a surement pas fait exprès. Je pense qu'il voulait des cas simples, mais en remplaçant les accélérations par la gravitation, il a introduit une petite complication.

Pour une démonstration rapide semi classique, il suffit de prendre le décalage temporel du à l'altitude qui donne la fraction d'augmentation du temps et le premier ordre de diminution du temps du à la vitesse.

Comme la vitesse au départ et la hauteur ont entre eux la relation :
le décalage au départ est l'opposé du décalage au sommet de la trajectoire, au milieu l'effet total est nul.
Il reste à intégrer sur le temps pour trouver le décalage total. Il semble évident que le sauteur passe plus de temps vers la sommet de la trajectoire que vers le bas. Le total sur la trajectoire sera donc positif.

Pour ceux qui aiment le calcul numérique, vous pouvez essayer de retrouver


Nous pouvons encore dire que le mobile accéléré vieillit le moins dans la mesure où le sauteur reste dans un repère inertiel pendant son saut et celui qui reste sur place subit une accélération.
Cependant ce n'est pas une règle générale, car si nous considérons un sauteur qui parcourt une orbite elliptique complète, le décalage est négatif pour un apoastre bas et devient positif pour un apoastre élevé.

[Amanuensis]

La vitesse à tout moment et la hauteur ont pour relation v²/2-gh = constante, cela s'appelle la conservation de l'énergie.

[Amanuensis]

La vitesse à tout moment et la hauteur ont pour relation v²/2-gh = constante, cela s'appelle la conservation de l'énergie.

Gloups... v²/2+gh, évidemment. (Et v²/2-K/(R+h), en toute généralité, avec K dépendant de la masse centrale.)

[Amanuensis]

Coïncidence, il y a un papier récent sur arxiv qui semble adresser un problème très proche, http://arxiv.org/pdf/1203.0748.pdf.

Dans le cas traité dans le papier la conclusion apparaît être dans le sens de ce qu'indique phys4, à savoir que le jumeau le plus vieux est celui qui fait un aller-retour radial géodésique (en chute libre). Par contre il y a, toujours dans le cas traité, des géodésiques donnant des jumeaux plus jeunes que le jumeau statique (qui lui ne suit pas une géodésique).

Je ne prétends pas comprendre l'article, mais il a l'air intéressant pour le sujet !

[Mailou75]

Salut à tous et merci pour vos réponses,

Pour rester dans le cadre donné par Langevin, il ne faut pas utiliser le potentiel de gravitation pour se déplacer.

Oui pour ce que j'en ai compris, Langevin reste valable pour tout calcul où la terre est le centre d'inertie.
Le jumeau qui reste sur terre "ne bouge pas", or on sait que ce n'est pas le cas puisque la terre n'est pas isolée
et c'est bien là que je veux en venir, en simplifiant le problème on le fausse

(...) Question : comment s'écoule le temps de B par rapport à A?

Très bonne question mais je voulais l'éviter avec mes boulets...
Évidement que pour ne rien négliger on doit tenir compte du ralentissement du temps du à la masse.
Mais si on parle de vitesse relativiste ce delta devient négligeable.

En fait, je ne crois pas à la symétrie lors du départ d'un des jumeaux chez Langevin
si le jumeau sur terre est la référence, cad qu'on l'extrait de tout système "plus grand", alors le jumeau voyageur rajeunit forcément
Sauf et c'est là que tu as raison, si on veut être pointilleux et prendre en compte les décalages d'horloges
Il doit exister une vitesse de saut pour laquelle le ralentissement du temps lié à la vitesse et l'accélération du temps due à l'éloignement de la masse terrestre s'équilibrent
Donc une vitesse (sans doute variable...) pour laquelle même en conservant la terre comme référentiel inertiel, les jumeaux gardent le même âge
Enfin je suppose...

Jusque là, très bien.

C'est déjà ça

Et il y a une dissymétrie causées par les masses. La séparation donne, dans le référentiel du centre de masse, des quantités de mouvement égales, et donc des énergies mécaniques totales distribuées inversement aux masses (car E=p²/m). Les rapports E/m sont donc inversement proportionnels aux carrés des masses. Le plus léger a le plus grand E/m, c'est à dire la plus grande somme potentiel + v²/2.

Je sens que ma réponse se trouve quelque part là dedans... mais j'ai du mal à déchiffrer

En principe, le paradoxe des jumeaux ne se réfère qu'à la RR. Mailou, quel est le but de faire intervenir la RG dans l'expérience ?

Ben j'en ai pas parlé tu remarqueras mais c'est sur que dès qu'on parle de masses la RG rapplique illico
Langevin en prenant la terre comme référence le fait implicitement
J'ai juste soulevé le problème de qui est inertiel par rapport à qui ! (ce qui revient à comparer des masses je te l'accorde)

C'est ça la vraie question quand tu éloignes deux points dans l'espace :
Qui à la plus grande vitesse par rapport au point que je considère comme inertiel dans mon expérience ?

Bonjour papy, il ne l'a surement pas fait exprès. (...) il a introduit une petite complication.

Qui sait ?

Au début ça a l'air simple... un lien ou il y aurait des calculs au pas à pas stp ? t'es allé un peu vite

Nous pouvons encore dire que le mobile accéléré vieillit le moins dans la mesure où le sauteur reste dans un repère inertiel pendant son saut et celui qui reste sur place subit une accélération.
Cependant ce n'est pas une règle générale, car si nous considérons un sauteur qui parcourt une orbite elliptique complète, le décalage est négatif pour un apoastre bas et devient positif pour un apoastre élevé.

Ca à l'air sympa ça... si tu as le courage de développer...

........

Tentons une expérience avec des triplés

On extrait notre galaxie de l'univers pour éviter les parasites
Le TN galactique devient LE repère inertiel dans notre expérience
On suppose que la terre est au milieu d'un bras spiral
Et que nos triplés peuvent vivre extrêmement vieux

Le jumeau A va rester sur terre pendant l'expérience, c'est notre témoin Langevin
Le jumeau B va aller à coté du TN galactique
Le jumeau C va aller à l'extrémité de la branche (bras d'Orion)
B et C vont rester sur place un certain temps (oui je sais...)
Puis revenir tous deux sur terre.

Langevin nous dit que B et C reviennent plus jeunes que A (témoin)
Ayant eu un comportement symétrique par rapport à la terre, B et C ont aussi le même âge

Pourtant j'ai envie de dire qu'ils ont trois âges différents à l'arrivée
Au milieu de l'expérience, par rapport au TN, B est statique, A va à une vitesse V et C va à 2V
C'est alors B qui vieillit le plus vite, puis A et enfin C
Si on attend assez longtemps (...) cet effet prendra le pas sur les effets dus au trajet
Ainsi A a l'âge témoin (?) B est plus vieux de X années et C est plus jeune de Y années avec X<Y

Donc il ne suffirait pas de faire un aller retour dans l'espace pour revenir le plus jeune
tout dépend où on va, à quelle vitesse et combien de temps on y reste ?

Merci d'avance aux courageux
Mailou

[Mailou75]

Je me suis amusé à faire un petit schéma de cette dernière expérience.
A gauche B et C font un aller retour, à droite ils restent un peu à leur destination.

C'est amusant, intuitivement on dirait que c'est simplement celui qui a le plus court trajet dans l'espace temps qui est le plus vieux.
On voit que dans le cas 1, le trajet de B est plus long que celui de A
Ce trajet devient plus court, cas 2, si B reste un peu à coté du TN

Ce qui est tout aussi amusant c'est que ce schéma ne fait pas appel à la RR : on ne représente pas lors des déplacements
Ni à la RG : pas de courbure de l'espace temps lié au masses
Il représente juste les positions des objets au cours du temps dans un référentiel particulier
+ qq chose qui entraine C sur le disque galactique, en augmentant sa vitesse de rotation quand il s’écarte du TN (très douteux... matière noire ?)

Bref je sens que je me suis écarté de ma question initiale...

Merci à vous
Mailou

[Mailou75]

Snif

[phys4]

Il doit exister une vitesse de saut pour laquelle le ralentissement du temps lié à la vitesse et l'accélération du temps due à l'éloignement de la masse terrestre s'équilibrent
Donc une vitesse (sans doute variable...) pour laquelle même en conservant la terre comme référentiel inertiel, les jumeaux gardent le même âge
Enfin je suppose...

Pas trop le temps pour le forum ces dernières heures, réponse rapide :
pour un saut à la verticale, c'est toujours la gravitation qui est majoritaire, comme l'indique la formule pour un saut à la hauteur h.
Pour l'équilibre, il faut prendre un saut en longueur, c'est l'exemple que j'ai donné ensuite : le sauteur part à une vitesse horizontale comprise entre la vitesse de satellisation et la vitesse de libération (astéroïde sans atmosphère). Ainsi il parcourt une orbite elliptique et revient à son point de départ après avoir fait un tour.
A la limite de la vitesse de satellisation (excentricité voisine de 0), il reste un altitude presque constante, au ras du sol, seul l'effet de vitesse produit un décalage du temps, donc avance négative.
A la limite de la vitesse de libération (excentricité voisine de 1), il parcourt une ellipse qui s'éloigne à très haute altitude et reste longtemps à petite vitesse loin de l’astéroïde. L'effet de gravitation est dominant est le décalage est positif.
Entre ces deux deux extrêmes, il existe une orbite intermédiaire, pour laquelle les deux effets se compensent exactement.

Au début ça a l'air simple... un lien ou il y aurait des calculs au pas à pas stp ? t'es allé un peu vite

J'ai laissé le temps aux amateurs éclairés de donner leur propre réponse puis de montrer qu'ils savaient aussi faire le calcul.
Voici les détails : nous comptons la profondeur x à partir du sommet d’altitude h,
nous avons les équations simples :
Le décalage relatif varie comme
et au premier ordre

Au total le décalage sera


Suite au prochain numéro.

[phys4]

Au total le décalage sera

A ce niveau, nous retrouvons que l'effet s'inverse à mi-hauteur,
Ensuite nous utilisons et le temps de descente


en prenant l'intégrale sur la descente seule.
Il suffit de remplacer t₀ pour avoir la formule finale.

[Mailou75]

Salut et merci pour ta réponse,

Pour les calculs j'ai bien peur de t'avoir fait perdre ton temps
j'espère que ça aura servi à d'autres que moi

Par contre ça je comprends un peu mieux

Pour un saut à la verticale, c'est toujours la gravitation qui est majoritaire, comme l'indique la formule pour un saut à la hauteur h.
Pour l'équilibre, il faut prendre un saut en longueur, c'est l'exemple que j'ai donné ensuite : le sauteur part à une vitesse horizontale comprise entre la vitesse de satellisation et la vitesse de libération (astéroïde sans atmosphère). Ainsi il parcourt une orbite elliptique et revient à son point de départ après avoir fait un tour.
A la limite de la vitesse de satellisation (excentricité voisine de 0), il reste un altitude presque constante, au ras du sol, seul l'effet de vitesse produit un décalage du temps, donc avance négative.
A la limite de la vitesse de libération (excentricité voisine de 1), il parcourt une ellipse qui s'éloigne à très haute altitude et reste longtemps à petite vitesse loin de l’astéroïde. L'effet de gravitation est dominant est le décalage est positif.
Entre ces deux deux extrêmes, il existe une orbite intermédiaire, pour laquelle les deux effets se compensent exactement.

J'ai fait un p'tit dessin de ton expérience (désolé je ne comprends que ce langage) pour voir si j'ai capté...
B1 ne fait intervenir que la RR car il ne s'éloigne pas de la planète, son temps est ralenti, il est plus jeune que A au retour
B2 est sur une orbite "d'équilibre", il a le même âge que A à l'arrivée
B3 fait intervenir RR et RG, mais la RG l'emporte, loin de l'astre son temps passe trop vite, il revient plus vieux que A

Je trouve ça assez amusant celui qui part le plus vite (B3) revient le plus vieux et celui qui part le moins vite (B1) revient le plus jeune, la RG fait mentir la RR !
Ca fait aussi mentir Langevin, B3 fait demi tour (accélération due à la gravité) et pourtant il revient plus vieux que A !
Les 3 ellipses sont trois droites parallèles sécantes en A...

Je vais aller cogiter tout ça...
Merci pour vos réponses
Mailou

[Zefram Cochrane]

Bonjour Mailou,
Vu les parcours, je ne saurais dire. Par contre dans l'hypothèse de l'horloge envoyée en l'air, pour que les temps soient égaux, il faut que la vitesse soit inférieure à la vitesse de libération, parce que plus la vitesse de départ est proche de la vitesse de libération, plus grand est le retard temporel accumulé par le mobile du fait de sa vitesse, mais, il va monter plus haut et passer plus de temps là où il va accumuler de l'avance temporelle si bien qu'in fine, quand le mobile revient au niveau de l'horloge de référence, les deux horloge indiquent la même date.
Mais si la vitesse du mobile est supérieure à la vitesse de libération, l'horloge du mobile accusera un retard.
A+ Zefram

[Amanuensis]

Mais si la vitesse du mobile est supérieure à la vitesse de libération, l'horloge du mobile accusera un retard.

Si la vitesse du mobile est supérieure à la vitesse de libération, il ne reviendra pas et se poser la question de la comparaison des âges n'a plus de sens.

[Zefram Cochrane]

merci pour la précision Amanuensis

[phys4]

Je trouve ça assez amusant celui qui part le plus vite (B3) revient le plus vieux et celui qui part le moins vite (B1) revient le plus jeune, la RG fait mentir la RR !
Ca fait aussi mentir Langevin, B3 fait demi tour (accélération due à la gravité) et pourtant il revient plus vieux que A !
Les 3 ellipses sont trois droites parallèles sécantes en A...

Très joli dessin, j'apprécie.
Vu en 3 dimensions, les trois ellipses sont tangentes. Vu en 4 dimensions, nous pouvons dire qu'il s'agit de 3 droites sécantes puisqu'elles ne correspondent pas à la même vitesse. Elles ne coupent qu'un fois à l'instant de départ simultané, car au tour suivant le passage en A n'est plus un événement commun

[Amanuensis]

Bonjour,

J'ai essayé de reprendre les calculs d'une autre manière, et je trouve que le cas immobile n'est pas "au milieu" des orbites.

Plus précisément, je prends la question comme suit :

Soit une masse centrale. Si on néglige le potentiel gravitationnel créé par tout autre masse, il y a un référentiel dans lequel le potentiel (la métrique) est statique. Le temps-coordonnée coïncide alors avec leur temps propre pour des observateurs immobiles et à l'infini.

Soit A un point dans ce référentiel, et on compare différentes trajectoires allant et venant de ce point et en coïncidence à un intervalle de \Theta multiple de la période des orbites circulaires passant par A.

Une des ces trajectoires est l'immobile, celle consistant à rester en A. C'est une trajectoire accélérée, au sens pas de chute libre.

Parmi les trajectoires de chute libre, on a toutes celles consistant en k orbites passant en A et de période \Theta/k avec k inférieur ou égal au nombre d'orbites de l'orbite circulaire, et une trajectoire qui est une partie d'une orbite, l'aller-retour radial.

La question est la comparaison des temps propres de ces trajectoires (i.e., en termes "usuels", les âges des "jumeaux" ayant suivi ces trajectoires et réputés être d'âges identiques lors de la première coïncidence).

---

Je trouve (avec gros risque d'erreur) comme ordre (en valeur décroissante) :

- La durée en temps coordonnée pour le référentiel choisi;
- La durée propre de l'aller-retour radial;
- La durée propre de l'immobile;
- La durée propre des cas d'une orbite unique (k=1);
- Les durées propres des cas de k orbites, en ordre décroissant avec k croissant.

[Amanuensis]

PS : Une précision : l'exercice est un peu périlleux, car l'existence d'orbites qui sont en coïncidence périodiquement n'est clair et aisément formalisable qu'en gravitation newtonienne, alors que la notion de temps propre est en RG.

En fait, les calculs que je fais portent sur l'action, qui est bien définie en classique, et j'extrapole les rapports entre durées propres des calculs sur l'action classique. Très discutable, mais cela donne une base pour se faire des idées... (En RG les rapports entre durées propres se dérivent directement de l'action.)

[Mailou75]

Salut,

J'ai essayé de reprendre les calculs d'une autre manière, et je trouve que le cas immobile n'est pas "au milieu" des orbites.

Cad? (personne n'a dit qu'il est au milieu mais "entre" les deux orbites)

Soit une masse centrale. Si on néglige le potentiel gravitationnel créé par tout autre masse (...)

Alors ça c'est dangereux ...mais c'est pourtant ce que fait Langevin en prenant le jumeau statique comme référence
Et si je ne me trompe pas, il n'y aurait plus de vitesse de libération, sauf vitesse infinie (même un photon de par sa masse non nulle finirait par faire demi tour)

PS : Une précision : l'exercice est un peu périlleux, car l'existence d'orbites qui sont en coïncidence périodiquement n'est clair et aisément formalisable qu'en gravitation newtonienne, alors que la notion de temps propre est en RG.

Du piquant !!

Pour le reste : pas le level désolé

.......

Sinon j'ai tout de même une donnée qui me manque pour comprendre le sujet...
Quand on parle de vitesse de libération (11.2km/s pour la terre par ex) et si on néglige les frottements de l'atmosphère ,
parle-t-on de saut à l'horizontale ou à la verticale? de vitesse initiale ou de vitesse constante ?

Merci
Mailou

[Amanuensis]

Cad? (personne n'a dit qu'il est au milieu mais "entre" les deux orbites)

Pas "dit", exact. Mais c'est ce qu'il me semble qu'indique le dessin.

Sinon j'ai tout de même une donnée qui me manque pour comprendre le sujet...
Quand on parle de vitesse de libération (11.2km/s pour la terre par ex) et si on néglige les frottements de l'atmosphère ,
parle-t-on de saut à l'horizontale ou à la verticale? de vitesse initiale ou de vitesse constante ?

De toute direction sans obstacle. Et seulement de vitesse initiale. (La vlib est une fonction du point, c'est une fonction très simple du potentiel en ce point...)

PS : En fait, si, dit. Là :

B2 est sur une orbite "d'équilibre", il a le même âge que A à l'arrivée

Selon mes calculs, il n'y a pas d'orbite d'équilibre avec les hypothèses que j'ai prises, à savoir des coïncidences exactes (ce qui impose des orbites complètes, sauf le cas de l'aller-retour radial).

[Mailou75]

Vu en 4 dimensions, nous pouvons dire qu'il s'agit de 3 droites sécantes puisqu'elles ne correspondent pas à la même vitesse. Elles ne coupent qu'un fois à l'instant de départ simultané, car au tour suivant le passage en A n'est plus un événement commun

Oui c'est juste ! Si on développe le temps en coordonnées cylindriques, les courbes sont ouvertes et ne se croisent en effet qu'au point de départ (A), merci

Il n'en reste pas moins que la direction de départ et identique pour tous (B1, B2 et B3) et que seule la vitesse d'origine leur fait emprunter des trajectoires divergentes !

Question :
Si on considère des orbites circulaires autour de la masse M, peut-on les associer à des "niveaux d'énergie" un peu comme en MQ
Cad que si un objet à une masse m1 il devra aller à v1 pour être sur une orbite d’énergie E
et qu'un autre objet de masse m2 (>m1) devra aller à v2 (>v1) pour être sur cette même orbite
Et existe -t-il une relation mathématique (simple) qui relient E, m et v, c'est l’énergie cinétique ?

Merci à vous
Mailou

[Amanuensis]

Oui c'est juste ! Si on développe le temps en coordonnées cylindriques, les courbes sont ouvertes et ne se croisent en effet qu'au point de départ (A), merci

Ce n'est pas parce que des courbes sont "ouvertes" qu'elles ne se croisent qu'en un point !

En mécanique newtonienne dans le problème à deux corps, si deux orbites de même énergie sont en coïncidence, elles le seront à chaque période. Elles se croisent donc bien en 4D répétitivement.

Même en RG, on peut trouver des trajectoires qui entreront en coïncidence (en 4D) au moins deux fois.

Il n'en reste pas moins que la direction de départ et identique pour tous (B1, B2 et B3) et que seule la vitesse d'origine leur fait emprunter des trajectoires divergentes !

Même dans ce cas, il y aura re-coïncidence si leurs périodes sont commensurables (rapport rationnel, par exemple une période multiple de l'autre). Du moins dans le cas du problème des deux corps et en newtonien.

(C'est pour cela que j'ai pris dans ma reformulation une durée multiple quelconque de la période de l'orbite circulaire : cela permet d'obtenir des coïncidences répétitives avec des orbites d'énergie plus grande.)