La relativité générale appliquée à l’intérieur d’un trou noir.

**Amanuensis** · 11/06/2012, 04h30

Pas le même "dt" . Dans le second cas c'est le temps-coordonnée tel que les coordonnées à l'infini sont les usuelles pour Minkowski.

Que signifie "dt" dans le premier cas ?

**Zefram Cochrane** · 11/06/2012, 05h40

Bonjour,
Dans le premier cas,
Il s'agit de l'écoulement du temps de l'observateur à l'oo tel qu'il est perçu par l'observateur local. Les formules ne sont pas les mêmes parce que la RR est combinée avec la RG.
C'est le sens de mon questionnement.

Cordialement,
Zefram

**Zefram Cochrane** · 11/06/2012, 15h43

du point de vue de l'observateur local
$\text{[math]}$

pour établir cette formule j'ai considéré les choses suivantes:
En RG : $\text{[math]}$

En RR, c'est l'observateur de référence qui s'éloigne de l'observateur fixe à la vitesse -v
donc : $\text{[math]}$

la formule est obtenue et combinant les deux effets.
Est ce que ce raisonnement est correct?
Cordialement,
Zefram

**Mailou75** · 11/06/2012, 17h11

Salut,

Ton observateur de référence est à l'infini,
comment peut il avoir une vitesse ? Par rapport a qui?

**Amanuensis** · 11/06/2012, 18h04

Envoyé par Mailou75

Ton observateur de référence est à l'infini,

Ce n'est pas vraiment un observateur à l'infini, c'est plutôt que le système de coordonnées se confond à l'infini avec un espace-temps de Minkowski. Quand on est extrêmement loin du TN, on peut négliger son influence et la métrique est alors celle de Minkowski. L'image classique (et un peu fausse) de la feuille de caoutchouc permet de l'imager : très loin de la "masse", la feuille est plate.

La vitesse est alors celle relativement au référentiel défini à l'infini par le système de coordonnées.

**Zefram Cochrane** · 11/06/2012, 23h07

Bonsoir,
Comme l'explique Amanuensis, quand on parle d'observateur à l'oo on fait appel en fait au système de coordonnées.
Si je prends le facteur de Schwarzschild
$\text{[math]}$
Le problème est qu'en temps que Terrien, nous ignorons la valeur de R car nous mesurons R' avec $\text{[math]}$ ,c'est un peu le serpent qui se mord la queue. On est obligé de faire l'approximation R=R'.

En relativité, la géodésique décrit le mouvement d'une particule qui n'est soumise à aucune autre force que celle de la gravitation.
Peut importe donc sa vitesse de départ, une particule en chute libre dans un champ de gravitation suit une géodésique; par ailleurs le terme de chute peut être généralisée aux particules qui remontent un champ de gravitation à partir du moment où la seule force s'exerçant sur elle est celle de la gravitation. une fusée qui a allumé ses propulseurs ne décrit plus uné géodésique, mais dès lors qu'elle les éteint, elle décrit alors une géodésique.

L'observateur de référence bien que fixe par rapport au TN, est en chute libre dans le champ de gravitation et décrit une géodésique (vitesse nulle, accélération nulle parce que situé à l'oo). Pour lui, le rayon de la terre R sera inférieur à celui que nous mesurons R'= 6 371Km. Mais si j'ai un observateur en chute libre dans le champ de gravitation de la Terre et que sa vitesse sera égale à la vitesse de libération (parce qu'il serait parti de l'oo où s'il était parti d'une altiude Z > R et qu'il aie accéléré dans notre direction pour atteindre au point H R<H<Z la vitesse de libération, alors à cause de la contraction des longueurs due à la vitesse : $\text{[math]}$ comme à la vitesse de libération, $\text{[math]}$ , on a R = R' et T=T'

C'est ce que je voudrais vérifier.
Cordialement,
Zefram

**Mailou75** · 12/06/2012, 00h15

Envoyé par Amanuensis

Ce n'est pas vraiment un observateur à l'infini, c'est plutôt que le système de coordonnées se confond à l'infini avec un espace-temps de Minkowski. Quand on est extrêmement loin du TN, on peut négliger son influence et la métrique est alors celle de Minkowski. L'image classique (et un peu fausse) de la feuille de caoutchouc permet de l'imager : très loin de la "masse", la feuille est plate.
La vitesse est alors celle relativement au référentiel défini à l'infini par le système de coordonnées.

Tu veux dire qu'à grande distance du TN l'espace redevient "euclidien" (orthogonal, les géodésiques sont des droites), c'est ça ?

Envoyé par Zefram Cochrane

Bonsoir,
Comme l'explique Amanuensis, quand on parle d'observateur à l'oo on fait appel en fait au système de coordonnées.
Si je prends le facteur de Schwarzschild
$\text{[math]}$
Le problème est qu'en temps que Terrien, nous ignorons la valeur de R car nous mesurons R' avec $\text{[math]}$ ,c'est un peu le serpent qui se mord la queue. On est obligé de faire l'approximation R=R'.

En relativité, la géodésique décrit le mouvement d'une particule qui n'est soumise à aucune autre force que celle de la gravitation.
Peut importe donc sa vitesse de départ, une particule en chute libre dans un champ de gravitation suit une géodésique; par ailleurs le terme de chute peut être généralisée aux particules qui remontent un champ de gravitation à partir du moment où la seule force s'exerçant sur elle est celle de la gravitation. une fusée qui a allumé ses propulseurs ne décrit plus uné géodésique, mais dès lors qu'elle les éteint, elle décrit alors une géodésique.

L'observateur de référence bien que fixe par rapport au TN, est en chute libre dans le champ de gravitation et décrit une géodésique (vitesse nulle, accélération nulle parce que situé à l'oo). Pour lui, le rayon de la terre R sera inférieur à celui que nous mesurons R'= 6 371Km. Mais si j'ai un observateur en chute libre dans le champ de gravitation de la Terre et que sa vitesse sera égale à la vitesse de libération (parce qu'il serait parti de l'oo où s'il était parti d'une altiude Z > R et qu'il aie accéléré dans notre direction pour atteindre au point H R<H<Z la vitesse de libération, alors à cause de la contraction des longueurs due à la vitesse : $\text{[math]}$ comme à la vitesse de libération, $\text{[math]}$ , on a R = R' et T=T'

C'est ce que je voudrais vérifier.
Cordialement,
Zefram

"à la vitesse de libération, $\text{[math]}$ " c'est une relation avérée ou c'est de toi ?

Ca pourrait m'interesser

Merci
Mailou

**Amanuensis** · 12/06/2012, 06h08

Envoyé par Mailou75

Tu veux dire qu'à grande distance du TN l'espace redevient "euclidien" (orthogonal, les géodésiques sont des droites), c'est ça ?

Il ne "devient" pas, à une distance au-dessus d'un certain ordre de grandeur il en est tellement proche qu'on peut faire comme si pour tout application pratique. Et cela tend à l'infini vers un espace-temps minkowskien avec des géodésiques minkowskiennes.

**Zefram Cochrane** · 12/06/2012, 11h36

Bonjour,
Reprenons la formule
$\text{[math]}$

Le photon de longueur d'onde $\text{[math]}$ est émis depuis le point R et $\text{[math]}$ (j'ai changé par rapport à ta formule le sens d'émission pour que l'observateur soit à l'oo parce que s'il était à une distance R du TN, de son point de vue, il se trouverait à une distance R').
Comme l'énergie E du photon est $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Dans le cadre de la métrique de Schwarzschild classique (C est constante). Pour une particule ponctuelle de masse m :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
avec V = la vitesse de libération.
donc :
$\text{[math]}$

donc : $\text{[math]}$

Donc même si c'est de moi, cela devrait être normalement être avéré sinon, filez moi le prix Nobel et les 5 millions de dollars qui vont avec.
Mon RIB : 17515 00600 0567442536 23
Cordialement,
Zefram

**Zefram Cochrane** · 13/06/2012, 05h24

Bonjour Mailou,
juste un petit détail, $\text{[math]}$ est avéré puisque la vitesse de libération s'écrit $\text{[math]}$ .
Tu as une idée derrière la tête?

cordialement,

Zefram

**Mailou75** · 13/06/2012, 13h16

Envoyé par Zefram Cochrane

Bonjour Mailou,
juste un petit détail, $\text{[math]}$ est avéré puisque la vitesse de libération s'écrit $\text{[math]}$ .

Oui oui j'ai vu cette égalité sur wiki, donc ça doit être juste !!
En graph ça colle en tout cas (voir piece jointe: les courbes sont superposées) (à noter : le z+1 est celui de l'emission, l'obs à l'inifini voit un objet en R avec 1/z+1>1
(ex: R=4500m 1/z+1_∞= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ _v= $\text{[math]}$ pour v=0.816c)

Par contre pour le sens c'est plus obscur : ça veut dire que pour qu'un objet ne tombe pas dans le puits gravitationnel il doit aller à v pour faire du sur place vis à vis de l'obs à l'infini ??
A v je ne m'éloigne pas de la planète, j’évite seulement de m'effondrer avec elle ?? Moi la matière qui se contracte ne me pose aucun problème

Faut voir une interprétation convenable de cette égalité : on mélange quand même du Schwarzschild en repère accéléré avec de la RR en repère inertiel ...
je ne serais pas étonné qu'on se fasse taper sur les doigts

Envoyé par Amanuensis

Il ne "devient" pas, à une distance au-dessus d'un certain ordre de grandeur il en est tellement proche qu'on peut faire comme si pour tout application pratique. Et cela tend à l'infini vers un espace-temps minkowskien avec des géodésiques minkowskiennes.

Ok c'est ce que j'avais compris de tes premières réponses, merci

A+
Mailou

**Zefram Cochrane** · 13/06/2012, 14h39

En fait, l'interprétation de la vitesse de libération est la vitesse verticale minimal de départ V' à partir du point R' d'une masse que doit avoir une masse m (flèche pour la visualisation) pour atteindre l'observateur à l'oo avec une vitesse nulle.
A contrario la vitesse de libération c'est aussi la vitesse atteinte par la flèche V à une distance R du TN lorsqu'elle est lâchée par l'observateur de référence à l'oo à une vitesse nulle.
Et c'est là qu'il y a un problème.
Je suis l'archer, pour moi je suis à une distance R' du TN je tire ma flèche, je n'arrive pas atteindre l'observateur de référence car $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

je dirais que ce n'est pas la RG et la RR qu'on mélange, c'est la RG et le théorème de l'énergie cinétique de Newton. Pourquoi?
Parce que pour déterminer Goo on utilise l'approximation des champs faibles.
c'est pour cela que la vitesse de libération est la même que celle que l'on peut déduire de la conservation de l'énergie mécanique.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse_de_lib%C3%A9ration

mais c'est normal

. La preuve en mécanique classique si tu calcules la vitesse de libération pour $\text{[math]}$ tu trouves bien que V=C

Je te montrerai ce soir deux trois bricoles pourrais tu me refaire ton schéma avec $\text{[math]}$ S'il te plait et me le comparer à celui qui précède?
merci
Zefram

**Mailou75** · 13/06/2012, 15h16

Envoyé par Zefram Cochrane

Je te montrerai ce soir deux trois bricoles pourrais tu me refaire ton schéma avec $\text{[math]}$ S'il te plait et me le comparer à celui qui précède?

Salut,

On a déjà vu que cette formule est une approximation pour les champs faibles, pourquoi s'y intéresser quand on traite des TN ?

**Zefram Cochrane** · 13/06/2012, 15h34

parce que pour les champ faibles:
on a $\text{[math]}$ certes,
Xg est une approximation de Xs
mais on a également :
$\text{[math]}$
Xs² est une approximation de Xg²

**Mailou75** · 13/06/2012, 16h04

Envoyé par Zefram Cochrane

parce que pour les champ faibles:
on a $\text{[math]}$ certes,
Xg est une approximation de Xs
mais on a également :
$\text{[math]}$
Xs² est une approximation de Xg²

Euh oui tu les mets au carré... ça reste une approximation, je trouve le problème suffisamment complexe pour ne pas s'encombrer d’approximations.
Quel est le but, je ne te suis pas ?

**Zefram Cochrane** · 13/06/2012, 16h25

Quand tu fais l'approximation $\text{[math]}$
Il n'y a pas de lézard car l'approximation ne peut pas être retournée.
Or l'équation des champs, d'où on tire Xs² utilise cette approximation, contrairement à Xg² et Xs² approximatise Xg².
De Xs² on en déuit Xs et il s'avère que Xg approximatise Xs.
Bref si tu utilise l'équation des champs Xg² est une approximation de Xs²; si tu utilise les facteurs spatiotemporel Xs est l'approximation de Xg.

Qui est l'approximation de qui? Xs de Xg ou Xg² de Xs²?

Ce soir je te montrerais comment au point R, le facteur spatiotemporel Xs peut être le même quelque soit le point de vue de l'observateur à l'oo ou l'observateur local et par conséquent que la vitesse de libération au point R est unique et ne dépend pas du référentiel ou elle est mesurée.
Zefram

**Mailou75** · 13/06/2012, 20h18

Ça parrait logique, ma Vlib ne dépend pas de qui me regarde
Pour ton graph j'ai pas eu le temps, je te fais ça plus tard

**Zefram Cochrane** · 13/06/2012, 23h06

Bonsoir,
La petite démonstration.
D'après le principe de la conservation de l'énergie mécanique,
http://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse_de_lib%C3%A9ration
en mécanique classique un corps en chute libre depuis l'oo arrive en R à la vitesse de libération.
Em = Ec+Ep = 0 (car Ep est une quantité négative).
En Relativité, l'énergie totale peut s'exprimer ainsi Etot = Eo + Em = mc²
ce qui fait que nous pouvons écrire l'égalité suivante :
$\text{[math]}$
ou encore :
$\text{[math]}$
C' la vitesse de la lumière en R
V la vitesse de libération
R la distance entre l'observateur local et le centre du TN mesuré par l'observateur à l'oo
nous savons que [TEX]R' = \gamma_g R[TEX] R' la distance mesurée par l'observateur locale le séparant du centre du TN
Comme à la vitesse de libération $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
d'où $\text{[math]}$
Si je défini le rayon du TN $\text{[math]}$ en utilisant la même méthode qu'ici:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Dilatation_du_temps
mon équation devient :
$\text{[math]}$
ce qui est intéressant car je peux donner déjà une valeur à R
maintenant posons : $\text{[math]}$ C est la vitesse de la lumière de l'observateur de référence à l'oo.
Je peux écrire :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
d'où :
$\text{[math]}$
En définissant le rayon du TN $\text{[math]}$
j'obtiens :
$\text{[math]}$
comme $\text{[math]}$ je déduis que $\text{[math]}$
j'aurais pu aussi en arriver à la même conclusion avec $\text{[math]}$
bref, $\text{[math]}$

Plus généralement: Si je suis un observateur situé à une distance Z (où la vitesse de la lumière est Cz) du centre du TN pour une distance
Rz du TN de rayon Ro;z
$\text{[math]}$
Le facteur spatiotemporel lié à la gravition est indépendant de l'altitude Z>Ro;z et il est unique pour une distance Rz. On en déduit que la vitesse de libération ne dépend pas non plus du référentiel (fixe) de l'observateur.

Pour calculer le rayon du TN on aurait pu aussi considérer qu'étant donné que plus la distance R est petite et plus la vitesse de la lumière locale est faible, alors à la surface du TN elle devient nulle et
$\text{[math]}$ implique que $\text{[math]}$

pour un mobile quelquonque de masse m en chute libre dans un champ de gravitation à symétrie sphérique son énergie totale $\text{[math]}$ est constante.

En conclusion on voit bien qu'on est obligé de poser la vitesse de lumière variable $\text{[math]}$ si on ne veut pas que le facteur spatiotemporel lié à la gravitation où la vitesse de libération dépende du référentiel (fixe) de l'observateur.

J'ai deux petite questions:
1)Une vitesse de la lumière variable dans les conditions que j'ai décrites plus haut n'implique t'il pas que la variation de la vitesse de la lumière soit à l'origine du phénomène de gravitation?
2)Vu le principe d'équivalence, si le mobile accélère par ses propre moyens à accélération constante; en vertu du principe d'équivalence, ne pouvons nous pas définir puisque nous connaissons R un facteur spatiotemporel lié à la gravitation représentatif de cette accélération?
Cordialement,
Zefram

**Mailou75** · 14/06/2012, 00h43

Salut,

Désolé mais je décroche sur tes démonstrations

mais je dirais :

1) Tu te fais du mal, faire varier C ou faire varier T c'est pareil ! (il me semble)
2) Po compris ...

Sinon voilà ton graph

A+
Mailou

**Mailou75** · 14/06/2012, 02h04

Toi qui es fort en maths ça donnerait quoi la dérivée de $\text{[math]}$ (A=2GM x=R et f(R)=v

)
Ça aurait le sens d'une accélération ?

Merci
Mailou

**Zefram Cochrane** · 14/06/2012, 08h53

Bonjour,
pour ta question: $\text{[math]}$

concernant les points :
1) Je n'est pas compris parce que tu voulais dire par faire varier C t faire varier T c'est la même chose (je ne suis pas certain du sens de T (temps?)

2) si tu prend une fusée qui accélère de manière continue. Puisque l'accélération est équivalente à un champ de gravitation et que l'on peu facilement exprimer le facteur spatiotemporel dans un champ de gravitation. Peut être pouvons nous en définir un pour l'accélération puisqu'il suffit de multiplier ce facteur par celui lié à la gravitation pour avoir les rapport entre R et R' et d'autres bricoles.
Zefram

**Mailou75** · 14/06/2012, 14h17

Envoyé par Zefram Cochrane

Bonjour,
pour ta question: $\text{[math]}$

concernant les points :
1) Je n'est pas compris parce que tu voulais dire par faire varier C t faire varier T c'est la même chose (je ne suis pas certain du sens de T (temps?)

2) si tu prend une fusée qui accélère de manière continue. Puisque l'accélération est équivalente à un champ de gravitation et que l'on peu facilement exprimer le facteur spatiotemporel dans un champ de gravitation. Peut être pouvons nous en définir un pour l'accélération puisqu'il suffit de multiplier ce facteur par celui lié à la gravitation pour avoir les rapport entre R et R' et d'autres bricoles.
Zefram

Salut et merci,

Alors ça donne (V)'=-g/V en Hz... pas vraiment une accélération
Et g est défini en dessous de Rs, ça ne doit pas avoir de sens désolé pour le dérangement

1) Je me répète mais c'est toujours la même chose $\text{[math]}$ =c.T
Si $\text{[math]}$ varie (ce qui est mesuré avec les raies spectrales) il te reste deux possibilités : faire varier c ou T, ce qui est équivalent dans le calcul !
Sauf... que si tu emmène (vitesse non relativiste) une horloge loin d'une masse son temps passe plus vite,
et ce dans les mêmes proportions que le décalage des longueurs d'onde (1/z+1), tu as donc la réponse à ta question !
Pour nos instruments de mesure il est plus simple de dire que c est constante (même si mathématiquement tu peux faire des "permutations")
(ex que j'avais donné une fois, si je ne me suis pas trompé... sur terre, dans le dernier mètre avant la surface, la lumière ralentit de 2 x 9.81 / 299792458 = 0,23mm/h)

2)

bon courage

A+
Mailou

**Zefram Cochrane** · 14/06/2012, 15h21

Salut Mailou
merci pour ton schéma
mais a tu pris pour V/C la formule $\text{[math]}$ ?

L'énergie d'un photon ne varie pas quand il descend ou remonte un champ de gravitation donc $\text{[math]}$
la pulsation est une valeur propre au photon
mais si tu est un observateur local qui émet un photon en direction de l'observateur à l'oo.
Tu émet un photon d'énergie $\text{[math]}$ ; pour toi son énergie sera
$\text{[math]}$
or on sait que $\text{[math]}$
donc comme l'énergie du photon ne varie pas, pour l'observateur de référence recevra un photon d'énergie
$\text{[math]}$
mesurant la période, pour lui son énergie (calculée ) sera
$\text{[math]}$
et comme, $\text{[math]}$ l'énergie du photon sera
$\text{[math]}$

Zefram

**Mailou75** · 14/06/2012, 16h10

Envoyé par Zefram Cochrane

Salut Mailou
merci pour ton schéma
mais a tu pris pour V/C la formule $\text{[math]}$ ?

Non !? $\text{[math]}$ et v/c le rapport entre v et c

Fallait pas ?

J'ai bien envie d'ajouter la gravité g_R=GM/R² pour voir...

**Zefram Cochrane** · 14/06/2012, 19h11

Non car c'est la V=C multiplié par la formule est la vitesse de libération pour Xg
pour la gravité tu peux faire le schéma pour les deux cas (Xs et Xg) en prenant R' pour GM/R'²
Zefram

**Mailou75** · 14/06/2012, 19h27

Arf, envoie les formules que tu veux, évite les "prime" parce que je sais plus trop de quoi tu parles
celle pour g aussi si t'en veux une différente

**Zefram Cochrane** · 15/06/2012, 09h18

Bonjour Mailou,
Pour le premier schéma,
c'est de faire un graph avec $\text{[math]}$
et la vitesse de libération $\text{[math]}$

pour la force de gravitation il faut prendre le R local car l'expression de GM/R² est équivalente à une accélération propre.
Ce qui donne : pour Schwarzschild
$\text{[math]}$
et pour les bulles spatiotemporelles :
$\text{[math]}$
merci d'avance,

Zefram

**Zefram Cochrane** · 18/06/2012, 12h25

Salut Mailou,
tu m'a zappé sur ce coup là?
On ne peux plus t'envoyer de MP car a boite est pleine.
Zefram

**Mailou75** · 20/06/2012, 13h15

Envoyé par Zefram Cochrane

On ne peux plus t'envoyer de MP car a boite est pleine.

Oui désolé, c'est Arxiv qui a fait exploser ma boite à lettre

Envoyé par Zefram Cochrane

tu m'a zappé sur ce coup là?

J'ai pas eu bcp de temps pour le fofo ces derniers temps, mais j'essayerai de te les faire

(En fait j'ai survolé le problème et les "g" ne sont pas vraiment représentables sur la même échelle de graph)
Et pour suivre un peu tes échanges avec Gloubi il ne semble pas approuver ta vision des choses

Je te fais ça quand j'ai un peu de temps devant moi

A+
Mailou

**Mailou75** · 21/06/2012, 01h16

Salut,

Voilà ton graph, toujours une bonne approximation loin de Rs (si j'ai bien compris

)

........

Mais je reviendrais bien sur l'égalité des facteurs : Z+1 = 1 / $\text{[math]}$ (pour Vlibération)
Autant en calcul ça semble couler de source autant en compréhension c'est pas évident

Ce que je comprends c'est que l'observateur à l'infini voit le voyageur à Vlib faire du sur place,
le redshift du à sa position par rapport au Rs est compensé par le blueshit de sa Vlib, il est "neutre", immobile (???) pour l’observateur à l'infini
(Ou est-ce juste son temps qui passe à la même vitesse ?...)
Je sens bien qu'il y a une faille dans le raisonnement mais je n'arrive pas à comprendre cette égalité

Merci d'avance
Mailou

NB : pour les "g" je laisse tomber désolé, il faut des échelles logarithmiques, je le sens mal

La relativité générale appliquée à l’intérieur d’un trou noir.

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