relativité et matière noire

[vaincent]

Salut,

un message pour vous tenir au courant de l'avancement des choses. Je viens de reprendre ce matin les calculs de et pour la chute radiale (je l'aurai!). Puisqu'on est jamais mieux servi que par soi-même, je fais moi-même le calculs des primitives et intégrales en questions ! Je viens de retrouver , et ne devrait pas tarder. A suivre!
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[Zefram Cochrane]

Bon courage,
j'ai hâte de connaître le résultat.

Cordialement,
Zefram

[vaincent]

Et voilà :



où , , et

En fait l'intégration n'est pas si compliqué que ça. J'aurais dû me lancer dès le début plutôt que d'utiliser Mathematica qui demande une bonne maîtrise pour s'assurer d'obtenir le résultat correcte.

En bidouillant cette expression on retrouve ce qui a été déjà été fait sur ce sujet(assez peu finalement), et les courbes sont similaires : au départ(de la chute) et se suivent, puis à mesure que l'on se rapproche de Rs, la "durée coordonnée" tend vers l'infini alors que la durée propre augmente à peine. Schwarzschild Coordinate Time ou encore Radial Paths in a Spherically Symmetrical Field

[Zefram Cochrane]

Je te remercie Vaincent pour ces résultats,

L'équation montre bien que pour Rt>> Rs la durée d'un bond depuis une distance Rt pour une vitesse de départ Vt < Vlib est approximativement égale pour l'observateur mobile qui effectue le bond et l'observateur terrestre mais que dans l'absolue, Delta t > Delta tau

merci encore pour ton travail et les liens


Cordialement,
Zefram

[vaincent]

Pas compris... c'est la même ?!

Oui, c'est écrit que la courbe en jaune est le temps coordonnée, donc aussi bien pour r>Rs que pour r<Rs. D'ailleurs dans les liens que je viens de donner on y retrouve la même courbe.

Ça s'utilise comment ce biniou ?! C'est quoi p ?..

p est une constante égale à r(pi/2) ! On montre que p=a(1-e²). Sinon c'est une équation polaire, on fait varier theta entre 0 et 2pi et cela nous dessine l'ellipse.

1 - On cherche c'est à dire le temps du "voyage" pour l'observateur à l'infini dans le cas d'une trajectoire verticale

ça c fait!

2 - On aimerait bien savoir si le voyageur retombe plus jeune ou plus vieux, pour rappel c'est la question initiale

Je crois que tu es victime du syndrôme du poisson rouge! Voir message #87.

[Zefram Cochrane]

En application numérique pour le pulsar,
je trouve
Delta Tau = 81.63 ms
et
Delta T = 81.85 ms.
Cordialement,
Zefram

[vaincent]

En application numérique pour le pulsar,
je trouve
Delta Tau = 81.63 ms
et
Delta T = 81.85 ms.
Cordialement,
Zefram

Qu'on soit bien d'accord sur les données afin que l'on trouve les même résultats exactement: je prends Ro=1000 km, Rs=4.15 km, r= 15 km et c= 3.10^5 km/s.
Je trouve Delta \tau = 81.215 ms et Delta t = 176.91ms.
Je ne fais plus du tout confiance à Mathematica concernant la valeur de 82 ms que je trouvais auparavant pour Delta t, vu les problèmes que j'ai eu jusqu'ici! A là fois, il est tout à fait normal de trouver une telle différence pour un objet relativiste, Delta t devant tendre vers l'infini lorsque r tend vers Rs.

[vaincent]

En application numérique pour le pulsar,
je trouve
Delta Tau = 81.63 ms
et
Delta T = 81.85 ms.
Cordialement,
Zefram

Qu'on soit bien d'accord sur les données afin que l'on trouve les même résultats exactement: je prends Ro=1000 km, Rs=4.15 km, r= 15 km et c= 3.10^5 km/s.
Je trouve Delta \tau = 81.215 ms et Delta t = 176.91ms.
Je ne fais plus du tout confiance à Mathematica concernant la valeur de 82 ms que je trouvais auparavant pour Delta t, vu les problèmes que j'ai eu jusqu'ici! A là fois, il est tout à fait normal de trouver une telle différence pour un objet relativiste, Delta t devant tendre vers l'infini lorsque r tend vers Rs.

[Zefram Cochrane]

Je trouve ton résultat logique vu la proximité avec le TN,
pour Delta Tau je trouve bien 81.215ms pour Delta t : 81.444ms avec tes valeurs











Cordialement,
Zefram

[vaincent]

Tu as mal dû rentrer les données. Déjà pour je trouve 251 !

[vaincent]

Et pour Ro/c =1000/(3.10^5)=1/300=0.0033333333333.... !

[Zefram Cochrane]

C'était le Ro/c
je trouve comme toi 176.9108 ms

Avec mes valeurs 1.4 MO c= 299 792 458
Delta Tau = 81.63ms
Delta T = 176.79 ms

Cordialement,
Zefram

[vaincent]

Bon ben nickel !! Je suis en train de déterminer, pour en finir avec la chute radiale, ce que je note , la durée de chute du point de vue d'un observateur fixe à la surface de l'astre.

[Zefram Cochrane]

Pour un observateur fixe à Z du centre du TN, ne suiffit t'il pas d'appliquer la formule ?
Zefram

[vaincent]

Pour un observateur fixe à Z du centre du TN, ne suiffit t'il pas d'appliquer la formule ?
Zefram

Non, dt' ne peux pas jouer le rôle d'invariant (d\tau). On part de :



or dr'=0 puisque r' est une quantité fixée. A présent on note la distance de la surface au centre de l'astre, et la durée de chute de l'observateur mobile du point de vue d'un observateur fixe à la surface de l'astre. Donc :



On a donc

J'ai fait le calcul d'une autre façon en égalant la métrique précédente à celle contenant dt et dr, ce qui est beaucoup plus compliqué, puisqu'on a une nouvelle intégrale à calculer, mais au final on trouve exactement la même chose. C'est rassurant!
Mais ce n'est pas vraiment ce à quoi je m'attendais. On avait trouvé, il y a longtemps, que l'observateur mobile "revenait" toujours plus vieux(peu importe de considérer ici uniquement le retour, la situation étant complètement symétrique). Mais si on regarde l'équation (43) du cours de S. M. Caroll, qui peut être écrite sous la forme :



on voit rapidement que E/mc² >1 ainsi que le facteur voisin pout tout r>Rs, et donc que dt>d\tau, ce qui est complètement cohérent avec ce qu'on vient trouver(même si dt représente un intervalle de temps infinitésimal de l'observateur à l'infini, le principe est le même). Donc je pense qu'on peut conclure, que l'on s'était trompé auparavant et que l'observateur mobile revient toujours plus jeune!

[vaincent]

Remarque : On aurait dû s'y attendre puisque cela est cohérent avec le temps de vie des muons dans l'atmosphère. cqfd!

[Zefram Cochrane]

Ce fil est décidément plein de rebondissement.

[vaincent]

Ce fil est décidément plein de rebondissement.

Tu veux dire, plein d'erreurs !

[Zefram Cochrane]

Remarque : On aurait dû s'y attendre puisque cela est cohérent avec le temps de vie des muons dans l'atmosphère. cqfd!

Bonsoir,
le fait que nous recevions des muons produite dans la haute atmosphère au niveau du sol ne valide t'il pas plutôt la RR que la RG?

Cordialement,
Zefram

[vaincent]

Salut,

Bonsoir,
le fait que nous recevions des muons produite dans la haute atmosphère au niveau du sol ne valide t'il pas plutôt la RR que la RG?

Cordialement,
Zefram

Non car il n'y a pas de compétition entre les 2. La RR est naturellement inclue dans la RG. On a trop souvent tendance à faire la séparation : vitesse/RR VS gravitation/RG. Mais la RG tient compte des 2 effets à la fois, vitesse + gravitation.

Sinon, concernant notre sujet actuel, le cas général des orbites elliptiques(ou paraboliques ou hyperboliques). C'est vrai que dans un premier temps, il me semblait plus naturel de s'inspirer de la résolution classique usuelle du problème de Kepler, mais au final, je pense que l'approche que l'on a eu jusqu'à présent n'est pas mal non plus. Elle est moins ardue mathématiquement(concrètement on se passe des formules de Binet), et fait mieux apparaître la physique sous-jacente. Je la juge donc très intéressante sur le plan pédagogique(pour moi aussi!)

Pour qu'on soit bien d'accord sur les conditions initiales, je vais ai fait un petit dessin! (désolé pour le caractère rudimentaire du truc!)



Le disque bleu représente l'astre, est le vecteur vitesse à t=0 qui fait un angle avec l'axe des x(ce sont donc des données du problèmes, supposées connues). Les vecteurs et sont ceux de la base polaire. En effet naturellement dans ce genre de problème on décrit la trajectoire du mobile en coordonnées polaire , puisque tout le mouvement se passe dans le plan xOy (on verra plus tard pourquoi). Je vous ai trouvé un petit cours sur le repérage d'un point dans l'espace. Bien sûr il est beaucoup trop complet, mais les dessins expliquent bien ce qui nous intéressent. Notamment le paragraphe 5 sur les coordonnées sphériques. Dans notre cas (puisqu'on est dans le plan xOy) et donc les coordonnées sphériques se réduisent aux coordonnées polaires.(je donnerai plus d'explications si nécessaire)

La différence principale avec le cas purement radial est l'écriture de la conservation de l'énergie. Au point culminant de la trajectoire(ou au point de chute de façon équivalente), on obtenait une expression simple de l'énergie, puisque la vitesse y est nulle. Ici, il n'existe aucun point de la trajectoire où la vitesse sera nulle. Il faudra tout de même choisir un point particulier pour y écrire l'énergie. Pour l'instant j'ai choisis justement le point de départ, mais peut-être que cela changera par la suite(par exemple l'apogée qui est le point de la trajectoire le plus éloignée du centre de l'astre).

On peut d'ors et déjà chercher à écrire la métrique de Schwarzschild dans le cas qui nous intéresse(base sphérique avec ). Je le ferai dans un prochain message. Bon week-end!

[vaincent]

Alors ce problème classique Zefram ? S'en est où ?!

[Zefram Cochrane]

!salut Vaincent,
je révise actuellement mes bases (Berkeley mécanique vol1 )
J'ai fait lezs veteurs chap2 ; l'invariance galiéenne , je suis sur la conservaion de l'énergie, je passerrai ensuite au chapitre loi de force en invers ² et là je devrais être OK sur leqs orbites elliptiques.

Par contre, je n'ai aucune nouvelle de Mailou.
J'aurai pensé qu'il nous aurait fait part de quelques schémas depuis que nous avons les formules exactes.

Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Salut x2,
suis en plein déménagement pas d'ordi !
Ne croyez pas que je sois impoli, je répond dès que je peux!
(nottament sur le fait que le voyageur retombe en fait plus JEUNE ...
Si j'ai suivi ce qu'a dit Vincent ?? )
a bientôt

[vaincent]

ok à bientôt!

[Mailou75]

Reuh !

Alors je rembobine un peu, j'ai pris du retard

Et voilà :



où , , et

En fait l'intégration n'est pas si compliquée que ça. J'aurais dû me lancer dès le début plutôt que d'utiliser Mathematica (...)

Bravo !!
(On est jamais si bien servi que par soi même)

Oui, c'est écrit que la courbe en jaune est le temps coordonnée, donc aussi bien pour r>Rs que pour r<Rs. D'ailleurs dans les liens que je viens de donner on y retrouve la même courbe.

Oui effectivement les courbes sont similaires.
Donc depuis un moment tu m'expliques que mes extrapolations de v sous Rs sont impossibles
et maintenant on arriverait à définir des temps de chute sous Rs en restant en Schwarzschild ?? Pas clair tout ça

p est une constante égale à r(pi/2) ! On montre que p=a(1-e²). Sinon c'est une équation polaire, on fait varier theta entre 0 et 2pi et cela nous dessine l'ellipse.

Merci. Laissons ça de coté (mais j'y reviendrais )

Qu'on soit bien d'accord sur les données afin que l'on trouve les même résultats exactement: je prends Ro=1000 km, Rs=4.15 km, r= 15 km et c= 3.10^5 km/s.
Je trouve Delta \tau = 81.215 ms et Delta t = 176.91ms.

A là fois, il est tout à fait normal de trouver une telle différence pour un objet relativiste, Delta t devant tendre vers l'infini lorsque r tend vers Rs.

Alors OK pour l'application numérique je trouve la même chose au pouillème près avec ta nouvelle formule
et on vérifie que pour un cas non relativiste (la Terre par exemple) les différences de temps de chute sont en μs pour des trajets en heures (soit keud)
donc jusqu'ici la formule semble coller...

MAIS ça se gâte quand j'essaye un cas limite de chute jusqu'à Rs :
Exemple M=Ms, Rs=3km, Ro=8Rs=24km on trouve (pour une chute de Ro à Rs) =0,000349s et =0,020358s
A la limite le résultat on s'en moque mais ce qu'on remarque c'est que prend une valeur finie et non pas infinie comme on pourrait s'y attendre !
Du coup pas d'asymptote en Rs, pas de courbe, snif...

Donc je pense qu'on peut conclure, que l'on s'était trompé auparavant et que l'observateur mobile revient toujours plus jeune!

QUOI ?!? Ca ne semble pas être cohérent avec tout ce qu'on a vu jusqu’ici, notamment les courbes du message #357
(sur lesquelles j'attendais une petite critique du principe de "conservation d'énergie") qui disent l'inverse !
En plus tu contredis ce que disais Gloubi... pourrais tu faire une démonstration de ce que tu avances stp ?

Je suis en train de déterminer, pour en finir avec la chute radiale, ce que je note , la durée de chute du point de vue d'un observateur fixe à la surface de l'astre.

D'ailleurs c'est cette donnée t' qui permettrait d'avoir un résultat exact sur les différences d'âge !

Pour qu'on soit bien d'accord sur les conditions initiales, je vous ai fait un petit dessin! (désolé pour le caractère rudimentaire du truc!)

Perso ça me va très bien
Par contre, afin que le problème recouvre le cas général, je suggèrerais que Vo soit à une altitude Ro (qui n'est pas forcément la surface de l'astre)

A bientôt
Mailou

[Mailou75]

Re,

Mea Culpa la formule est bonne, c'est la précision d'excel qui ne l'est pas...
J'aurais du me douter que deux ordres de grandeur pour excel c'est l'infini

Donc ci jointe la courbe t donnée par la formule de Vincent citée au dernier message
(j'ai un peu changé l'échelle de temps par rapport aux anciens graph mais la courbe est toujours la même)

On voit donc en effet que du point de vue du voyageur (bleu) la vitesse ne fait qu'accélérer,
alors que pour l'observateur à l'infini (rouge) la vitesse commence par augmenter puis diminue à l'approche de Rs
(symbolisé par les points sur les courbes: espace parcouru en x pour un temps régulier en t)

Ceci est donc parfaitement cohérent avec le graph des vitesses (par ex : http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4403148 )
(rose : voyageur / rouge : obs à l'infini)

Toutefois, si la formule nous donne une courbe conforme aux graphs des différents lien cités plus haut, elle ne donne que la partie au dessus de Rs !
(Bon en même temps j'ai du mal à comprendre le sens de la courbe t en dessous de Rs, donc ça ne me dérange pas trop )

Donc pour ma part on peut enchainer sur les autres questions :
-t' pour l'observateur à la surface de l'astre pour savoir qui est plus vieux/jeune ?
(même si il me semblait que c'était plutôt clair, Vaincent à quand même supposé l'inverse et il serait bon d'avoir une réponse définitive sur ce point)
-Les ellipses (là je sens qu'on va en ch...)

PS: pour t' j'ai ma petite idée, je vous en fait part dès que j'ai le temps

A+
Mailou

[Mailou75]

Ma petite idée pour t'
(temps mesuré par l'observateur fixe à la surface de la planète, en Ro)

Si on suppose que la différence d'écoulement du temps entre (voyageur) et t'
est tenue par deux facteurs : RR () et RG (z+1) alors on a simplement :



où >1 et z+1<1

avec

et calculé sur la base de (donnée par Vaincent)

Bon... vu le niveau actuel des formules je dois être loin du compte
(Rien que le fait de prendre vl (vitesse locale) parait douteux...)
C'est quoi la bonne méthode ? calculer une troisième vitesse V_{observateur fixe} puis dériver ..?

Merci d'avance
Mailou

[vaincent]

Ma petite idée pour t'
(temps mesuré par l'observateur fixe à la surface de la planète, en Ro)

Si on suppose que la différence d'écoulement du temps entre (voyageur) et t'
est tenue par deux facteurs : RR () et RG (z+1) alors on a simplement :



où >1 et z+1<1

avec

et calculé sur la base de (donnée par Vaincent)

Bon... vu le niveau actuel des formules je dois être loin du compte
(Rien que le fait de prendre vl (vitesse locale) parait douteux...)
C'est quoi la bonne méthode ? calculer une troisième vitesse V_{observateur fixe} puis dériver ..?

Merci d'avance
Mailou

Salut,

Si ça c'est pas de la cuisine, je sais pas ce que c'est!

Ce qu'il faut bien voir, c'est que Delta Tau a été calculer grâce à la métrique de Schwarzschild, qui, comme je l'ai déjà dit, contient implicitement les facteurs gamma et z+1 (la RR étant contenue dans la RG). Pas besoin de rajouter quoique ce soit à la main. Je montre dans le dernier message de la page précédente(#375) comment calculer Delat t' . Le calcul simple(en se basant sur le temps propre) et le calcul compliqué(en se basant sur le temps coordonnée) donnent exactement le même résultat!! Je suis donc presque sûr à 100% de la pertinence de la chose. Je réagirai à tes autres messages demain, aujourd'hui, pas le temps.

[Mailou75]

Salut,

Si ça c'est pas de la cuisine, je sais pas ce que c'est!

Je m’entraîne pour Top Chef !

Je montre dans le dernier message de la page précédente(#375) comment calculer Delat t' .

Ok j'avais raté ça...

Mais ton résultat me semble trop simple :

Diviser par un facteur fixe me semble étrange.

D'une part car le facteur z+1 que tu utilses n'a de sens que par rapport à l'observateur à l'infini (pas n'importe lequel sans le déterminer, il n'y a que la "moitié" du terme que j'utilise) donc déjà j'aurais mieux compris si tu avais écrit dt'=dt/z+1

D'autre part car la distorsion du temps liée à la vitesse relative (RR) ne semble pas être prise en compte,
dans ton résultat on dirait que seule la RG (z+1 constant ?) joue un role.

A moins que tout ceci soit déjà compris dans mais ne vois pas trop comment ?

Merci d'avance

[Zefram Cochrane]

Bonjour Mailou,
l'explication de Vaincent se trouve ici : http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4435951

on a




d'où le résultat.

Cordialement,
Zefram