relativité et matière noire

**vaincent** · 06/02/2013, 17h58

Envoyé par Zefram Cochrane

J'ai un soucis avec tanh-1, la fonction n'est pas définie pour oo ( pour r = Ro ) dans le cadre de l'exercice.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_hyperbolique

Oui c'est bien ce qui me semblait, l'intégrale est divergente! Mais cela nest peut-être qu'une apparence. Dans ce type de cas, l'expression de la primitive en Ro peut-être obtenue en terme de limite c-à-d où r tend vers Ro. Et la limite, elle, peut tout à fait être finie.

**vaincent** · 07/02/2013, 10h27

Donc c bon en effet l'intégrale est définie. Dans ce lien, je l'ai calulé pour des valeurs de Rs, Ro, et R pas du tout réalistes (Rs=0.1 et Ro=1 et R=0.5) mais cela permet d'illustrer que le calcul est possible. Attention le facteur de $\text{[math]}$ dans ton message #209 n'est pas $\text{[math]}$ mais $\text{[math]}$ (que j'ai d'alleurs inclu dans l'intégrale) et il y a le facteur c également. Concrètement, et à titre d'exemple, le temps de chute du point de vue d'un observateur à l'infini, pour passer de Ro= 1m à R=0.5m, avec Rs=0.1m est de 4.39675/3.10⁸ = 1,47.10^-8 s.(ça ne veux rien dire, c'est juste pour la méthode)

**Zefram Cochrane** · 08/02/2013, 09h15

Bonjour,
j'avoue que c'est déjà bien que l'on puisse faire un application numérique de la formule, mais je suis tout de même embêté pour le tanh-1.

Les conditions aux limites du genre xln(x) = 0 pour x->0, je connaissais. Mais ici, ce qui me pose problème est que la fonction $\text{[math]}$ pour r<Rs. Je suis surpris que tu obtiennes une réponse cohérente.

Cordialement,
Zefram

**vaincent** · 10/02/2013, 07h35

Envoyé par Zefram Cochrane

Bonjour,

Les conditions aux limites du genre xln(x) = 0 pour x->0, je connaissais. Mais ici, ce qui me pose problème est que la fonction $\text{[math]}$ pour r<Rs. Je suis surpris que tu obtiennes une réponse cohérente.

Cordialement,
Zefram

Oui j'étais tombé sur cette inégalité également. Il en effet étrange que cela ne pose aucun problème à Mathematica, mais il doit y avoir un truc mathématique qui m'échappe. MAIS..... par contre j'ai trouvé un résultat encourageant! Sans chercher à l'intégrer, la formule nous donne tout de même la vitesse(observateur à l'infini).
Et donc j'au fait une comparaison classique/RG pour voir si on était pas trop dans les choux. J'ai choisi une altitude de "larguage" Ro=12000 km et R=6370 km (rayon terrestre), avec Rs= 9mm. Le calcul RG nous donne une vitesse juste avant d'atteindre la surface terrestre de 7728 m/s et le calcul classique(formules de Gloubi) de 7676 m/s ce qui fait une correction de l'ordre de 0.6 %, ce qui me semble tout à fait raisonnable pour une différence relative RG/classique!

**vaincent** · 10/02/2013, 08h14

Normal que la calcul numérique colle puisque analytiquement, on retrouve la vitesse classique en partant de la vitesse obtenue en RG lorsque Rs<<RT(rayon terrestre) et Rs<<Ro(altitude de chute)! On est dans le vrai!

Tu peux le vérifier par toi-même :

On appelle $\text{[math]}$ la vitesse en $\text{[math]}$ (après une chute donc de $\text{[math]}$ ).

*Calcul classique :

$\text{[math]}$

*Calcul relativiste :

$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$

**vaincent** · 10/02/2013, 10h33

Je crois savoir se qui cloche avec l'argument de la tanh^-1. Quand on fait une intégrale indéfinie avec Mathematica(avec des lettres), il ne sais pas quelles quantités sont plus grandes que les autres. Il fait donc des suppositions basées sur je ne sais quels choses internes à sa conception et écrit donc les arguments de fonctions selon ce qu'il croit être juste! Mais lorsqu'on fait un calcul numérique, là, plus de suppositions hasardeuses. Le calcul est correct. Ca m'était déjà arrivé en thèse, il ne faut pas prendre au pied de la lettre ce que nous dit Mathematica! Il faut donc écrire r-Ro au dénominateur de l'expression qui posait problème, et non laisser Ro-r. On trouve alors que r doit être > à une quantité négative(si Ro > 2Rs, et positive sinon), ce qui est toujours le cas ici.

**stefjm** · 10/02/2013, 11h02

Si mathematica est comme maple, il existe des instructions pour contraindre les données exprimées sous forme littérale du genre : assume r>0

http://reference.wolfram.com/mathema.../Assuming.html

**vaincent** · 10/02/2013, 19h30

Envoyé par stefjm

Si mathematica est comme maple, il existe des instructions pour contraindre les données exprimées sous forme littérale du genre : assume r>0

http://reference.wolfram.com/mathema.../Assuming.html

oui c'est vrai, merci j'avais oublié.

**Zefram Cochrane** · 11/02/2013, 13h41

Bonjour,
Avec les valeurs de Vaincent,
pour la mécanique classique, je trouve une vitesse finale de 7663 m/s pour une durée de chute de 602 s. Je pense que le résultat final doit être proche de ces valeurs puisque l'on peu considérer être en champs faibles et donc la valeur de 7676 est cohérente avec le résultat classique.
J'ai hâte de voir la formule final après l'imposition de la contrainte Rs < r < Ro

Cordialement,
Zefram

**vaincent** · 11/02/2013, 14h13

Bon , les problèmes ayant été réglé, on peut passer à une comparaison physique classique(PC)/RG. Pour le moment, on compare des temps de chute d'un objet à proximité d'un astre attracteur, entre un observateur situé à la surface de l'astre(qui peut aussi être considéré à l'infini puisque en PC le temps est absolu) et un observateur situé à l'infini (non-soumis à la gravitation de l'astre).
Pour l'exemple de la Terre j'ai choisis une position initiale(à t=0, et par rapport au centre de la Terre) de Ro=12000 km (qui correspond à une altitude h=12000-6400(rayon terrestre)= 5600 km), et une vitesse initiale nulle. La position finale est la surface de la Terre, donc R=RT=6400 km. On trouve :

*PC :

$\text{[math]}$ (environ 31 minutes)

*RG :

$\text{[math]}$

A la présicion des calculs près, on observe aucune différence, normal puisque la Terre n'est pas un objet relativiste. On pourrait faire des calculs plus précis afin dévaluer cette différence en injectant des données avec au moins 10 chiffres après la virgule, mais ici cela n'a que peu d'intérêt(on est pas en train de construire un gps!). Mieux vaut s'intéresser à un objet relativiste.

J'ai donc choisit comme 2ème exemple une étoile à neutron typique! Masse = 1.4 M_S, où M_S est la masse du Soleil, et d'un rayon de 15 km. L'objet est laché sans vitesse initiale à Ro = 1000 km(altitude 985 km), et sa position finale est la "surface" de l'étoile R=15 km. On trouve :

*PC

$\text{[math]}$

avec une vitesse moyenne de chute de 12000 km/s

*RG

$\text{[math]}$

avec une vitesse moyenne de chute de 39000 km/s

Là on est dans le relativiste, et l'écart est substantiel! La physique classique surestime clairement le temps de chute par rapport à la RG.
La dernière partie du travail consiste à faire une comparaison RG/RG (et donc quelques calcul théoriques au préalable) en comparant les temps propres de l'observateur terreste/étoile à neutron et de l'observateur jouant le rôle d'objet en chute libre cette fois-ci. A toi de jouer Zefram ! (ou toute personne qui désire le faire!)
.

**Zefram Cochrane** · 11/02/2013, 16h05

Je ne sais pas quel est le degré de précision des calculs, je n'ai pas accès au lien donc j'ignore si tu as posté la formule analogique.
Pour reprendre ton exemple de l'étoile à neutron, je trouve que le temps à la surface de l'étoile à neutron s'écoule à 92.85% de fois la vitesse d'écoulement du temps à l'oo.

donc 26 ms * 92.85/100 -> $\text{[math]}$
Pour $\text{[math]}$ il faudra faire une nouvelle intégration et faire appel à Mathématica une nouvelle fois normalement.
Cordialement,
Zefram

P.S le RS de l'étoile à neutron est 2067.85 mètres

**Mailou75** · 11/02/2013, 17h25

Envoyé par Zefram Cochrane

P.S le RS de l'étoile à neutron est 2067.85 mètres

Pas possib' ça ! Le Rs du soleil c'est ~3km, donc le Rs d'un objet de 1,4Ms c'est ~3x1,4 (4135,7m si on fait le calcul)

**Zefram Cochrane** · 11/02/2013, 17h31

exact Rs : 4135,7 mètres
donc $\text{[math]}$

Cordialement,
Zefram

**vaincent** · 11/02/2013, 19h40

Envoyé par Zefram Cochrane

Je ne sais pas quel est le degré de précision des calculs, je n'ai pas accès au lien donc j'ignore si tu as posté la formule analogique.

J'imagine que tu voulais dire analytique ! Dans mes messages précédents tout est dit. J'ai pris 4 chiffres significatifs pour l'exemple "Terre" et 2 pour "l'étoile à neutron", aussi bien dans les données, que dans les résultats(le nb de chiffres significatifs du résultat doit-être égal au plus faible nb de chiffres significatifs parmis les différentes données). Je suis partis des formules du messages #215 en posant RT=r et vT=dr/dt, puis on intègre entre 6400 km et 12000 km pour la Terre et entre 15km et 1000 km pour l'étoile à neutron, bien sûr en modifiant Rs et Ro pour chaque exemple.

Pour reprendre ton exemple de l'étoile à neutron, je trouve que le temps à la surface de l'étoile à neutron s'écoule à 92.85% de fois la vitesse d'écoulement du temps à l'oo.

donc 26 ms * 92.85/100 -> $\text{[math]}$
Pour $\text{[math]}$ il faudra faire une nouvelle intégration et faire appel à Mathématica une nouvelle fois normalement.

Ok, ça marche!

P.S le RS de l'étoile à neutron est 2067.85 mètres

Mailou à raison, en arrondissant je trouve Rs=4150m.

**vaincent** · 11/02/2013, 21h13

exemple : ici

**Zefram Cochrane** · 12/02/2013, 12h20

Bonjour,
je me suis lancé dans le calcul de $\text{[math]}$

Je suis parti des formules
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

pour E²/(mc²)² j'ai réinjecté c²dt² j'obtiens $\text{[math]}$ ce qui est normal étant donné que nous nous étions servi de la formule de conservation de l'énergie pour établir dt et que la formule de l'énergie en Ro est $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

-> $\text{[math]}$

ce qui donne théoriquement après intégration et si je ne me suis pas planté :

$\text{[math]}$

en Ro $\text{[math]}$

Cordialement,
Zefram

Je vais essayer de tenter un truc du genre pour $\text{[math]}$

**Zefram Cochrane** · 13/02/2013, 00h06

Bonsoir,
j'apporte une petite correction au mess précédent :
$\text{[math]}$
Ceci dit, j'aimerai bien une explication de ce résultat.
Cordialement,
Zefram

**Mailou75** · 13/02/2013, 01h50

Envoyé par Zefram Cochrane

$\text{[math]}$
Ceci dit, j'aimerai bien une explication de ce résultat.

Moi aussi, je le trouve sympa

C'est toujours R altitude max et Ro altitude de départ ?
Et $\text{[math]}$ le temps pour qui (Terrien, sauteur, mec à l'infini) ?
Le cas vaut-il uniquement pour un saut vertical (ou cas elliptiques) ?
Est ce une formule PC ou RG ?

Merci

**Zefram Cochrane** · 13/02/2013, 06h06

Bonjour Mailou,
Je la trouve trops sympa en fait.
Il s'agit du temps de chute pour le mobile dont on considère qu'il est immobile dans sont référentiel d'où la formule que tu as recopié dans ton mail pour Amanuensis

Pour le gars situé à la surface de l'étoile à neutrons, j'ai proposé une formule à Vaincent mais j'ai un doute.
Le cas ne vaut que pour un trajectoire radiale, dans le cas elliptique on doit avoir un terme en RdOdP pour la composante tangentielle de la trajectoire.

Il s'agit ici d'établir les relations exactes en RG pour les durées de saut entre le Terrien, le sauteur et l'observateur à l'oo.

**vaincent** · 13/02/2013, 08h28

Envoyé par Zefram Cochrane

-> $\text{[math]}$

ce qui donne théoriquement après intégration et si je ne me suis pas planté :

$\text{[math]}$

Je n'ai pas trop le temps de vérifier tous les calculs mais à première vue ça me semble faux! Il n'y a pas de dr à droite. C'est impossible. Une quantité infinitésimale doit forcément le rester(en étant éventuellement = à une expression où intervient une autre quantité infinitésimale). Là tu as une quantité infinitésimale qui peut prendre quasiment n'importe quelle valeur finie! Ca n'a pas de sens. Et puisqu'il n'y a pas de dr, qu'est-ce-qui te donnes le droit alors d'intégrer sur r ?!

**Zefram Cochrane** · 13/02/2013, 08h54

Correction
je me suis lancé dans le calcul de $\text{[math]}$

Je suis parti des formules
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

pour E²/(mc²)² j'ai réinjecté c²dt² j'obtiens $\text{[math]}$ ce qui est normal étant donné que nous nous étions servi de la formule de conservation de l'énergie pour établir dt et que la formule de l'énergie en Ro est $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

-> $\text{[math]}$

ce qui donne théoriquement après intégration et si je ne me suis pas planté :

$\text{[math]}$

Cordialement,
Zefram

Je vais essayer de tenter un truc du genre pour $\text{[math]}$

invitecaa8f314 · 13/02/2013, 10h27

Vous calculez quoi au juste ???

**Zefram Cochrane** · 13/02/2013, 10h46

On essaye de calculer le temps d'une chute libre en RG dans le cadre de la métrique de Schwarzschild de Ro à R
pour un observateur situé dans une capsule sans hublots lâché depuis Ro à une vitesse nulle.

Pour l'observateur terrestre fixe situé en R, et pour déterminer cette durée, il faut préalablement la calculer pour l'observateur à l'oo.

Cordialement,
Zefram

invitecaa8f314 · 13/02/2013, 10h52

Et ces calculs n'ont pas déjà été réalisés ?

**Zefram Cochrane** · 13/02/2013, 12h28

Je ne l'ai pas trouvé.

pour $\text{[math]}$

Je reprends la formule $\text{[math]}$

J'avais oublié le ² dans la formule précédente mais je l'avais pris en compte dans les calculs.

cela me donne $\text{[math]}$

-> $\text{[math]}$

Je n'ai pas fait la dérivation de vérification, elle est plutôt piquée des vers.

Cordialement,
Zefram

invitecaa8f314 · 13/02/2013, 13h01

Est-ce qu'on pourrait avoir un petit croquis ?

**Zefram Cochrane** · 13/02/2013, 13h13

Très désolé!!!!
pour $\text{[math]}$

Je reprends la formule $\text{[math]}$

J'avais oublié le ² dans la formule précédente mais je l'avais pris en compte dans les calculs.

cela me donne $\text{[math]}$

-> $\text{[math]}$

Je n'ai pas fait la dérivation de vérification, elle est plutôt piquée des vers.

Cordialement,
Zefram[/QUOTE]

invitecaa8f314 · 13/02/2013, 13h19

Envoyé par Zefram Cochrane

On essaye de calculer le temps d'une chute libre en RG dans le cadre de la métrique de Schwarzschild de Ro à R
pour un observateur situé dans une capsule sans hublots lâché depuis Ro à une vitesse nulle.

Pour l'observateur terrestre fixe situé en R, et pour déterminer cette durée, il faut préalablement la calculer pour l'observateur à l'oo.

Cordialement,
Zefram

Une chute libre d'un vaisseau vers quoi ? Depuis l'horizon d'un TN vers son centre ?? L'observateur terrestre est fixe par rapport à quoi ? Et pkoi ne pas mettre de hublots au vaisseau ???

Sinon, pourrais-tu me dire à quoi correspondent les termes R, Ro et oo ?

**Zefram Cochrane** · 13/02/2013, 14h04

ici Rs < R < Ro < oo (l'infini)
le vaisseau est lâché depuis une distance Ro du centre de la planète de rayon R; l'observateur rerrestre est fixe par rapport à l'observateur à l'infini (oo) et par rapport au centre.

Dans le cadre de cet exercice (j'ai fait une application numérique de mon Delta T et je trouve un truc totalement abherant et différent de Vaincent), on ne s'intéresse pour l'heure qu'à la durée; ce que voit l'observateur pendant sa chute n'entre pas en compte dans les calculs.

Cordialement,
Zefram

invitecaa8f314 · 13/02/2013, 14h28

Ok pour oo, je n'avais pas percuté que c'était le symbole infini ^^
Rs c'est le rayon de schwarzschild ??

relativité et matière noire

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