relativité et matière noire

[invite60be3959]

Bonjour,

Dans ton cours, qu'elle est le sens de cette phrase :
"Invariance dans le temps: conservation de l'énergie
L'invariance dans le temps conduit à la conservation de l'énergie, tandis que les trois invariances sous les trois rotations d'espace conduisent à la conservation des trois composantes du moment cinétique. Ceci s'applique également dans la métrique de Schwarzschild. "

En fait cela vient de ce que l'on appelle le théorème de Noether, qui dit grossièrement qu'à toute symétrie d'un système après application d'une transformation(invariance), correspond une quantité conservée. Par exemple, si la transformation appliquée est une translation dans le temps(t--> t + T), on constate une conservation de l'énergie (au cours du temps donc).

l'équation 43 : ne pourrait elle pas nous donner de solution exacte?
est ce que ?

Pour la 2ème question, oui c'est possible, mais pas obligatoire. Quant à la 1ère, déjà ce n'est pas , mais , mais effectivement, en se basant sur cette relation, et en posant la conservation de l'énergie, je trouve la formule exacte(ou sensée être exacte) qui est proche de celle de Mailou! Je vous l'écris tout de même :




Maintenant, je vais certainement pas m'amuser à vous écrire tous le calcul en TEX ! Ceux qui vondront la retrouver, vont devoir le faire eux-même. Je vous donne juste quelques indications:

- dans la formules (43), ne pas oublier de rajouter un c² à côté de r (l'auteur pose c=1)
- E est en unité de masse, on devrait donc poser E/mc², mais pas la peine puisque cela se simplifit ensuite.
- on pose et le s'exprime grâce à la métrique exacte de Schwarschild(sans les angles tout de même)
- On isole E, puis on pose la conservation de l'énergie E(r0,v0) = E(h,0)
- il y a pas mal de factorisation à faire, et ne pas oublier que dr/dt =v
-----

[invite60be3959]

Bonjour,

Pourrais tu en deux mots expliquer pourquoi stp?
Je ne comprends déjà pas bien pourquoi elle marche en champ faible, alors démontrer pourquoi elle ne marche pas en champ fort...

Elle n'est qu'approximativement valable qu'en champs faible, puisque justement on constate(numériquement) qu'elle le devient de moins en moins en champs fort!

Y'a pourtant que des valeurs relativistes dans la formule ( et z+1)

Ce n'est pas parce qu'il y a des quantités relativistes qu'elle est relativiste ! Tu l'as juste constaté sans expliquer d'où elle venait et donc sans argument physiques relativistes. Constater une égalité(approximative) numérique, n'impilque pas sa véracité théorique(analytique). Une vrai relation relativiste doit aussi bien marcher dans un cas purement relativiste que dans un cas purement non relativiste, d'où la confusion.

[Zefram Cochrane]

Je veux bien tenter ma chance pour comprendre la logique du résultat mais j'aurais besoin d'un guide
l'équation 43 :

Cordialement,
Zefram

[invitecaa8f314]

J'ai rarment vu un topic aussi compliqué... c'est pour faire fuire les trolls ?

[invite60be3959]

Je veux bien tenter ma chance pour comprendre la logique du résultat mais j'aurais besoin d'un guide
l'équation 43 :

Cordialement,
Zefram

Non E doit rester E dans l'équation(et ici E n'est pas égale à l'énergie totale en RR). Ce qu'il faut commencer par faire, c'est exprimer grâce à la métrique de Schwarschild.

[invite60be3959]

J'ai rarment vu un topic aussi compliqué... c'est pour faire fuire les trolls ?

C'est pas le but, mais à priori ça marche!

[stefjm]

C'est pas le but, mais à priori ça marche!

Attend toi à ce que Richard et son direct live rapplique...

[Zefram Cochrane]

Bonjour,


En fait cela vient de ce que l'on appelle le théorème de Noether, qui dit grossièrement qu'à toute symétrie d'un système après application d'une transformation(invariance), correspond une quantité conservée. Par exemple, si la transformation appliquée est une translation dans le temps(t--> t + T), on constate une conservation de l'énergie (au cours du temps donc).



Pour la 2ème question, oui c'est possible, mais pas obligatoire. Quant à la 1ère, déjà ce n'est pas , mais , mais effectivement, en se basant sur cette relation, et en posant la conservation de l'énergie, je trouve la formule exacte(ou sensée être exacte) qui est proche de celle de Mailou! Je vous l'écris tout de même :




Maintenant, je vais certainement pas m'amuser à vous écrire tous le calcul en TEX ! Ceux qui vondront la retrouver, vont devoir le faire eux-même. Je vous donne juste quelques indications:

- dans la formules (43), ne pas oublier de rajouter un c² à côté de r (l'auteur pose c=1)
- E est en unité de masse, on devrait donc poser E/mc², mais pas la peine puisque cela se simplifit ensuite.
- on pose et le s'exprime grâce à la métrique exacte de Schwarschild(sans les angles tout de même)
- On isole E, puis on pose la conservation de l'énergie E(r0,v0) = E(h,0)
- il y a pas mal de factorisation à faire, et ne pas oublier que dr/dt =v

Bonjour,

Je pose et

Je remarque que

Comme j'ignore la relation reliant à , pour la relation obtenue par Vaincent,
j'ai pour ma part :


où h est fixé et correspond à la distance r du centre du TN où le mobile est lâché avec une vitesse initiale nulle.

Avant d'aller plus loins, est ce que la démarche est bonne? Normalement j'obtiendrais la durée de chute du mobile pour un observateur fixe situé en ro < h .

Cordialement,
Zefram

[Zefram Cochrane]

Dans le mess précédent il faut lire

[invite60be3959]

Avant d'aller plus loins, est ce que la démarche est bonne? Normalement j'obtiendrais la durée de chute du mobile pour un observateur fixe situé en ro<h

Non ce n'est la bonne démarche, même si j'ai du mal à voir où tu veux en venir. Ce qui est certain c'est que v0 n'est pas égal à dr0/dt pour la simple et bonne raison que r0 et v0 ne varient pas en fonction du temps(donc dr0/dt = 0), ce sont des quantités fixées qui représentes les conditions initiales sur la vitesse et la position. Sans vouloir être trop direct, toutes les relations que tu as écrites sont fausses :
1)

ça ce n'est valable que lorsque la variation sur la position est nulle(dr=0). On utilise cette formule pour calculer la dilatation du temps relative à 2 observateurs fixent l'un par rapport à l'autre mais soumis à un champs de gravitation différent. La métrique de Schwarschild nous dit que(pour des variations d'angles nulles) :



Voilà la seule chose que l'on peut écrire pour .

2) La relation qui suit(dr' en fonction de dr) est également fausse en général. Elle n'est vraie que lorsque dt=dt'=0. Là aussi, oublie ça.

3) Celle qui vient ensuite est fausse pour les raisons que j'ai évoqué en début de message, et la dernière aussi puisqu'elle est basée des hypothèses fausses que je viens de te faire remarquer.



Je pense que tu t'égards. Quand on regarde ce fil avec un peu de recul, il y a 2 choses qui ont été faites :

1) A partir du message #38, Mailou voulait obtenir le temps de vol et la hauteur h atteinte pour un objet(observateur) éjecté perpendiculairement à la surface de la Terre(en posant que la vitesse initiale soit plus petite que la vitesse de libération afin qu'il puisse retomber) en fonction de la vitesse initiale. Cela a lancé le problème que l'on traite encore actuellement.

2) Toujours dans le cadre du point précédent, Mailou a remarqué une égalité numérique étrange à priori entre le facteur de dilatation du temps RR au départ(en r=r0 et pour v=v0) et le facteur de dilation du temps gravitationnel au point culminant de la trajectoire(r=h, v=0).

Ces deux points sont indirectement liés mais je pense qu'il est dangereux de vouloir utiliser l'un pour résoudre l'autre. On peut le constater effectivement à posteriori, mais il ne faut pas vouloir le faire à tous prix. Il ne faut jamais rien supposer tant qu'on a pas tous les éléments en main, sinon on risque fortement de se tromper.

Le 1) a été partiellement résolu par Mailou(en ce qui concerne le temps de vol) dans un cadre classique au prix de qq approximations qui ce sont révélées correctes lorsque j'ai calculé le temps de vol obtenu grâce à la RG en champs faible au message #96.
Entre temps Gloubi nous a bien aidé en fournissant les résultats exacts de la trajectoire dans un cadre purement classique et une estimation de l'âge de l'observateur "sauteur" à son retour, toujours plus vieux donc, dans un cadre relativiste cette fois-ci.

Tu sembles justement t'intéresser au temps de vol(ou plutôt au temps de chute) dans le cas purement RG. Donc ce que je te conseilles fortement c'est de repartir de la métrique de SS. Tu factorises par c²dt² dans le membre de droite, puis tu appliques la racine. On obtient une expression de dtau en fonction de dt avec une racine derrière. Déjà fait en sorte d'arriver là.

[Zefram Cochrane]

Tu sembles justement t'intéresser au temps de vol(ou plutôt au temps de chute) dans le cas purement RG. Donc ce que je te conseilles fortement c'est de repartir de la métrique de SS. Tu factorises par c²dt² dans le membre de droite, puis tu appliques la racine. On obtient une expression de dtau en fonction de dt avec une racine derrière. Déjà fait en sorte d'arriver là.

Je reprends l'équation ci-dessus.
j'ai sans essayer de brûler les étapes :

ce qui donne :



j'ai l'impression de retrouver le que tu avais donné en solution exacte pour vo.



J'espère avoir appliqué tes consignes,
Cordialement,
Zefram

[invite60be3959]

Salut

Attend toi à ce que Richard et son direct live rapplique...

qui c'est ce richard ?

[invite60be3959]

Je reprends l'équation ci-dessus.
j'ai sans essayer de brûler les étapes :

ce qui donne :



j'ai l'impression de retrouver le que tu avais donné en solution exacte pour vo.

jusque là nickel! Mais pas besoin de factoriser par dans le membre de droite. Effectivement il y a un lien avec la formule dont tu parles, mais mieux vaut ne rien faire avec pour le moment, ça ne sera à priori d'aucune aide pour l'intégration. Chaque chose en son temps.

Ok donc maintenant, tu exprimes dtau en fonction de dt et grâce à la relation 43 (cours de Sean Caroll) tu y inclus l'énergie E.

[Zefram Cochrane]

J'avance ici avec des pincettes :




c'est pour cela que je ne remplace par

Cordialement,
Zefram

[invite60be3959]

J'avance ici avec des pincettes :




c'est pour cela que je ne remplace par

Cordialement,
Zefram

Relis bien la formule, il te manque un dt et on remplace dlambda par dtau. D'où le lien avec la dernière relation à laquelle tu arrives dans ton message précédent.

[Zefram Cochrane]

Justement, j'ai un petit problème : en remplaçant dlambda par dtau, l'équation (43) donne :

avec



j'obtiens :



je ne sais pas si c'est le résultat auquel du t'attends.
Cordialement,
Zefram

[stefjm]

Salut

qui c'est ce richard ?

Très connu.
https://groups.google.com/forum/?fro...ue/vkTC5jmYX0U

http://hachel.chez-alice.fr/homepage.htm

[invite60be3959]

Justement, j'ai un petit problème : en remplaçant dlambda par dtau, l'équation (43) donne :

avec



j'obtiens :



je ne sais pas si c'est le résultat auquel du t'attends.

Les 3 relations sont correctes déjà ! Après je ne m'attends à rien de particulier, j'essaye juste de te guider vers ce que toi tu désires calculer, qui, si je ne me trompes pas est le temps de chute(ou le demi-temps de vol selon le problème initiale), aussi bien dans le référentiel de l'observateur mobile que dans celui de l'obervateur fixe(par rapport au référentiel terrestre. Pour obtenir ces 2 temps il faut tout d'abord arriver à une relation du type où A est une fonction à déterminer qui peut dépendre de r et/ou de v. Je me rends compte que je t'ai mal guider pour le moment car, j'ai obtenu cette relation en tournant un peu en rond!
En effet si on regarde la fameuse équation 43 on y arrive très vite! Un petit détail tout de même avant. L'auteur précise bien que E est en unité de masse et qu'il pose c=1. Cette équation doit donc être "corrigée" sous la forme :



Ce qui donne donc :



à partir de là on intègre de part et d'autre de l'équation pour obtenir la relation entre le temps propre totale et le temps impropre totale :

, est le temps de "montée"(à la hauteur h) dans le référentiel de l'observateur terrestre.

C'est la même méthode que j'avais utilisé au message #87 pour obtenir la relation équivalente en champs faible, qui elle, s'intégrait très facilement ! (j'ai ici supprimé le facteur 2 pour n'avoir que le temps de chute(ou temps de montée, peu importe).
Le gros hic ici(en champs fort) est que dans l'intégrale, r est une fonction de t qui reste à déterminer si l'on veut espérer résoudre le problème! On en est là concernant ce que tu cherches à calculer. A suivre donc....


Dernière chose, pour obtenir la formule "en champs forts" de Mailou. Il suffit d'utiliser l'expression de E que tu obtiens et poser la conservation de l'énergie :

[Mailou75]

Salut,

Elle n'est qu'approximativement valable qu'en champs faible, puisque justement on constate(numériquement) qu'elle le devient de moins en moins en champs fort!

Ok dommage

Cette équation doit donc être "corrigée" sous la forme :

E/mc² c'est non ?

Les 3 relations sont correctes déjà !

Allez Zef t'es chaud !

[invite60be3959]

Salut, Mailou

E/mc² c'est non ?

Uniquement en RR ! Mais là on est plus dans ce cadre restreint !

[Zefram Cochrane]

Salut vous deux,
Je commençais à m'inquiéter de ton absence Mailou.

donc en reprenant la loi de conservation de l'énergie avec E(ro ; vo ) et E(h ; o) j'ai :



et donc :



Cette relation de conservation de , oserais-je dire, l'énergie mécanique, pour une trajectoire radiale dans l'énergie cinétique répond déjà à une question posée par le problème.

J'ai une question par rapport à l'intégrale

Je croyais que dtau était le temps propre de l'observateur terrestre en ro et non pas celui de l'observateur mobile en chute libre.
et je croyais que dt étais le temps (propre ou impropre?) de l'observateur à l'oo et non pas celui de l'observateur terrestre en ro.

Pourrais tu m'expliquer?

Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Merci,

Uniquement en RR ! Mais là on est plus dans ce cadre restreint !

L’énergie totale E va dépendre de la vitesse ET de la position par rapport à l'astre (E potentielle) c'est ça ?

Je commençais à m'inquiéter de ton absence Mailou.

Je ne suis pas loin... mais mais je m'efforce de de plus parler pour ne rien dire,
et comme je suis arrivé au bout de ce que je pouvais comprendre, j’évite de polluer le fofo
Bon courage pour tes calculs

A+

[invite60be3959]

Merci,


L’énergie totale E va dépendre de la vitesse ET de la position par rapport à l'astre (E potentielle) c'est ça ?

Oui c'est ça. La RR est inclue dans la RG, donc vitesse et gravitation y sont présent.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Après réflexion,

Je pense que est l'intervalle de temps du point de vue de l'observateur mobile, mais dt reste amha l'intervalle de temps pour l'observateur à l'oo.

J'ai repris l'équation ci dessous. Si je lâche le mobile depuis une distance Ro du centre du Tn, après un intervalle de temps dt il atteindra une position r ce qui donne :


et

Je ne sais pas si l'intégration qui suit est tirviale pour vous,

Mais je pense que la démarche suivante est d'intégrer l'équation de dt pour trouver

pour dt', l'intervalle de temps propre de l'observateur terrestre, comme l'observateur terrestre et l'observateur à l'oo sont fixes l'un par rapport à l'autre je pense qu'il faudra appliquer la relation suivante :


Cordialement,
Zefram

[invite60be3959]

Bonjour,

Bonjour,
Après réflexion,

Je pense que est l'intervalle de temps du point de vue de l'observateur mobile, mais dt reste amha l'intervalle de temps pour l'observateur à l'oo.

Effectivement tu as raison ! Merci pour cette remarque pertinente et importante.

J'ai repris l'équation ci dessous. Si je lâche le mobile depuis une distance Ro du centre du Tn, après un intervalle de temps dt il atteindra une position r ce qui donne :


et

Je pense que c'est un peu mal dit, sans être certain que les calculs sont corrects(je ne vois pas comment tu passes de la 1ère à la deuxième relation, grâce à quelle autre relation?). Si on lâche le mobile à partir de t=0 (du point de vue d'un observateur situé à l'infini), après une durée dt, il est alors en r=Ro-dr. La 2ième relation me semble tout de même fausse, puisqu'elle s'apparente à un changement de variable t ---> r. Il est donc impossible que dr se retrouve au dénominateur dans le membre de droite.

Une dernière remarque quant aux notations et au système physique étudié. Je ne voudrais pas que l'on se mélange les pinceaux. Peu importe c vrai que l'on soit à proximité d'un trou noir ou de la Terre, tant que l'on ne va pas "toucher la surface" du trou noir qui je te rappelle n'est pas définit(singularité). Ce que tu appelles Ro, chez moi cela s'apparente plutôt à la position de l'observateur terrestre. Le problème surtout est que le cas du trou noir est beaucoup trop particulier pour obtenir des formules applicables en générale, principalement parce que Rs varie trop selon les astre attracteurs, et que c'est une singularité de coordonnée dans la métrique de Schwarschild. Cette singularité de coordonnée va faire diverger l'intégrale que l'on cherche à calculer.
Personnellement je préfère considérer le cas sur Terre. Déjà ça semble beaucoup plus réaliste et en plus l'immense majorité des astres dans l'univers possèdent une surface, ce qui n'est pas le cas de ce que l'on connait des trou noirs.


A priori, je suis d'accord avec le reste de ton message.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
On progresse

Je reprends cette formule.


Ro est la position du mobile à t= 0, l'idée est d'intégrer d'obtenir pour une chute libre de Ro à R

Je développe la première formule :


->


->


→


→


→


Je ne sais pas si cela simplifie les chose mais Je crois qu'on peut passer à l'intégration
Cordialement,
Zefram

[invite60be3959]

Bonsoir,

Ok pour les calculs, jusque là aucune erreur. Mais bon courage pour l'intégration!

[invite60be3959]

Ah si ça s'intègre!

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
géniale ta moulinette magique.



Il faudra que je fasse le calcul mais cela m'étonerait fort que les intervalle de temps pour l'observateur terrestre et l'observateur mobile soient égaux.

Il sera peut être nécessaire également de mettre les tan - 1 et tanh-1 sous forme exponentielle et logarithmique.

les expressions avec les arctanet argtanh ont une signification particulière?

Cordialement,
Zefram

[Zefram Cochrane]

J'ai un soucis avec tanh-1, la fonction n'est pas définie pour oo ( pour r = Ro ) dans le cadre de l'exercice.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_hyperbolique