Le Temps, une forme d'énergie !?

[Zefram Cochrane]

Pour compléter: on a



Ce qui devrait faire comprendre le danger à confondre dérivée et dérivée partielle...

(Et il y a quatre autres relations, impliquant v...)

un grand merci pour ces précisions

Cordialement,
Zefram
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[Zefram Cochrane]

Pour que les choses soient claires,

si V =
à quoi est égale V' = ?


Que faut il considérer pour passer de l'un à l'autre?

Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Faut expliciter ce que représentent x et x'!

Par exemple, on peut considérer une trajectoire, t -> (t(t), x(t), 0, 0) dans un système de coordonnées, et t -> (t'(t), x'(t), 0, 0) dans un autre système de coordonnées (je n'ai pas oublié de prime, le paramètre est le même dans les deux cas).

Le 4-vecteur tangent a donc comme coordonnées respectives (1, dx/dt, 0, 0) et (dt'/dt, dx'/dt, 0, 0). Par hypothèse ces systèmes de coordonnées sont reliés par une TL laissant invariant les directions x et y:

dt'/dt = a + b dx/dt, et dx'/dt = b+adx/dt, avec a²-b²=1

On a alors dx'/dt' = (dx'/dt) / (dt'/dt) = (b+a dx/dt)/(a+b dx/dt)

(Ce n'est qu'une variation sur le calcul de la composition de vitesse, à bien regarder...)

[Zefram Cochrane]

Bonsoir
V est la vitesse relative du mobile du point de vue de la station
Vers' est la vitesse relative de la station du point de vue du mobile

Cordialement .
Zefram

[Amanuensis]

Quelle est la question alors?

Je suppose deux trajectoires uniformes.

Il existent deux systèmes de coordonnées, tels que les trajectoires sont t -> (t, 0, 0, 0) et t->(t, vt, 0, 0) dans l'un, et resp. t'-> (t', vt', 0, 0) et t'->(t', 0, 0, 0) dans l'autre. On peut appeler v (un scalaire positif) la vitesse relative .

C'est quoi x et x' alors?

[Amanuensis]

Hmm... Je me demande si je n'ai pas oublié une condition supplémentaire... À vérifier...

[rik 2]

On peut s'en passer.

certainement! sauf que la vélocité et la célérité sont les vitesses du corps mobile vues -d'après la relativité einsteinienne- respectivement du point de vue extérieur et intérieur au mobile; ce sont donc deux vitesses qui ont à voir avec la réalité.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
V est la vitesse relative du vaisseau (l'observateur mobile) par rapport à à la station (l'observateur fixe) du point de vue de l'observateur.
V' est la vitesse relative de la station par rapport au vaisseau du point de vue de l'observateur mobile.
V =
V' =

mes questions sont :
quelle relation puis-je faire entre V et V' et quel est la raisonnement qui me permette d'établir ces relation.
même chose pour dx et dx' ; dt et dt' ; et préciser le sens physique.


Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

À répétition, répétition:

Qu'est-ce que x et x' ?

[Amanuensis]

Je vais essayer de clarifier la question.

Dans les formules donnant la transformation de Lorentz, d'où viennent les dérivées partielles, on a deux systèmes de coordonnées; (t', x', 0, 0) sont les coordonnées d'un événement dans un système, et (t, x, 0, 0) les coordonnées du même événement dans l'autre système. (t', x') est dont une fonction de deux variable (t, x), et on peut parler de différentielle de cette fonction, d'où les dérivées partielles (qui sont les composantes de la différentielle).

Il n'est nul part question de vitesse.

On parle de vitesse usuellement à propos de trajectoires. Si dans un systèmes de coordonnées, un objet suit la trajectoire t -> (t, x(t), 0, 0), alors sa vitesse dans ce système de coordonnées, est (dx(t)/dt, 0, 0).

D'où ma question: si vous parlez de vitesse pour dx/dt, c'est qu'il s'agit d'une trajectoire (de quoi?), a priori de la forme t -> (t, x(t), 0, 0) dans un certain référentiel (lequel?).

Quand je demande "qu'est-ce que x?", une réponse possible c'est de quoi est-ce la trajectoire, et dans quel référentiel? Pareil pour x'.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Pour essayer de reprendre ta notation :
Pour une trajectoire radiale, la station voit s'éloigner le vaisseau d'une distance dx à chaque intervalle de temps dt. Le pilote du vaisseau restant fixe sur son siège, dx' = 0 et il s'écoule un intervalle de temps à bord du vaisseau dt'. je peux écrire pour un espace-temps de Minkovski :



soit :


Le hic est que le phénomène est réversible puisque le pilote du vaisseau voit s'éloigner de lui pendant un instant dt' la station d'une distance dx'. Le cosmonaute de la station étant fixe dans son siège, je peux également écrire :




soit :


D'ou ma question quelle relation puije établir entre v et v'
Cordialement,
Zefram

[azizovsky]

Bonjour , c'est le principe de relativité qui'est en oeuvre : aucun référentiel n'est priviligié , càd , les vitesses sont les mêmes ...

[Amanuensis]

(...)

On ne peut pas jouer avec les infinitésimaux comme ça. Pas le temps pour le moment, mais je vais essayer plus tard de détailler où sont exactement les problèmes dans de telles manipulations symboliques.

(Car le résultat est faux en toutes généralité: si on prends un vaisseau suivant une trajectoire quelconque ("accélérée"), alors parler d'égalité des vitesses n'a pas de sens, cause l'absence de simultanéité canonique.)

[azizovsky]

Salut , on va mettre du sel dans le 'problème' des jumeaux :soit A et A' deux jumeaux qui partent dans deux directions opposés par rapport à un 3 éme observateur (fixe :'baricentre') , à leurs retour ,leurs âge ,d'après les calculs ..., ils auront le même âges ,mais si on élimine le 3 éme observateur ,on aura deux jumeaux seulment ,on peut considéré le mouvement de chacun des deux par rapport au 3 éme comme le mouvement de l'un par rapport à l'autre (une symétrie parfaite), et d'après le principe de relativité ,aucun référentiel n'est priviligié sur l'autre , qui sera plus vieux que l'autre ?.

[azizovsky]

on sais que leus âge sont égaux par rapport au 3émé observateur , est ce que l'âge de l'un par rapport à l'autre va changer ? d'après ce qui'est dit , il auront le même âge l'un par raport à l'autre , c'est l'asymétrie du problème des jumeaux qui brise le principe de relativité .

[Amanuensis]

La notation utilisée est dangereuse, par qu'elle amène à confondre coordonnée et fonction.

Je vais reprendre chaque expression, en rajoutant de quoi virer la plupart des ambigüités.

Pour une trajectoire radiale, la station voit s'éloigner le vaisseau d'une distance dx à chaque intervalle de temps dt. Le pilote du vaisseau restant fixe sur son siège, dx' = 0 et il s'écoule un intervalle de temps à bord du vaisseau dt'

x est alors une fonction du temps, x(t), représentant la distance (et donc la coordonnée, cause l'hypothèse radiale) du vaisseau dans le système de coordonnées de la station. Le dt' demande pas mal d'explication, c'est la fonction t'(t), indiquant la date propre du vaisseau quand il est en (t, x(t)) dans le système de coordonnées de la station.

. je peux écrire pour un espace-temps de Minkovski :

Non. On ne peut pas mettre au carré des infinitésimaux sans risque. Faut passer en dérivées, et l'expression s'écrit (en "divisant" partout par (dt)²):


Cette écriture est correcte, x et t' étant des fonctions de t

soit :

Soit



(Pareil, le dt² est passé au dénominateur, et des parenthèses ajoutées pour faire ressortir les dérivées.)

la deuxième égalité se simplifie en

Le hic est que le phénomène est réversible puisque le pilote du vaisseau voit s'éloigner de lui pendant un instant dt' la station d'une distance dx'. Le cosmonaute de la station étant fixe dans son siège, je peux également écrire :

Oui mais. Un grand mais. Dans cette écriture x' et t sont des fonctions de t'. Mais rien n'impose que cette fonction t'-> t soit la réciproque de la fonction t -> t' vue auparavant (et elle ne l'est pas!). On va noter u à la place de t la fonction t' -> u(t'), qui donne la datation de la station quand elle est en (t', x'(t')) selon le système de coordonnées du vaiseau.

On a , mais on ne peut pas faire de relation entre les fonctions x'(t') et u(t') d'un côté, et la fonction t'(t) de l'autre. L'erreur (due à la double signification de t) consiste à prendre u(t'(t))=t, ce qui est faux.

Et le calcul s'arrête là, faute de conditions plus précises.

(Plus tard, un calcul très différent montrant l'égalité des vitesses...)

[Amanuensis]

On ne peut faire une relation simple entre les vitesses relatives que si celles-ci sont constantes, le cas usuel en RR est de prendre deux trajectoires inertielles (uniformes).

On peut alors prendre un système de coordonnées tel que la trajectoire de A soit (t, 0, 0, 0), et celle de B (t, vt, y, 0). Les dérivées par rapport à t sont alors (1, 0) et (1, v), les vitesses spatiales 0 et v.

Maintenant on va se poser la question de l'existence d'un autre système de coordonnées, obtenu à partir du premier par une transformation prise dans le groupe de Poincaré, et tel que la vitesse de B soit (1, 0, 0, 0). Comme on s'occupe seulement des vitesses, on se limite au groupe de Lorentz.

On va choisir (il y a d'autres possibilités) une transformation du groupe de Lorentz obtenue comme une rotation spatiale d'axe z suivie d'un boost selon x; c'est de la forme



avec c>0 et c²-s²=1

Pour avoir (1, 0) comme vitesse de B, il faut que sa vitesse normalisée de B, avec se transforme ainsi, soit

et ; d'où on tire et

Et la vitesse (1,0) se A se transforme en (c, s), soit c(1,v) : la vitesse relative de B par rapport à A est bien v.

---

En fait, c'est une démo bien compliquée juste pour une symétrie! La transformation indiquée, qui apparaît a priori comme la combinaison d'une rotation et d'un boost, n'est rien d'autre qu'une rotation spatiale d'un demi-tour, correspondant à la symétrie qui permute les points de vue de A et de B.

Je laisse en exercice la preuve qu'il s'agit d'une rotation spatiale d'un demi-tour...

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
J'ai besoin de réécrire la démo pour me l'aporoprier. J'ai corrigé ce qui m'apparait comme être des fautes de frappes, si j'ai eu tord cela veut dire que j'ai besoin d'un éclaircissement.

Soit un système de coordonnées A (t, 0, 0, 0)
Soit un système de coordonnées B ( t, vt, 0, 0)

les dérivées par rapport à t sont
A' ( 1, 0,)
B' (1, v)

les vitesses spatiales sont 0 et v

j'ai compris jusque là, passons à la partie hard.

Maintenant on va se poser la question de l'existence d'un autre système de coordonnées, obtenu à partir du premier par une transformation prise dans le groupe de Poincaré, et tel que la vitesse de B soit (1, 0, 0, 0). Comme on s'occupe seulement des vitesses, on se limite au groupe de Lorentz.


On va choisir (il y a d'autres possibilités) une transformation du groupe de Lorentz obtenue comme une rotation spatiale d'axe z suivie d'un boost selon x; c'est de la forme

Peux tu m'epliquer cette partie STP?

J'ai fait une petite correction (-1) j'espère qu'elle est justifiée.

avec c>0 et c²-s²=1

pourrais tu m'apporter quelques précisions sur c² - s² = 1 ?

Pour avoir (1, 0) comme vitesse de B, il faut que sa vitesse normalisée de B, avec

Je voudrais bien avoir aussi une précision sur la définition de vitesse normalisée.
comment arrives tu à la définition du ?

se transforme ainsi, soit

et ; d'où on tire et

Et la vitesse (1,0) se A se transforme en (c, s), soit c(1,v) : la vitesse relative de B par rapport à A est bien v.

Ne serait ce pas plutôt la vitesse relative de B par rapport à A est bien v?

En fait, c'est une démo bien compliquée juste pour une symétrie! La transformation indiquée, qui apparaît a priori comme la combinaison d'une rotation et d'un boost, n'est rien d'autre qu'une rotation spatiale d'un demi-tour, correspondant à la symétrie qui permute les points de vue de A et de B.

Je laisse en exercice la preuve qu'il s'agit d'une rotation spatiale d'un demi-tour...

Ca c'est un boulôt pour Mailou.

Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Peux tu m'epliquer cette partie STP?

Faudrait des questions plus précises, mon texte est dense.

J'ai fait une petite correction (-1) j'espère qu'elle est justifiée.

Non. Une rotation spatiale d'axe z négative la colonne x et la colonne y, pas la colonne z.

pourrais tu m'apporter quelques précisions sur c² - s² = 1 ?

c pour cosh, s pour sinh. Ou on peut les écrire gamma et gamma.beta, sauf que j'ai utilisé gamma pour autre chose.

Je voudrais bien avoir aussi une précision sur la définition de vitesse normalisée.
comment arrives tu à la définition du ?

Normée (aurais-je dû écrire) = norme de minkowski égale à 1.

(1, v, 0, 0) à pour norme de Minkowski 1-v², faut corriger pour l'avoir à 1. Comme la norme de (1, 0, 0, 0) est 1, et qu'un élément du groupe de Lorentz conserve la norme, (1,v) ne peut pas être transformée en (1, 0). Mais gamma(1,v), oui.

Ne serait ce pas plutôt la vitesse relative de B par rapport à A est bien v?

Non. Ça c'était l'hypothèse. Dans un référentiel A a pour vitesse (1,0) et B (1,v) [soit A est immobile et B a pour vitesse v] <=> la vitesse relative de B par rapport à A est v (hypothèse). Et comme on a exhibé un référentiel où A a pour vitesse (1,v) et B a pour vitesse (1,0), la vitesse relative de A par rapport à B est v.

[Zefram Cochrane]

Dans quel référentiel?
Est ce que tu as démontré que la vitesse relative de A par rapport à B est v indépendemment du référentiel du vaisseau et de celui de la station, ou est ce uniquement celui de la station?

[Amanuensis]

Dans le référentiel auquel correspond le système de coordonnées!

Un système de coordonnée 1-3, c'est à dire avec un axe temporel et trois axes spatiaux, implique un référentiel.

Immobile dans un référentiel <=> la 4-vitesse a pour coordonnées (1,0,0,0)

Avoir la vitesse v dans un référentiel <=> la 4-vitesse est la valeur normée de (1, vx, vy, vz) avec v+vy²+vz²=v²

(Perso je m'intéresse assez peu aux référentiels pour des démos ou calculs, soit je travaille en géométrique (sans référentiel ni coordonnées), soit je passe directement aux systèmes de coordonnées.)

[Zefram Cochrane]

Bon essayons d'avancer et voir si nous accordons nos violons.

Nous sommes d'accord pour dire que du point de vue de la station le vaisseau s'éloigne d'elle à v constante et qu'il existe un facteur tel que


d'où et

Donc nous sommes ici dans le système de coordonnées de la station.
Dans celui du vaisseau :
le vaisseau s'éloigne de la station à une vitesse v' constante et il existe un facteur ,

avec et

Puis je établir une relation entre et
la question me semble à propos

Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Oui et non.

Oui, une fois qu'on a démontrée que les lignes d'Univers étant uniformes, il existe une symétrie permutant les points de vue, ce qui implique v=v'.

Et on a alors comme conséquence que dt'/dt = dtau'/dtau (en clair (sic!), que la dérivée de t' comme fonction de t, t' étant défini comme la datation propre de B pour l'événement B en (x,t) dans le système de coordonnées de A est égale à la dérivée de tau' comme fonction de tau, tau' étant défini comme la datation propre de A pour l'événement A en (x', tau) dans le système de coordonnées de B). Cette valeur commune est gamma.

Non, si on veut utiliser ce résultat pour montrer que v=v'.

[Zefram Cochrane]

Oui, une fois qu'on a démontrée que les lignes d'Univers étant uniformes,

C'est le cas pour un vaisseau s'éloignant radialement de la station à vitesse constante , non ? Il y a peut être une subtilité supplémentaire?

il existe une symétrie permutant les points de vue, ce qui implique v=v'.
.........

Non, si on veut utiliser ce résultat pour montrer que v=v'.

J'ai un peu du mal à comprendre là.

Et on a alors comme conséquence que dt'/dt = dtau'/dtau (en clair (sic!), que la dérivée de t' comme fonction de t, t' étant défini comme la datation propre de B pour l'événement B en (x,t) dans le système de coordonnées de A est égale à la dérivée de tau comme fonction de tau', tau étant défini comme la datation propre de A pour l'événement A en (x', tau') dans le système de coordonnées de B). Cette valeur commune est gamma.

Est ce que tu n'aurais pas interverti les tau?

Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

C'est le cas pour un vaisseau s'éloignant radialement de la station à vitesse constante , non ?

Oui

Est- ce que tu n'aurais pas interverti les tau?

Je ne pense pas.

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,
est ce à dire que :

Dans le système de coordonnées de la station le vaisseau s'éloigne d'elle à v constante et qu'il existe un facteur tel que


d'où et


Et dans celui du vaisseau :
le vaisseau s'éloigne de la station à une vitesse v' constante et il existe un facteur ,

avec et

=> que

Ce que je ne comprends pas est que tu définis comme une durée propre de A et comme une durée coordonnée de A dans le système B.

Dans la première équation dt est une durée coordonnée de B dans le système de A et dt' est une durée propre de B .
Dans la seconde équation j'avais plutôt vu counne une durée propre de A et comme une durée coordonnée de A dans le système B

Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Si un objet est immobile dans un référentiel, son temps propre est le temps coordonnée.

Dans le premier référentiel A est immobile, le temps coordonnée coïncide pour A avec son temps propre.

[Zefram Cochrane]

Plus j'avance, et plus j'ai l'impression de couler

Au vu de ton dernier message,

Dans le système de coordonnées de la station le vaisseau s'éloigne d'elle à v constante et qu'il existe un facteur tel que


dt : temps coordonnée du vaisseau dans le système de coordonnées de la station.
dt' : temps porpre du vaisseau

Dans le système de coordonnées du vaisseau, la station s'éloigne de lui à v' constante et qu'il existe un facteur tel que


: temps coordonnée de la station dans le système de coordonnées du vaisseau.
: temps propre de la station

J'espère que tu valideras cela.

Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Dans le système de coordonnées de la station le vaisseau s'éloigne d'elle à v constante et qu'il existe un facteur tel que


dt : temps coordonnée du vaisseau dans le système de coordonnées de la station.
dt' : temps porpre du vaisseau

Manque un prime (oubli):




Au moment t, pendant la durée-coordonnée infinitésimale dt, le vaisseau a progressé en x de vdt, et donc son temps propre a progressé de dt. Mieux écrit comme



t' est alors une fonction de t, et l'équation est valide au moment t.

Dans le système de coordonnées du vaisseau, la station s'éloigne de lui à v' constante et qu'il existe un facteur tel que


: temps coordonnée de la station dans le système de coordonnées du vaisseau.
: temps propre de la station

La par contre manque pas de prime.



tau est alors une fonction de tau', et l'équation est valide au moment tau'.

Comme il n'y a pas de notion de simultanéité, "au moment tau'" et "au moment t" ne réfèrent pas à la même chose.

[azizovsky]

Salut , le principe de la relativité postule qu 'il n'y a pas de référentiel priviligié :si on'a deux observateurs A et B , si on considère que A est en mouvement par rapport à B ,le pseudo-norme du 4-vecteur serais c²=k²c²-k²v²(B/A),
si on fait l'inverse , A/B est en mouvement , la norme du 4-vecteur est : c²=k²c²-k²v²(A/B),on comparons les deux pseudo-norme , v(A/B)=v(B/A).(je ne veux pas passer une nuit blanche )