vitesse d'un satellite en orbite circulaire

[Mailou75]

Ce qui est sensiblement la même chose, mais pas dans les chiffres...

En fait si je prends pour Bongo1981 vo=Vmoy et ro=a (l'orbite circulaire) je trouve les mêmes résultats que Papives
J'avais sans doute mal compris... donc vous dites "la même chose" mais je n'aime pas du tout le résultat !
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[invite60be3959]

Salut,

Bonjour,

Je vous prie de m'excuser pour le délai de réponse mais j'étais très pris par ailleurs.

Si j'essaye de résumer où on en est, en repartant des formules de Bongo1981 et en exprimant Eo et Lo sour la forme :

Pas besoin de mettre des indices 0. Ces formules sont vraies pour tout r et tout v puisque E et L sont des constantes.(elles sont vraies en particulier au point de départ)

[supposé]

de façon générale où est le périgée(si l'orbite est autour de la Terre).

Pour la norme de la vitesse linéaire(dire vitesse tangentielle est un pléonasme puisque le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire!), on peut l'écrire sous des tas de formes différentes, mais la forme la plus usuellement utilisée(car la plus simple) est celle dont parlait Papives issue de la conservation de l'énergie, à savoir :

(r est la distance centre à centre)

on peut obtenir évidemment une forme encore plus simple mais à condition de connaître la valeur du moment cinétique :

[invite837862f0]

Bonjour à tous,

Je pense que l'interrogation provient du fait que le calcul de Omega = (2*Pi/T)*a²/r² n'est valide que pour des valeurs de e faibles devant l'unité (disons < 0.1).

Pour e = 0.33 elle ne peut s'appliquer, l'erreur commise est trop grande.

Il faudrait reprendre la comparaison avec e plus petit.

Bonne journée

[invite837862f0]

Re bonjour,

Je rebondis sur le calcul de v à partir de la conservation de l'énergie.

Si on développe en introduisant r = p/(1 + e*cos Téta) on arrive à :

v = (2*Pi/T)*a* racine carrée[(1 + 2ecos Téta + e²)/(1 - e²)]

on obtient donc v directement à partir de Téta et des paramètres de l'ellipse. A noter que (2*Pi/T) est la vitesse angulaire moyenne et a le rayon moyen.

Pour Téta = 0 ou Pi on obtient périgée et apogée et on vérifie que pour e<<1 on retombe sur les valeurs de vitesse de mon message du 4 mars (utiliser (1+eps)^n # 1+n*eps )

Bon après midi

[invite57f37970]

Pas besoin de mettre des indices 0. Ces formules sont vraies pour tout r et tout v puisque E et L sont des constantes.(elles sont vraies en particulier au point de départ)

Pour la norme de la vitesse linéaire(dire vitesse tangentielle est un pléonasme puisque le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire!), on peut l'écrire sous des tas de formes différentes, mais la forme la plus usuellement utilisée(car la plus simple) est celle dont parlait Papives issue de la conservation de l'énergie, à savoir :

(r est la distance centre à centre)

on peut obtenir évidemment une forme encore plus simple mais à condition de connaître la valeur du moment cinétique :

Bonjour, dans le cas elliptique la dernière formule est fausse, c'est la vitesse orthoradiale seulement qui entre dedans et pas la vitesse totale v comme dans l'avant-dernière formule.

[Nicophil]

Avec totale = orthoradiale + ?...?

[invite57f37970]

Avec totale = orthoradiale + ?...?

Non, vitesse totale avec vitesse orthoradiale et vitesse radiale.

[inviteec0d6e6f]

avec ce lien => http://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse_orbitale
et tout les "sous-liens" (en bas) qu'il contient, y plein de trucs a lire d’intéressant sur le sujet.

[Mailou75]

Bonsoir à tous et merci,

Pas besoin de mettre des indices 0. Ces formules sont vraies pour tout r et tout v puisque E et L sont des constantes.(elles sont vraies en particulier au point de départ)

Pour L je ne suis pas sur, car si les formules de Bongo1981 sont justes c'est un produit vectoriel
donc produit des normes seulement à l'apogée et au périgée, ailleurs l'angle ne vaut pas 90°

(...)celle dont parlait Papives issue de la conservation de l'énergie, à savoir :
(r est la distance centre à centre)

C'est moi qui en parlais et j'avais bien envie de croire ce que tu racontes là... en tout cas ça marche bien dans les chiffres !
De toute façon, sans r(theta) que je découvre ici, je n'avais pas de quoi l'exploiter

......

Il faudrait reprendre la comparaison avec e plus petit.

Justement pas !

(...)on arrive à :
v = (2*Pi/T)*a* racine carrée[(1 + 2ecos Téta + e²)/(1 - e²)]

Oui celle ci donne aussi les résultats attendus, avec celle de Vincent on a ce qu'il faut, c'est "ceinture et bretelles"

......

Non, vitesse totale avec vitesse orthoradiale et vitesse radiale.

Je suis un peu tatillon mais sans les points ça donne quoi ?

.....

Pour le sujet qui m'intéresse j'aurais encore grand besoin de votre aide pour quelques formules (magiques )
Tout d'abord, y'a-t-il une formule équivalente à celle de v qui donnerait t (la durée du parcours) en fonction de théta ?

Ensuite c'est plus coton à expliquer : faire entrer un peu de relativité dans le calcul !
Quand l'objet en orbite se trouve sur l’ellipse à une distance r son temps est "accéléré" car il s'éloigne de la masse, le facteur z+1 étant connu car dépendant de r
et son temps est aussi "ralenti" du facteur de Lorentz car il est en mouvement (v) par rapport à un observateur à la surface de la Terre.
Ce que j'aimerais connaitre c'est le total à un point donné (en fonction de théta par exemple) :
- de l'avance acquise du temps propre de l'objet en orbite par rapport à un observateur terrestre du fait de la "RG Schwarzschild"
- du retard acquis du fait de la RR

Et si j'ai pris cet exemple de a=1,5Rt c'est que cette valeur est particulière pour n'importe quel objet (non relativiste) :
Pour une orbite circulaire, les effets RR et RG s'annulent constament ! Et j'aimerais voir si pour cette ellipse "critique" (touche la surface) et toutes les intermédiaires,
les effets s'annulent aussi au cours d'un cycle (T, période que l'on supposera de temps terrestre).

Voilà vous savez tout, enfin si j'ai été clair...
Merci d'avance pour votre aide

[Mailou75]

Re,

Ça s'annonce plutôt pas mal...
On sait que pour l'orbite circulaire à 1,5Rt l'avance RG vaut ~+20μs/jour et le retard RR vaut ~-20μs/jour (les effets s'annulent)

Pour l'orbite elliptique (e=0,333) on note 3 points particuliers :
-Périgée altitude=0 : Vp=9134m/s +RG-RR~-40μs/jour (exactement le double de ~20 )
-Apogée altitude=Rt : Va=4567m/s +RG-RR~+20μs/jour !
-Croisement avec orbite circulaire altitude=0,5Rt : Vc=6459m/s (la vitesse de l'orbite circulaire) et donc +RG-RR=0 !

Comme l'objet en orbite elliptique passe plus de temps "en haut" j'ai un espoir que ça s’équilibre,
mais je ne sais pas faire la "somme" le long du trajet

Merci d'avance
Mailou

[invite60be3959]

Bonjour,

Bonjour, dans le cas elliptique la dernière formule est fausse, c'est la vitesse orthoradiale seulement qui entre dedans et pas la vitesse totale v comme dans l'avant-dernière formule.

Oui effectivement! Je cherchais à établir une équation du 2nd degré(à partir de l'expression de l'énergie mécanique) en . On l'obtient à condition d'être en 2 points particuliers, le périgée et l'apogée, c'est-à-dire des points de l'ellipse où . En ces points on peut poser , ce qui permet de déduire l'équation voulue dont les solutions sont bien sûr le périgée et l'apogée(si on confond ces points avec les distances associées).[pour ceux que ça intéressent, en remarquant que , on obtient l'énergie mécanique , dont on peut déduire l'expression de la vitesse totale de mon précédent message.]

[invite837862f0]

Bonjour à tous les passionnés de Kepler,

J'essaie de répondre à la question concernant le calcul de t fonction de Téta sur l'ellipse Képlérienne.

Si on combine les différentes formules déjà énoncées on arrive à : t = (T/2*Pi) * (1-e²)^1.5 * I
avec I = Intégrale de 0 à Téta de [(1 + e cos Téta) ^-2] dTéta
Cette dernière intégrale est difficile à résoudre sans passer par les développements en fonctions.

Une méthode simpliste mais efficace consiste à la calculer "bestialement" avec l'ordinateur.
On décompose Téta en par exemple 1000 segments et on fait le calcul direct de l'intégrale = (Téta/1000) * Somme de i égal 1 à 1000 de (1 + e*cos( i*Téta/1000))^-2
Le résultat est instantané et très facile à programmer directement sur EXCEL ou VBA.
On retrouve bien t=0 pour Téta=0 et t=T/2 pour Téta=Pi et t=T pour Téta=2*Pi.
On peut donc sortir les valeurs pour Téta=Pi/2 ou Téta=Pi - ACOS(e) c'est à dire le passage au petit axe et ainsi analyser l'incidence de e.

Bon après midi

[Mailou75]

Salut et merci c'est courageux

J'essaie de répondre à la question concernant le calcul de t fonction de Téta sur l'ellipse Képlérienne.

Si on combine les différentes formules déjà énoncées on arrive à : t = (T/2*Pi) * (1-e²)^1.5 * I
avec I = Intégrale de 0 à Téta de [(1 + e cos Téta) ^-2] dTéta
Cette dernière intégrale est difficile à résoudre sans passer par les développements en fonctions.

Meuhnon faciiile : http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+++%28%281+%2B+e*c os%28x%29%29^-2%29+dx
sauf que ça donne quelque chose d'incohérent... sinon comment fais tu sur Excel ? (ça vaut bien une formule )

[Mailou75]

Sinon y'a celle là :
I(x)=-(((2-2*e)*sin(x)^2+(2*e+2)*cos(x)^2 +(4*e+4)*cos(x)+2*e+2)*atan((e-1)*sin(x)/(sqrt(1-e)*sqrt(e+1)*(cos(x)+1)))+sqrt (1-e)*sqrt(e+1)*(2*e*cos(x)+2*e)* sin(x))/(sqrt(1-e)*sqrt(e+1)*((e^3-e^2-e+1)*sin(x)^2+(-e^3-e^2+e+1)*cos(x)^2+(-2*e^3-2*e^2+2*e+2)*cos(x)-e^3-e^2+e+1)) mdr !

qui marche de x=0 à 3.1415 mais au delà (3.14159...< Pi) t dépasse quand même T/2 !? et au delà de Pi ça donne n'importe quoi
(si ça marche pour la moitié de 0 à Pi ça peut suffire, mais là ce qui se produit est étrange )

Merci
Mailou

[Mailou75]

Re,

avec

ça marche au poil sur l'intervalle [0;Pi] après on peut s'arranger

[invite837862f0]

Bonjour,

Pour calculer sur EXCEL la valeur de I = Intégrale de 0 à Téta de [(1 + e * cos Téta)^-2] dTéta :

-sur une colonne on créer le compteur i de 1 à 1000 (par exemple). Il suffit d'incrémenter chaque cellule de +1
-sur la ligne correspondante on place la formule (1 + e * cos (i * Téta / 1000)^-2
* e et Téta sont placés dans des cellules fixes (avec le $ du type $C$6)
* on utilise la fonction COS() et PUISSANCE(nombre; exposant)
-on fait la somme Sigma de la colonne
-la valeur de l'intégrale I est égale à (Téta / 1000) * Sigma
-il ne reste plus qu'à calculer C = (1 / 2*Pi) * (1 - e²)^1.5 * I
* t valant alors C * T
* on peut utiliser le PI() d'EXCEL

Je ne sais pas joindre le fichier EXCEL mais je joins la feuille de calcul de t(Téta).

Bonne journée

[invite837862f0]

Petite correction,

Manque une parenthèse à la formule (1 + e * cos(i * Téta / 1000))^-2

Désolé

[Mailou75]

Bonsoir,

Joli calcul sur le pdf

Pour la méthode Excel je ne suis pas convaincu...
Elle marche en effet mais c'est plus laborieux et moins précis que la formule que je proposais au message #45

En tout cas vous avez parfaitement répondu à la question posée

Je réfléchis à la suite, pour la somme des +RG/-RR, je ne vois pas trop comment faire, si vous avez le courage... help !

Un petit schéma joint pour mémoire

[invite57f37970]

Je ne sais pas joindre le fichier EXCEL mais je joins la feuille de calcul de t(Téta).

Bonjour,
Il y a aussi un peu plus rapide en écrivant la conservation du moment cinétique donc , avec qui s'obtient facilement à l'apogée ou au périgée.

[Nicophil]

avec ce lien => http://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse_orbitale
et tout les "sous-liens" (en bas) qu'il contient, y plein de trucs a lire d’intéressant sur le sujet.

Voir notamment : Problème à deux corps.

[Mailou75]

Il y a aussi un peu plus rapide en écrivant la conservation du moment cinétique donc , avec qui s'obtient facilement à l'apogée ou au périgée.

Sans doute plus simple que le chemin pris par Papives mais si je ne me trompe pas on retombe sur la même difficulté, l'intégrale :
t=Cste * Int (0 à théta) dx/[1+e cos(x)]
J'ai l'impression que ma formule ne vous satisfait pas entièrement, pourtant elle donne de très bons résultats

Voir notamment : Problème à deux corps.

Erf, indigeste pour moi

A+
Mailou

[Nicophil]

pour ceux que ça intéressent, en remarquant que , on obtient l'énergie mécanique

Bonsoir,
Comment on y arrive ?

[invite57f37970]

Comment on y arrive ?

C'est démontré ici :

https://en.wikipedia.org/wiki/Vis-viva_equation