vitesse d'un satellite en orbite circulaire

[futurengineer]

Salut tout le monde,


j'ai une question qui est la suivante , supposant par exemple un satellite ayant une altitude R , l'un suit une orbite circulaire et l'autre une orbite elliptique , le quel aura la plus grande vitesse à une même altitude R et pourquoi ?

Merci pour vos réponses.
-----

[vanos]

Bonjour,

Cela dépend de l'altitude R pour le satellite en orbite elliptique. Si R se trouve du côté du périgée, il ira plus vite, de côté de l'apogée il ira plus lentement; ce sont les lois de Kepler qui veulent ça.
Pour les explications de ces lois, Google est là pour ça.

Amicalement.

[futurengineer]

Salut,

merci pour ta réponse , ma question était deux satellites ayant une même altitude mais de trajectoire différente une circulaire et l'autre elliptique, quelle trajectoire offre la plus grande vitesse , supposant que le satellite est prêt de la périgée . j'ai fait les calculs et j'ai trouvé qu'en trajectoire circulaire la vitesse est plus grande alors que physiquement je ne saisis pas pourquoi .

merci .

[Amanuensis]

merci pour ta réponse , ma question était deux satellites ayant une même altitude mais de trajectoire différente une circulaire et l'autre elliptique, quelle trajectoire offre la plus grande vitesse , supposant que le satellite est prêt de la périgée . j'ai fait les calculs et j'ai trouvé qu'en trajectoire circulaire la vitesse est plus grande alors que physiquement je ne saisis pas pourquoi .

L'énergie mécanique totale 1/2mv² - mφ augmente avec le demi-grand axe. L'orbite elliptique a une plus grande énergie que la circulaire de même périastre, et donc la vitesse au périastre doit être plus grande que la vitesse orbitale circulaire de même rayon.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PPathfindeRR]

bonjour,

je vais peut-être me planter, mais pour moi ils ont la même période de révolution s'ils sont à la même altitude moyenne (altitude moyenne correspondant à celle située entre l'apogée et le périgée).

Au point de départ :
Le satellite A, à l'apogée, va plus lentement que le satellite B en dessous de lui (B sur une orbite circulaire).
Le satellite A, en s'approchant du périgée accélère.

A l'inverse

Le satellite A, au périgée, va plus vite que le satellite B au dessus de lui (B sur une orbite circulaire).
Le satellite A, en s'approchant de l'apogée décélère.

A mi-distance, entre apogée-périgée ou périgée-apogée, ils vont à la même vitesse car même altitude

Bon après je peux me planter, c'est donc à confirmer par d'autre.

[Amanuensis]

mais pour moi ils ont la même période de révolution s'ils sont à la même altitude moyenne (altitude moyenne correspondant à celle située entre l'apogée et le périgée).

C'est correct. Conséquence immédiate de la troisième loi de Képler, puisque le grand axe va du périastre à l'apoastre.

[futurengineer]

Salut,

merci pour vos explications

[vanos]

Voici deux petites formules pour connaître l'altitude moyenne d'un satellite (l'altitude tout court si l'orbite est circulaire) si vous avez sa durée, voici la formule :
Soit T la durée en heure décimale Rt le rayon terrestre en km :

((T*60)/0.000166)^2/3-Rt = Altitude du satellite en km
.

Si vous connaissez l'altitude moyenne vous pouvez calculer la durée de révolution du satellite :
Soit Al l'altitude en km donnée et Rt le rayon terrestre,

((Al + Rt)^1.5 )*0.000166)/ 60 = durée de l'orbite en heure décimale.

Ces formules sont extraites d'un autre débat, mais comme j'en suis l'auteur (pas du débat mais des formules) pas de problèmes.

Amicalement.

[Papives]

Bonjour,

Quelques petites formules toutes simples pour faire toutes les simulations possibles:

Orbite circulaire de rayon r
période T = 2*Pi*racine carrée (r^3/K*M) K constante de gravitation et M masse de la terre si c'est un satellite terrestre
vitesse angulaire Omega = 2*Pi/T en rad/s

Orbite elliptique de rayon moyen a (c'est aussi le demi grand axe de l'ellipse et aussi la demi somme apogée + périgée)
période T = 2* Pi * racine carrée (a^3/K*M)
vitesse angulaire mini Omega = (2*Pi/T)*(1/(1+e)²) c'est au passage de l'apogée (e étant l'excentricité de l'ellipse )
vitesse angulaire maxi Omega = (2*Pi/T)*(1/(1-e)²) c'est au passage du périgée
vitesse angulaire à tout moment = (2*Pi/T)*a²/r² lorsque le satellite est à la distance r (on retrouve la vitesse moyenne pour r=a passage aux demi petits axes)

Bonne journée

[futurengineer]

merci beaucoup

[Mailou75]

vitesse angulaire à tout moment = (2*Pi/T)*a²/r² lorsque le satellite est à la distance r (on retrouve la vitesse moyenne pour r=a passage aux demi petits axes)

A supposer que le centre de "rotation d'angle" soit le centre de la planète (foyer de l'ellipse), une vitesse angulaire variable projetée sur une ellipse ce n'est pas très parlant
Est ce que quelqu'un connaitrait par hasard la vitesse tangentielle instantanée? Et, pompon sur le gâteau, la durée du voyage en fonction de la position sur l'ellipse ?

Merci d'avance
Mailou

[Nicophil]

Bonjour,

Et, pompon sur le gâteau, la durée du voyage en fonction de la position sur l'ellipse ?

Quel voyage ?

[bongo1981]

Mailou, est-ce que ça ressemblerait pas à :

Avec L_0 le moment cinétique orbital.

[Papives]

Bonjour,

La question concernant la vitesse tangentielle est tout à fait bonne. Le foyer de l'ellipse est bien le centre de rotation.

Voilà les formules:

- vitesse tangentielle v = Omega * r (en m/s) Omega étant la vitesse angulaire en rad/s.

- r = p/(1+e*cos téta) téta étant l'angle du mobile avec la ligne de grand axe (téta = 0 au périgée et Pi à l'apogée)

- p étant le paramètre de l'ellipse soit p = a*(1-e²)

- avec ces données on a le périastre = a*(1-e) et l'apoastre = a*(1+e)

Si vous êtes intéressés je tiens les démonstration des formules à votre disposition en liaison avec les propriétés de l'ellipse et les trois lois de Kepler.

Bonne soirée

[Mailou75]

Bonsoir et merci,

Je médite tout ça et je reviens vers vous.

Mailou

[Carcharodon]

cf : http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4775846

[Mailou75]

Salut,

vitesse angulaire à tout moment = (2*Pi/T)*a²/r² lorsque le satellite est à la distance r (on retrouve la vitesse moyenne pour r=a passage aux demi petits axes)

- vitesse tangentielle v = Omega * r (en m/s) Omega étant la vitesse angulaire en rad/s.
- r = p/(1+e*cos téta) téta étant l'angle du mobile avec la ligne de grand axe (téta = 0 au périgée et Pi à l'apogée)

Après quelques tentatives d'application numérique je pense que ceci est faux :
Quand on multiplie une vitesse angulaire (Omega) par un rayon (r)
on obtient la vitesse tangentielle d'un objet qui serait en orbite circulaire à r avec une vitesse angulaire donnée,
c'est à dire un vecteur qui n'est pas tangent à l'ellipse, donc pas la vitesse tangentielle d'un voyageur sur l'ellipse.

De plus, si cette formule est juste pour donner la vitesse au périgée :

elle ne donne pas les mêmes résultats que les formules de Papives !

Exemple : pour une orbite elliptique autour de la Terre partant d'un périgée=Rt à une apogée=2Rt
je trouve que Vperi=9134,68m/s alors que la formule de Papives donne Vperi=9688,79m/s

Je suis un peu égaré...
Merci

Mailou

[bongo1981]

ahhhh j'ai confondu vitesse tangentielle et vitesse orthoradiale...
En fait tu veux juste la norme de la vitesse ?


En posant et ça devrait être bon ?

[Papives]

Bonjour à tous,

Quand on multiplie une vitesse angulaire (Omega) par un rayon (r)
on obtient la vitesse tangentielle d'un objet qui serait en orbite circulaire à r avec une vitesse angulaire donnée,
c'est à dire un vecteur qui n'est pas tangent à l'ellipse, donc pas la vitesse tangentielle d'un voyageur sur l'ellipse

C'est vrai et la formule (v=Omega*r) ne peut s'appliquer en effet qu'au périgée et apogée là ou le rayon vecteur est perpendiculaire à l'ellipse.
J'ai revu les calculs en ce sens et j'arrive à la formule plus générale v=Omega*r*racine carrée(1+e²sin² téta/(1+ecos téta)²)
pour e<<1, v=Omega*r
pour téta = 0 ou Pi , v=Omega*r (apogée et périgée) avec r=a*(1+e) ou r=a*(1-e) et Omega=(1/(1+e)²)*2*Pi/T ou Omega=(1/(1-e)²)*2*Pi/T soit v=(a/(1+e))*2*Pi/T à l'apogée ou (a/(1-e))*2*Pi/T au périgée.
[nota, pour le périgée cela donne au final v=(1/(1-e))*racine carrée(GM/a) ]
pour téta = Pi/2 , v=Omega*r*(1+e²) soit au final v=a*((1+e²)/(1-e²))*(2*Pi/T)
pour r=a , v=a*racine carrée(1+e²)*(2*Pi/T)

En fait le calcul simplifié de Omega = (2*Pi/T)*a²/r² n'est valide que pour des valeurs faibles de e devant l'unité (c'est le cas des planètes et la plupart des satellites)

Je ne connais pas la formule de la vitesse au périgée donnée dans le message de Mailou75 ,ce que l'on peut constater c'est que le résultat rejoint celui de ma formule pour des excentricités faibles:
pour e=1/3 (c'est le cas de l'exemple) on a un rapport de 1.0608 (qui est bien recoupé par les valeurs numériques de vitesses)
pour e=1/10 on a un rapport de 1.0036
pour e=1/100 on a un rapport de 1
( v=Q*racine carrée(GM/a) avec Q=racine carrée((1+e)/(1-e)) dans cette formule et Q=1/(1-e) dans ma formule)
On peut supposer (?) que cette formule est plus précise pour des excentricité non négligeables devant 1, je n'ai pas fait le calcul dans ce cas car cela devient casse-tête !

Bonne soirée

[Mailou75]

Salut et merci à vous,

@bongo1981
Je suis désolé mais je ne comprends pas comment utiliser tes formules, je n'ai pas le niveau
Les points sur les lettres et les dr/dO ça ne me parle pas...

@Papives
On peut supposer (?) que cette formule est plus précise pour des excentricité non négligeables devant 1

C'est tiré de http://www.tsisoa.com/spip/IMG/pdf/z...e7_tmc_rng.pdf réponse 8.2

M est la masse de la planète (Terre~5,9742.10²⁴kg)
m la masse de l'objet en orbite (négligeable)
v la vitesse d'éjection (à déterminer)
R le rayon de la planète (Terre~6,371.10⁶m)
h la hauteur depuis laquelle l'objet est éjecté (en l’occurrence = 0 pour notre problème)
a le demi grand axe de l'orbite elliptique

De cette relation on trouve la suivante :

Je ne sais pas si c'est plus précis ou si c'est faux... en tout cas dans les chiffres c'est loin d'être négligeable !

Je vais tester un peu tes nouvelles formules quand même

A+
Mailou

[bongo1981]

Mailou, les variables avec un point au dessus, ce sont les dérivées par rapport au temps. Tout calcul fait :

[Papives]

Bonsoir à tous,

Merci pour vos messages. De l'échange nait l'amélioration de ce que nous croyons savoir. C'est un plaisir.

J'ai regardé la formule de Mailou et en effet elle peut s'appliquer en toute généralité car elle est basée sur la conservation de l'énergie.

Elle ne dépend donc pas de la valeur de l'excentricité de l'ellipse et prévaut sur mes calculs géométriques et Képlériens qui sont seulement valables pour des valeurs faibles de l'excentricité (mais globalement admissibles dans les cas courants de nos planètes et satellite disons e<0.1).

Cette formule explicite que l'énergie mécanique totale W=(1/2)GMm(e²-1)/p soit -GMm/2a est égale a la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle soit
(1/2)mv² - GMm/r
La trajectoire est une ellipse si cette énergie est négative. Sinon c'est une trajectoire parabolique (W=0) ou hyperbolique (W>0).

donc (-GMm/2a )= (1/2)mv² - GMm/r d'où le calcul de v.

Voilà, on y voit plus clair maintenant et notamment la concordance des formules quand e diminue.

Reste potentiellement a développer des équations pour e non négligeable devant 1, à voir.....

Bonne soirée

[bongo1981]

Mailou, les variables avec un point au dessus, ce sont les dérivées par rapport au temps. Tout calcul fait :

Avec p : le paramètre d'impact, et e l'excentricité, on peut retrouver leurs expressions avec les formule de Binet et les intégrales premières des équations du potentiel newtonien (sauf erreur de ma part) :

[Mailou75]

Bonsoir et merci à vous,

Merci pour vos messages. De l'échange nait l'amélioration de ce que nous croyons savoir. C'est un plaisir.

Le plaisir est pour moi

Reste potentiellement a développer des équations pour e non négligeable devant 1, à voir.....

Je ne suis malheureusement pas en mesure de participer à ce calcul mais le résultat m'intéresse beaucoup.
Bon courage si vous vous y plongez

........

Mailou, les variables avec un point au dessus, ce sont les dérivées par rapport au temps. Tout calcul fait :

Ca a l'air plus exploitable (pour moi), mais une fonction avec deux variables c'est pratique ça ?
m est elle la masse de l'objet en orbite ?
r est-il défini comme par Papives ?

r = p/(1+e*cos téta) téta étant l'angle du mobile avec la ligne de grand axe (téta = 0 au périgée et Pi à l'apogée)

Avec p : le paramètre d'impact, et e l'excentricité, on peut retrouver leurs expressions avec les formule de Binet et les intégrales premières des équations du potentiel newtonien (sauf erreur de ma part) :

G constante gravitationnelle, M masse de la planète, ok
Mais Lo et Eo ??

Merci d'avance
Mailou

[bongo1981]

Ca a l'air plus exploitable (pour moi), mais une fonction avec deux variables c'est pratique ça ?

En fait tu peux remplacer r par son expression en fonction de theta. Du coup v ne dépendrait plus que de theta.

Effectivement j'aurais pu simplifier un peu plus cette expression.

m est elle la masse de l'objet en orbite ?

Oui et M est la masse de l’objet central.

r est-il défini comme par Papives ?

Oui

G constante gravitationnelle, M masse de la planète, ok

petit m masse de la planète, et M masse du corps central.

Mais Lo et Eo ??

L_0 c’est le moment cinétique initiale qui est une quantité qui reste invariante tout au long du mouvement.
E_0 c’est l’énergie mécanique initiale qui est également invariante tout au long du mouvement.

[bongo1981]

On peut encore l'écrire comme ça :

[Mailou75]

On peut encore l'écrire comme ça :

Ca me plait de plus en plus... mais que sont vo et ro ?
Et pour calculer e et p avec les formules que tu as données au mess#23 il va me falloir les valeurs de Eo et Lo,
ce sont sans doute des constantes mais je ne sais pas comment les obtenir, snif
(Enfin peut être Eo mais je préfère ne pas faire de supposition...)

Merci
Mailou

[bongo1981]

E_0 c'est l'énergie mécanique, c'est fixée par la valeur de la position initiale r_0 et la vitesse initiale v_0 :

L_0 c'est le moment cinétique :

[Mailou75]

Top ! Merci ! Je regarde ce que ça donne et je reviens vers vous

[Mailou75]

Bonjour,

Je vous prie de m'excuser pour le délai de réponse mais j'étais très pris par ailleurs.

Si j'essaye de résumer où on en est, en repartant des formules de Bongo1981 et en exprimant Eo et Lo sour la forme :





On trouve que p et e peuvent s'exprimer indépendamment de m, ce qui est rassurant





Malgré les différences dans l'expression pour Papives



[supposé]

à ce stade on trouve les mêmes résultats chiffrés (cas classique terrestre)
On pourra voir plus tard si ça reste vrai pour des cas plus critiques...

Ensuite on utilise le paramètre pour définir vos variables communes :



qui tend vers 1 pour les orbites circulaires

Ce qui donne pour Bongo1981



et pour Papives

avec

Ce qui est sensiblement la même chose, mais pas dans les chiffres...
et le problème c'est surtout qu'avec ces formules on ne trouve plus les bons résultats !!

Étrangement en posant Vperigée=Vmoy x X() et Vapogée=Vmoy x X(0) (les angles "inverse" donc..!?)
avec Vmoy la vitesse pour une orbite circulaire de même "a", on retrouve les résultat initiaux de Papives !

Par exemple pour la Terre si a=1,5Rt la vitesse orbitale est 6459m/s
et une orbite elliptique (e=0,33) avec un périgée à la surface (Rt) aurait une vitesse à ce point Vp=6459 x 1,5=9688m/s

Y'a sans doute du bon dans ce paramètre mais j'ai pas tout compris...

Merci d'avance

Mailou