Quelle serait la durée de vie d'un trou noir, pour un observateur se situant à l'intérieur ?

[jacknicklaus]

Mais faire cette somme demande deux hypothèses non explicitées:
1) Qu'est-ce qui permet de dire que la trajectoire complète (réunissant les deux bouts) est bien avec le même "e" de chaque côté ? (L'argument de conservation saute à la discontinuité, la dérivée de e n'est pas définie.)
2) Qu'est-ce qui permet de dire qu'il n'y a rien "entre", qu'il n'y a pas un bout de trajectoire de durée propre non nulle s'intercalant à la valeur r=2GM?

Très intéressant, merci pour cet échange. je vais tenter de creuser ce point qui semble très délicat. Mon MTW va passer un mauvais moment ce soir...
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[Amanuensis]

Je vais oser une question vu le niveau avancé : pourquoi y airait il discontinuité en r = 2GM puisque l'horizon des événement n'est pas physique?

Le point n'est pas "physique", il est bêtement mathématique: la métrique n'est pas définie en r=2GM, il y a un coefficient (g_rr) qui passe à l'infini. Tout raisonnement mathématique utilisant g_rr ne peut pas se faire continument en r=2GM.

Autre manière de présenter (mais tout est lié), la quadrivitesse de la trajectoire n'est pas définie en r=2GM (et si on regarde naïvement un diagramme t, r en coord. de Schw. avec r de 0 à l'infini, la quantité dr/dt change de signe ; si continue, alors elle devrait être nulle en r=2GM, et donc e=0).

De quelque manière qu'on regarde, la conclusion est la même: les coordonnées de Schw ne doivent pas être utilisées sans très grandes précautions pour traiter de mouvements passant l'horizon.

[Amanuensis]

Aparté:

Je suis en train de regarder les coordonnées de Gullstrand-Painlevé dans différents textes. Dans l'article Wiki https://en.wikipedia.org/wiki/Gullst...GP_coordinates, on voit encore un bel exemple d'arnaque mathématique:

On suppose une fonction f(r), on en calcule la dérivée, et on considère qu'on a f, et donc un changement de coordonnée "propre" (différentiable...). Pas de pot, la dérivée en question est infinie en r=2M, et donc il n'y a pas de fonction f différentiable pour le changement de coordonnée... (La fonction f(r) donnée à la fin de la section est manifestement non définie pour y=1. Ce qui est indiqué dans le texte mais la justification de son emploi nonobstant est particulièrement pauvre! Pour tout dire, inacceptable pour moi.)

Comme dans les autres cas, les résultats sont "à la fin" justes (ce qu'on peut montrer par différents détours), mais c'est irritant (du moins cela m'irrite).

[On s'en sort par la même approche que mentionnée précédemment: ne pas présenter les coordonnées de GP à partir de celles de Schw, mais montrer directement que c'est solution du problème initial. Et faire la correspondance région par région, et non pas sur tout l'intervalle r de 0 à l'infini.]

[Amanuensis]

Je vais donner la "solution" à la question du signe de e:

Si l'écoulement du temps est normal, dt/dtau est positif (la coordonnée temporelle et le temps propre vont toujours dans le même sens, par exemple passé vers futur). Alors, manifestement e>0 si r>2GM, mais e<0 si r<2GM, et la valeur de e en r=2GM est indéfinie (multiplication de 0 par un infini, si on regarde plus en détail).

En fait, e est bien positif pour r<2GM. Comme (1-2GM/r) change de signe, la seule possibilité qui reste est que dt/dtau soit négatif si r<2GM. Ce qui est impossible si t est la prolongation de la coordonnée temporelle côté r>2GM.

La "solution" est simplement que t n'est pas une coordonnée temporelle si r<2GM. C'est une coordonnée spatiale, et que dt/dtau soit négatif ne pose alors aucun problème. (Et est même très raisonnable une fois qu'on a compris ce que représente t quand r<2GM.)

Maintenant, dans le calcul, faut faire attention que pour r<2GM r est temporel et t spatial. Le calcul n'est pas trop affecté, mais l'interprétation qu'on en fait peut l'être!

[Mailou75]

En esperant ne pas dire trop de betises...

Je vais oser une question vu le niveau avancé : pourquoi y aurait il discontinuité en r = 2GM puisque l'horizon des événement n'est pas physique?

Mauvais choix d'observateur. Il n'y a d'horizon que pour un observateur statique (accéléré, r constant) et celui a l'infini en fait partie. Par exemple deux observateurs en chute libre recevront des messages reciproques au passage de l'horizon sans discontinuité = il n'y a pas d'horizon pour eux.

....

@Amanuensis

Pour preciser mon precedent message, KS nous dis qu'un observateur situé sur la singularité à t=0 recoit un rayon lumineux parti de Rm~1,2784Rs à t=0 (!) autrement dit pour cet observateur l'evenement est à la fois synchronisé (au sens espace euclidien de la RR) ET simultané (au sens cone passé). L'observateur voit donc ce qui se passe en Rm "au moment auquel ca se passe"!! C'est de mon point de vue le seul element qui permet de "raccorder" les trajectoires I et II de Schw sans invoquer Painlevé (en passant Painlevé "like" c'est justement la formule de Jacknicklaus, la "classique" de Newton dont tout decoule car sans elle pas de temps propre...)

Mais il est inconcevable que notre observateur en S (singularité) voit ce qui est decrit plus haut, l'alternative est donc que le rayon lumineux qui traverse l'horizon entre Rm et 0 ne soit pas à sens unique! On aurait deux rayons lulineux, l'un partant de Rm et l'autre partant de 0 et qui suivent le "balayage rayonnant" du temps positif pour se rencontrer en r=Rs à t=oo. Ce qui fait que Zef a raison quand il dit que la vitesse de la lumiere varie pour l'observateur a l'infini, elle est nulle en Rs !! Nos deux branches de rayon lumineux se raccordent a vitesse nulle (je bosse sur une representation..).

[Ce qui répond aussi a une des questions que tu posais sur KS, l'angle entre les trajectoires ne peut etre interprété comme une vitesse : ni localement entre 45° et une trajectoire puisque celle ci depend d'un 0 arbitraire, ni pour l'observateur a l'infini puisque 45° n'est meme pas une vitesse constante.]

Les evenements S et Rm sont simultanés (cone) mais ne peuvent se voir parce qu'il existe entre eux un horizon, le "meme" que celui de la RR pour un objet allant à c. On est donc en droit de supposer que le seul observateur qui pourrait recevoir simultanément les messages de 0 et Rm est un onservateur en Rs suffisement patient... il verrait sumultanément deux évenements synchronisés. Par analogie, sur Terre un observateur au centre serait capable de voir simultanément des scenes synchronisées à la surface en Chine et en France. Ce qui fait de r=Rs un centre !

On est en présence de part et d'autre de Rs d'evenements simultanés et synchronisés, mais... si la lumiere doit etre lue a l'envers chez KS au delà de l'horizon Rs c'est donc que la valeur d'espace est elle aussi fausse et doit etre lue à l'envers. De là a dire que Rm est un "miroir" de S il n'y a qu'un pas...

Apres je suis peut etre parti un peut en cacahuète...

Mailou

[Amanuensis]

Pour preciser mon precedent message, KS nous dis qu'un observateur situé

Je ne réfléchis pas en termes d'observateurs (et encore moins en termes de "situé", ce qui sous-tend une idée de lieu).

Pour moi, les coordonnées sont des cartes, à l'instar des "projections cartographiques" de la Terre, cartes de Mercator ou stéréographiques ou de Robinson ou de Mollweide ou de Lambert, etc., etc.

Les cartes représentent le même "objet" qui est une variété 4D pour l'espace-temps (les cartes du monde représente une variété 2D). Le rapport avec des "observateurs" est accessoire, ou même accidentel. (Ou même absent, c'est quoi un "observateur" quand les coordonnées sont toutes spatiales? Ou certaines de genre nul?)

En d'autres termes je sépare l'espace-temps (la variété, sa "forme", ses propriétés absolues, ses géodésiques, ...) et l'expérience physique d'un observateur "vivant" dans cet espace-temps (découpage 1+3, rayons lumineux, temps propres, etc.).

KS ou Schw, deux "projections cartographiques" de la même chose. De même que je n'utilise pas une carte de Mercator pour comprendre la géographie de l'Antarctique, je n'utilise pas les coordonnées de Schw. pour comprendre les passages des horizons. Et cela n'a rien à voir avec des "observateurs".

[jacknicklaus]

Je vais donner la "solution" à la question du signe de e [...]

j'ai réfléchi un peu à ce problème délicat.

En fin de compte, la conservation de e est garantie, je devrais même dire définie par :
- l'équation des géodésiques
- la solution cherchée est statique (métrique indépendante du temps)
Ces deux points sont indépendants du choix du système de coordonnées.

En Schw, seul le fait qu'on n'ait pas de termes diagonaux garantit qu'il ne reste dans e que le terme en g_tt, et du coup (1-2GM/r)dt/dtau = constante, de manière indépendante des autres termes de la métrique.

Celà ne prouve t-il pas la conservation de e, sans même avoir besoin de connaître g_rr et ses problèmes en 2GM ?

[Mailou75]

@Amanuensis

Oui oui je parle de KS parce que c'est flagrant mais on est d'accord que Schw dit la meme chose ce n'est qu'un changement de coordonnees.

[Amanuensis]

- la solution cherchée est statique (métrique indépendante du temps)
Ces deux points sont indépendants du choix du système de coordonnées.

Non. Seules les coordonnées de Schw. donnent un espace-temps statique, et ce seulement pour la région extérieure.

Celà ne prouve t-il pas la conservation de e, sans même avoir besoin de connaître g_rr et ses problèmes en 2GM ?

Je ne pense pas. Si on dérive e, il faut dériver dt/dtau, or cette quantité n'est pas définie, t allant à l'infini.

[Amanuensis]

D'ailleurs la question des symétries de la solution de Schw. est intéressante. Il y a bien un vecteur de Killing dans un plan (t, r), mais il n'est pas de genre constant. Il est de genre temps à l'extérieur (d'où une région qu'on peut voir comme "statique"), de genre nul sur les horizons, et de genre spatial dans les intérieurs. Et si on le regarde en coordonnées de KS, c'est une sorte de transformation de Lorentz (boost, ou rotation hyperbolique)!

Et si on pose le problème initial en termes de vide de symétrie sphérique et statique, alors seule la région extérieure est solution. Pour un espace-temps complet, faut larguer le "statique", et faut prendre avec subtilité la notion de "symétrie sphérique" (dans les régions intérieures il n'y a pas de centre spatial de symétrie, il y a bien une symétrie sphérique, mais "sans centre" dans la variété (de même qu'une sphère a une symétrie sphérique sans qu'on puisse parler d'un centre dans la variété même)).

Bref, beaucoup d'idées sur les coordonnées de Schw. ne sont valables que pour l'extérieur, et deviennent des entraves quand on cherche à réfléchir sur l'intérieur...

[jacknicklaus]

Très intéressant, merci pour cet échange. je vais tenter de creuser ce point qui semble très délicat. Mon MTW va passer un mauvais moment ce soir...

je m'auto -répond..

Pour information, ce qui est pour moi et pour beaucoup la référence absolue en RG (Gravitation, Misner Thorne Wheeler) semble considérer E est parfaitement constant y compris au passage de r=2GM. Après quelques pages sur l'étude des quantités conservées en en géométrie de Schwartzschild, Il effectue l'intégration r = R à r = 0 en trois lignes, sans se poser de question, pour aboutir au résultat déjà donné sur ce fil et sur celui de Mailou75 ; cf MTW, page 663, equations 25.27 à 25.29.

[Amanuensis]

J'aurais pu l'écrire, j'ai le MTW sous la main (et ma première lecture de cet ouvrage était il y a longtemps). Mais référence ou pas, je tique...

Comme déjà écrit, je peux me tromper. Mes réflexions viennent de l'examen des maths, ce ne sont pas des explications que j'aurais trouvées dans des textes de référence. Et si elles sont incorrectes, j'attends autre chose que citer des références comme argumentation.