La relativité restreinte et le facteur de Lorentz

[invite1c6b0acc]

Non, ce n'est pas ça la conclusion : ce serait des particules qui auraient une vitesse forcément supérieure à c, et dont l'énergie tendrait vers 0 si la vitesse tend vers l'infini et vers l'infini si la vitesse tend vers c.

Et on ne peut pas garantir que ça n'existe pas : juste qu'on n'en n'a jamais observé, qu'on ne voit pas comment les observer et qu'on s'en passe très bien.
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[Mailou75]

C'est pas un peu contradictoire comme conclusion ?

Si, et c'est sans doute pourquoi c'est un mythe. Cela dit les objets comobiles au delà de l'horizon se deplacent plus vite que c et ça ne pose pas de problème conceptuel...

Pour moi, le facteur de Lorentz est une traduction de la structure de l'univers. Il est impossible de depasser c non pas par soucis d'energie, mais parce que ça n'a aucun sens. Tout va à c en 4D et les trajectoires se croisent. En un sens un photon va a 90° par rapport a toi (qui avance dans le sens du temps, à c). Il n'y a pas "pire" que 90°, au dela l'angle va diminuer.

Reciproquement pour le photon c'est toi qui va à c !? Oui et non. On peut calculer une distance equivalente au temps que mettrait un objet pour aller de A à B à une vitesse c, et cet objet dessinerait une trajectoire dans l'espace temps. Cette trajectoire c'est ce qu'on appelle le cone passé (parce qu'en travaillant en 2D+t cad avec une dimension d'espace en moins ça forme un cone en coordonnées de Minkovski) mais il n'est pas dit que l'information se deplace comme un objet... ce meme cone est aussi appelé cone de simultaneité parce que quand il "tranche" au mileu de la 2D+t, tout ce qui est vu sur le cone (2d projetée a plat du cone) est vu simultanément et c'est ce qu'on appelle "réealité", perçue du moins... L'intrication est sans doute le point a resoudre pour comprendre ce que fait vraiment un photon (ou l'onde.. ?)

Tout est donc question de croisement de trajectoires en un point donné de l'espace temps il peut y avoir plusieurs objets qui se croisent (vitesses differentes) + les rayons lumineux. En ce point tous les observateurs verront le meme cone, les memes objets etc.. MAIS leur interprétation du cone en termes de distances et d'effet Doppler dependra dépendra de leur vitesse relative par rapport a un objet inertiel (immobile RR, chute libre RG). Le dernier ayant déjà un cone pas tout a fait conique mais assimilé comme tel pour toute la physique classique. Les quelques milisecondes de décalage temporel des GPS avec la surface de Terre est fondamentalement ce qui fait orbiter le satellite mais ce ne sont pas avec des calculs de RG qu'on fait decoller les fusées. Nous vivons dans un espace quasi plat et Einstein a fait très fort en le supposant courbe, il aura fallut s'emanciper du concept Euclidien, un long chemin de croix pour nous tous...



Mailou

[pm42]

Si, et c'est sans doute pourquoi c'est un mythe.

Vu qu'il y a de la rechercher pour les détecter par des gens plus que sérieux, je ne pense pas qu'un non expert puisse dire que c'est un mythe sans argumenter.

Cela dit les objets comobiles au delà de l'horizon se deplacent plus vite que c et ça ne pose pas de problème conceptuel...

Ils ne se déplacent pas plus vite que c et on ne parle absolument pas la même chose entre les tachyons et l'expansion de l'Univers.
Tu confonds.

[Gilgamesh]

Non, ce n'est pas ça la conclusion : ce serait des particules qui auraient une vitesse forcément supérieure à c, et dont l'énergie tendrait vers 0 si la vitesse tend vers l'infini et vers l'infini si la vitesse tend vers c.

Et on ne peut pas garantir que ça n'existe pas : juste qu'on n'en n'a jamais observé, qu'on ne voit pas comment les observer et qu'on s'en passe très bien.

Au plan théorique, un mode tachyonique ça pose quand même un problème plus sérieux de stabilité du vide. On a des arguments assez solides pour affirmer sur cette base qu'ils ne peuvent pas exister dans cet univers, sinon nous ne serions pas là pour en parler.

[Mailou75]

Salut,

Ils ne se déplacent pas plus vite que c et on ne parle absolument pas la même chose entre les tachyons et l'expansion de l'Univers.
Tu confonds.

Non, c'est toi (indirectement) qui pense qu'on peut faire la part des choses.

[pm42]

Non, c'est toi (indirectement) qui pense qu'on peut faire la part des choses.

Entre 2 concepts totalement différents comme l'expansion de l'Univers et des vitesses supra-luminique dans un référentiel inertiel ?
En effet, je pense et même directement qu'on peut faire la part des choses.

Le 1er cas induit une déconnection causale immédiate et ne nécessite pas de composante imaginaire à la masse.
Le 2nd pose ce genre de problème...

[Deedee81]

Salut,

Un petit coucou en passant dans ce long fil. Je n'interviens que ce se point :

Non, c'est toi (indirectement) qui pense qu'on peut faire la part des choses.

Etant d'accord avec pm42, le mieux est sans doute d'apporter un peu d'eau au moulin pour le faire tourner. Pour t'aider à comprendre ce point de vue.
Tu dis que les objets situés au-delà de l'horizon se déplacent (par rapport à nous) plus vite que c.
Notons que pour déterminer cette vitesse, on ne peut pas faire appel à une définition mathématique car les coordonnées sont totalement arbitraires (c'est à la fois l'éternel problème et la grande force de la RG ).
Donc : comment définir physiquement la vitesse d'un objet situé au-delà de l'horizon ? Notons que pour des objets plus proches et malgré toute l'ambiguïté que pose la notion de vitesse en RG (éternel débat) on peut au moins définir physiquement des vitesses (comme la vitesse de récession, par exemple, un grand classique). Mais pour ceux dont tu parles ?

C'est une question qu'on doit toujours se poser en physique. Chaque fois qu'on fait une affirmation. On doit se demander quel est son sens mathématique et physique. C'est un très bon réflexe.

Essaie de trouver une telle définition physique (donc faisant intervenir la mesure, c'est ça la physique). Lorsque tu auras une telle définition (ou son absence), tu auras compris pourquoi pm42 dit qu'on peut faire la part des choses.

Si je te le propose de cette manière c'est que pour se convaincre de quelque chose, rien de tel que de chercher par soi-même

[Zefram Cochrane]

Non, c'est bien ça.

On ne présente pas assez l'espace-temps de Minkowski comme une solution particulière de la RG, et donc sans présenter ce qui fait sa particularité. C'est bien évidemment d'abord le tenseur de courbure partout nul.

D'un autre côté, c'est équivalent à plein d'autres propriétés et il est fort possible (pas vérifié) que la manière de présenter de ZC soit une telle équivalence, qui a l'avantage (peut-être?) d'être plus proche des phénomènes. Et l'assertion de ZC ne parle pas de "c" mais de la mesure de la vitesse d'un mouvement lumineux.

C'est dans le même esprit que mes remarques précédentes: le difficile équilibre entre les maths et les observations me semble trop souvent mal fait en RR, trop en faveur des maths. Et je comprends que cela ne convienne pas à tout le monde.

Pour donner un ordre d'idée de la méthode que je mets en oeuvre dans mon bouquin qui se limite à décrire la TRU, la TRUA et le mopuvement circulaire uniforme :
Dans le schéma de couverture :
Vert longe une voie sur laquelle des poteaux sont alignés à V=0.6c [Yv=5/4 ; Yv.V=3/4]. En vert pâle se sont les coordonnées X et Y s'il était stationnaire au niveau de la base du 7ème poteau de 48s.l de hauteur ( les poteaux sont séparés de 6 s.l)
pour chaque points X et Y je calcule la distance en s.l séparant le point de Vert s'il était stationnaire par rapport à la voie:
si Vert sur son horloge lit T°=0s alors sur l'horloge du point il lit l'heure -T
Ensuite j'applique les TLs :
! X est négatif.

pour calculer le coefficient doppler, je calcule T' dans sa perspective

! ici T>0; si j'avais voulu intégrer dans la TL l'heure lue sur l'horloge, j'aurais eu comme formule T'= Yv*T - Yv.V*X .
j'aurais obtenu T' <0.
le coeff doppler est T/T'.

Ca c'est ce que je qualifie d'approche Doppler. Mais pour ce shcéma en particulier, je ne vois pas d'autre paramétrage plus judicieux.
votre avis?

[mach3]

Salut,
Je voudrais avoir la démonstration détaillée de cette définition STP?
Je vois ce qu'est une 4-vitesse et un produit scalaire. Mais j'ai du mal à me représenter la 4-vitesse de l'observateur.

Alors, petite démo, avec un lien avec l'observation, donc qui devrait vous plaire.

Petites notes avant de démarrer :
-On prend c=1
-La signature de la métrique est +---, ce qui implique que :
*Le carré scalaire d'un 4-vecteur de genre temps est positif et si on en prend la racine carré, on obtient la durée propre écoulée le long du vecteur
*Le carré scalaire d'un 4-vecteur de genre espace est négatif. Il faut prendre la racine carré de l'opposé pour connaitre la longueur propre le long du vecteur
*Le carré scalaire d'un 4-vecteur de genre nul est 0.

On suppose un observateur sans accélération propre (MRU) et un objet en MRU par rapport à lui. L'observateur émet un premier signal en l'événement A, ce signal atteint l'objet en l'événement B et est réfléchi, il revient à l'observateur en l'événement C.
Les lignes d'univers des signaux sont de genre nul.

L'observateur mesure la durée entre A et C (soit la durée d'aller retour du signal).
On construit H le projeté orthogonal de B sur la ligne d'univers de l'observateur, c'est-à-dire que , et, comme H est sur la droite (AC),

Prenons le carré scalaire de , qui est de genre nul, on a :


Le dernier terme est nul et donc .
On peut de même, avec le carré scalaire de , de genre nul, montrer que :
.
et étant de genre temps, on en déduit que est de genre espace

La durée propre entre A et H (mesurée par l'observateur, of course) qui est racine carrée de , est donc égale à celle entre H et C. Ces deux durées valent donc la moitié de la durée propre entre A et C, la durée d'aller-retour du signal pour l'observateur. Elles coïncident avec la longueur propre entre H et B qui est la racine carrée de l'opposé de . Autrement dit la longueur entre H et B est égale à la moitié de la durée entre A et C, celle entre l'aller et le retour. L'observateur interprète cela comme la distance de l'objet à lui en l'événement H : si le temps d'aller-retour est de 2 secondes, la distance est de 1 seconde-lumière. Cette interprétation inclue le fait que le 4-vecteur peut être projeté dans l'orthogonal à la ligne d'univers de l'observateur (un espace euclidien 3D) pour donner le 3-vecteur position à "l'instant" de l'évènement B dans le système de coordonnée que l'observateur se construit, et dans lequel il se suppose immobile et situé à l'origine.

Considérons maintenant que l'observateur envoie un second signal en l'évènement A', qu'il se réfléchisse sur l'objet en l'évènement B' et revienne à l'observateur en l'évènement C'. On construit H' le projeté orthogonal de B' sur la ligne d'univers de l'observateur. On a la même conclusion, un 4-vecteur , dont la longueur vaut la moitié de la durée entre A' et C', et qui peut être projeté dans l'orthogonal à la ligne d'univers, comme nouveau 3-vecteur position à "l'instant" de l'évènement B'.
Le changement de position entre B et B' est donc donnée par le projeté de dans l'orthogonal. Pour obtenir ce que l'observateur va appeler le (3-)vecteur vitesse, on divise par la durée propre entre B et B' (on pourra faire en sorte que la durée entre B et B' soit la plus courte possible, en réduisant la durée entre A et A', pour tendre vers une vitesse instantanée). On a donc un 4-vecteur de genre espace :

,

dont le projeté dans l'orthogonal est le 3-vecteur de l'objet, dont le carré scalaire (dans le projeté, qui est euclidien 3D) est v². Le carré scalaire du 4-vecteur , de genre espace, est donc -v².
Je vous laisse faire le lien entre ceci et l'effet Doppler (longitudinal et/ou transversal), en regardant les rapport des durées CC'/BB', BB'/AA' et aussi CC'/AA', en fonction du 3-vecteur vitesse , mais si ce n'est pas évident, j'y reviendrais.

Intéressons nous maintenant au produit scalaire entre et :
(quand on développe, le premier et le dernier produits scalaires sont nuls)
Si on normalise ces deux vecteurs, en les divisant par leurs normes (ce qui en fait des vecteurs unité), on obtient les 4-vitesses de l'observateur et de l'objet .
Leur produit scalaire est donc . On peut noter à ce stade que c'est le rapport de la durée propre entre H et H' pour l'observateur et de la durée propre entre B et B' pour l'objet, ce qui doit déjà évoquer quelque chose...

Pour finir, prenons le carré scalaire de (le 4-vecteur de genre espace dont le projeté dans l'orthogonal est le 3-vecteur vitesse de l'objet) :













Cqfd sous réserve de faute de frappe...

m@ch3

[Amanuensis]

Je ne vois pas trop ce que cela "démontre". Comme déjà dit, on ne démontre pas une définition. Il ne reste que la possibilité de démontrer la non contradiction de la définition avec d'autres assertions. Lesquelles?

[Amanuensis]

Et je pense que le fond du problème est dans

Mais j'ai du mal à me représenter la 4-vitesse de l'observateur.

Il serait intéressant de comprendre comme cela est compatible avec "Je vois ce qu'est une 4-vitesse", exprimé dans le même message.

Sans résoudre au préalable les problèmes conceptuels (ou terminologiques) que soulèvent ces phrases, je ne vois pas comment une page de maths serrées peut être une réponse.

---

Personnellement, je procéderais par maïeutique, en posant la question "Décrivez plus en détails ce vous voyez dans le concept de "4-vitesse". Mais ça ne marche pas bien non plus...

[mach3]

Je ne vois pas trop ce que cela "démontre". Comme déjà dit, on ne démontre pas une définition. Il ne reste que la possibilité de démontrer la non contradiction de la définition avec d'autres assertions. Lesquelles?

Si on dit que gamma est l'inverse de la racine carré de 1-v² par définition, ça ne nous dit rien, a priori, sur le produit scalaire de deux 4-vitesses, il faut démontrer.
Si on dit que gamma est le produit scalaire de deux 4-vitesses par définition, ça ne donne pas l'expression de gamma en fonction de la 3-vitesse, il faut démontrer.
Si on dit que c'est les deux, il n'est pas inutile, à mon avis, de démontrer que c'est bien équivalent.

Faire le lien entre les deux me parait nécessaire. Surtout que ce qui est introduit dans les petites classes, c'est la première définition, ce qui a trait à la seconde étant totalement passé sous le tapis parce que trop compliqué et/ou parce que la mode c'est de parler de référentiel, de coordonnées et de transformation de Lorentz. Au bilan les élèves n'y comprennent pas grand chose de toutes façons (et même les profs, parfois, pas forcément évident de s'y mettre quand ces trucs là déboulent dans le programme de term S) et pire certains croient comprendre.
Faire de la géométrie minkowskienne permet d'appréhender la RR en évitant des concepts qui sont bien souvent mal compris (et mal enseignés...) et qui pourront justement être introduits de façon beaucoup plus formelle, claire, non ambigüe, par la suite. Je pense que tu en conviens.

m@ch3

[Amanuensis]

Si on dit que gamma est l'inverse de la racine carré de 1-v² par définition, ça ne nous dit rien, a priori, sur le produit scalaire de deux 4-vitesses, il faut démontrer.

Tout à fait. Ce qui demande au préalable de définir "v".

Si on dit que gamma est le produit scalaire de deux 4-vitesses par définition, ça ne donne pas l'expression de gamma en fonction de la 3-vitesse, il faut démontrer.

Là encore, faut définir "3-vitesse".

Si on dit que c'est les deux, il n'est pas inutile, à mon avis, de démontrer que c'est bien équivalent.

Je n'ai pas parlé d'utilité ou non, juste de quelles assertions on part (en particulier la définition de "v").

Faire le lien entre les deux me parait nécessaire. Surtout que ce qui est introduit dans les petites classes, c'est la première définition, ce qui a trait à la seconde étant totalement passé sous le tapis parce que trop compliqué et/ou parce que la mode c'est de parler de référentiel, de coordonnées et de transformation de Lorentz. Au bilan les élèves n'y comprennent pas grand chose de toutes façons (et même les profs, parfois, pas forcément évident de s'y mettre quand ces trucs là déboulent dans le programme de term S) et pire certains croient comprendre.
Faire de la géométrie minkowskienne permet d'appréhender la RR en évitant des concepts qui sont bien souvent mal compris (et mal enseignés...) et qui pourront justement être introduits de façon beaucoup plus formelle, claire, non ambigüe, par la suite. Je pense que tu en conviens.

Bien évidemment. Mais on peut convenir de buts tout en ayant des divergences d'opinion sur les moyens.

---

Je maintiens qu'en l'espèce le problème de fond est exprimé par " j'ai du mal à me représenter la 4-vitesse de l'observateur." On peut présenter toutes les maths qu'on veut, mais si elles partent de l'idée que "4-vitesse" est bien compris, cela a pas mal de chance de passer totalement à côté pour quelqu'un qui exprime cette difficulté.

[mach3]

On peut présenter toutes les maths qu'on veut, mais si elles partent de l'idée que "4-vitesse" est bien compris, cela a pas mal de chance de passer totalement à côté pour quelqu'un qui exprime cette difficulté.

Oui, je suis d'accord.

Alors Zefram, c'est quoi pour toi une 4-vitesse?

m@ch3

[Zefram Cochrane]

On suppose un observateur sans accélération propre (MRU) et un objet en MRU par rapport à lui. L'observateur émet un premier signal en l'événement A, ce signal atteint l'objet en l'événement B et est réfléchi, il revient à l'observateur en l'événement C.
Les lignes d'univers des signaux sont de genre nul.

L'observateur mesure la durée entre A et C (soit la durée d'aller retour du signal).
On construit H le projeté orthogonal de B sur la ligne d'univers de l'observateur, c'est-à-dire que , et, comme H est sur la droite (AC),

Bonjour,
Pour répondre à Amanuensis.

Les termes sont bien posés. Si je m'imagine être l'observateur dans un champ regardant un TGV traverser en ligne droite ce champ à vitesse relativiste.
Je m'imagine très bien meuh!!!envoyer un signal lumineux à T=0s vers le TGV qui me sera réfléchi et que je recevrai au bout d'une durée propre de AC secondes.
Me reste à lire la suite en détail et comprendre que quelle puisse-être ma position dans le champ,

[Zefram Cochrane]

Oui, je suis d'accord.

Alors Zefram, c'est quoi pour toi une 4-vitesse?

m@ch3

c'est le vecteur paramétré par (dt/dt° ; dx/dt° ; dy/dt° ; dz/dt°) dt° est une intevalle de durée propre infinitésimale.
J'ai un peu de mal à saisir le concept de 4 vitesse de l'observteur qui dans son référentiel est (1 ;0;0;0) Me semble t'il mais il faut que je lise ta démo de bout en bout

[Zefram Cochrane]

Je voudrais bien avoir votre avis sur la démarche que je propose dans mon livre ( message 38).

[mach3]

J'ai un peu de mal à saisir le concept de 4 vitesse de l'observteur qui dans son référentiel est (1 ;0;0;0)

C'est peut-être parce que vous n'avez qu'une approche de type coordonnées.

Me semble t'il mais il faut que je lise ta démo de bout en bout

oui, mais ça ne t'éclairera pas sur les coordonnées de la 4-vitesse étant donné que je ne parle pas de coordonnées, parce qu'on en a pas besoin.

m@ch3

[Amanuensis]

c'est le vecteur paramétré par (dt/dt° ; dx/dt° ; dy/dt° ; dz/dt°) dt° est une intevalle de durée propre infinitésimale.
J'ai un peu de mal à saisir le concept de 4 vitesse de l'observteur qui dans son référentiel est (1 ;0;0;0) Me semble t'il

Oui, mais alors il est immédiat que U.V est égal à dt/dt°, non?

[invite6c093f92]

c'est le vecteur paramétré par (dt/dt° ; dx/dt° ; dy/dt° ; dz/dt°) dt° est une intevalle de durée propre infinitésimale.

Qu'elle est sa représentation/sens physique? Il y a bien une notion à comprendre dans ce qu'est la 4-vitesse.

[Zefram Cochrane]

C'est la version relativiste de la vitesse sauf que c'est en 4d au lieu de la 3d et que le paramètre temporel est le temps propre?

[Mailou75]

Salut,

Donc : comment définir physiquement la vitesse d'un objet situé au-delà de l'horizon ?

En 4D au delà de l'horizon c'est le futur. En projection 3D (vu) au delà de l'horizon il n'y a rien par définition.
Ta question n'a pour moi aucun sens, mais elle soulève un débat plus profond sur lequel nous ne tomberons pas d'accord, ici et maintenant. On en reparlera dans qq années...

Alors Zefram, c'est quoi pour toi une 4-vitesse?

Perso, j'ai une vision assez simple de la chose : la norme du quadrivecteur vaut 1 que j'ai traduit dans mon explication par "tout va a c". La question du quadrivecteur c'est uniquement sa direction et si on choisi un référentiel particulier (observateur) sa projection dans celui ci pour pouvoir parler de vitesse dans un "espace" euclidien donné ET l'angle formé avec les trajectoires des objets observés (=shift en cas de non parallélisme).

[invite6c093f92]

C'est la version relativiste de la vitesse sauf que c'est en 4d au lieu de la 3d et que le paramètre temporel est le temps propre?

Le paramètre temporel tau est un paramétrage particulier il me semble non? La notion est ailleurs (mais peut-être que je ne saisis pas ce que tu veux dire...).

La 4-vitesse c'est une information qui contient toutes les vitesses relatives (composantes) et donc c'est la dérivée unitaire du mouvement . La vitesse relative fait sens physique pour un et unique observateur, la 4-vitesse fait sens pour tous les observateurs.

[invite6c093f92]

J'ai un peu de mal à saisir le concept de 4 vitesse de l'observteur qui dans son référentiel est (1 ;0;0;0)

Tu prends le 4-vecteur représentant "l'immobilité" de ton obsv en rapport au référentiel et cela te donne la vitesse relative du mouvement en rapport à ce réf.

Dit autrement, si V est la 4-vitesse et U le 4-vecteur "immobilité" en rapport au réf d'un événement, la vitesse relative est V/(V.U)-U (en gros, en fait c'est la projection de cela sur l'orthogonal de U vu comme espace 3D, mais sans grande importance ici àmha). Avec gamma égal à V.U, avec la valeur de v se calculant en considérant que V²=1.
En espérant que cette "explication n'amène pas de confusion...En tout cas, pour moi, elle est claire .

[Zefram Cochrane]

Oui, mais alors il est immédiat que U.V est égal à dt/dt°, non?

pour un 3D vecteur spatial (1;0;0).(a;b;c) =a j'acquiesce, donc par extension , j'acquiesce aussi.

mais je n'ai pas l'habitude de manipuler les produits scalaires donc que U.V = dt/dt° n'est pas d'une évidence crasse pour moi.

[mach3]

Perso, j'ai une vision assez simple de la chose : la norme du quadrivecteur vaut 1 que j'ai traduit dans mon explication par "tout va a c"

mauvaise approche... il suffit de penser à la 4-vitesse d'une particule de masse nulle pour voir que cela cloche. La ligne d'univers est de genre nul, donc tout 4-vecteur tangent à cette ligne est de genre nul, c'est à dire que son carré scalaire vaut forcément 0. La norme de la 4-vitesse du photon (je passe sur le fait qu'on ne peut même pas la définir!) ne peut pas être c (ou 1, selon convention), contrairement aux normes des 4-vitesses de lignes d'univers de genre temps qui valent toutes c (ou 1, selon convention).

pour un 3D vecteur spatial (1;0;0).(a;b;c) =a j'acquiesce, donc par extension , j'acquiesce aussi.

mais je n'ai pas l'habitude de manipuler les produits scalaires donc que U.V = dt/dt° n'est pas d'une évidence crasse pour moi.

Pour les calculs sur des coordonnées, il faut introduire explicitement les coefficients du tenseur métrique pour comprendre. L'opérateur "." qui représente le produit scalaire, est une forme bilinéaire symétrique, c'est à dire une machine qui crache un nombre quand on lui donne un couple de vecteurs. Ce nombre est invariant, il ne dépend pas du système de coordonnées.
Si on choisit un système de coordonnées, le produit scalaire peut s'écrire avec les coefficients de la métrique dans le système de coordonnées choisi et et les coordonnées des vecteur u et v dans le système de coordonnées choisi.
Dans le cas Euclidien, si le système de coordonnée est orthonormal, les coefficients de la métrique valent 1 si et 0 sinon ( et allant de 1 à n avec n la dimension de l'espace, du coup le produit scalaire se réduit à .
Dans le cas Minkowskien, si le système de coordonnée est Lorentzien (=orthonormal mais au sens de minkowski), les coefficients de la métrique valent 1 si ( et sont 0 pour la coordonnée temporelle, et 1, 2 et 3 pour les 3 spatiales), -1 si et 0 sinon, du coup le produit scalaire se réduit à (avec i=1 à 3).

m@ch3

[Amanuensis]

C'est la version relativiste de la vitesse sauf que c'est en 4d au lieu de la 3d et que le paramètre temporel est le temps propre?

C'est un peu plus compliqué que cela, car il faut distinguer la 4-vitesse et la quadrivitesse.

LA 4-vitesse est la généralisation de la vitesse 3D, i.e., la dérivation par rapport à t, soit (dt/dt, dx/dt, dy/d, dz/dt) ; en prenant un déplacement dans le sens des x, elle a pour coordonnées (1, v, 0, 0). La première coordonnée est toujours 1 (dt/dt), les trois autres donnent la vitesse 3D. Cela est défini dans tous les cas, y compris un mouvement lumineux ("photon") ; dans ce dernier cas cela donne (1,1,0,0) en prenant c=1, dont la norme carrée est 1²-1²=0.

La quadrivitesse est la 4-vitesse normalisée à 1, et c'est aussi la dérivation par rapport au temps propre (en fait le temps propre se définit comme la paramétrisation pour cela...). Mais cette normalisation n'est possible que si la norme carrée est non nulle, donc non applicable aux "photons". Dans les autres cas, la quadrivitesse est (γ, γv, 0, 0) pour un déplacement le long des x, et plus généralement ( (dt/dt°, dx/dt°, dy/dt°, dz/dt°).

Dans le cas de l'observateur immobile, sa 4-vitesse a pour coordonnées (1, 0, 0, 0), ce qui est conséquence immédiate du fait que sa vitesse 3D est nulle, et c'est aussi sa quadrivitesse puisque la norme carrée est 1.

[Tout ça dans le cadre de l'espace-temps de Minkowski, avec un système de coordonnées de Minkowski.]

[mach3]

C'est un peu plus compliqué que cela, car il faut distinguer la 4-vitesse et la quadrivitesse.

je n'avais jamais vu cette distinction. Usage perso ou tu l'as déjà vu ailleurs? Pour moi 4-vitesse était juste une façon plus courte d'écrire quadrivitesse ou quadrivecteur vitesse, je ne pensais pas que cela pouvait être un concept différent. Dans le MTW, ils utilisent le terme "4-velocity" pour ce que tu appelles quadrivitesse. Par ailleurs, pour la gouverne de Zefram, dans mes messages précédent, ce que j'appelle "4-vitesse", c'est que tu viens de définir comme étant la "quadrivitesse".

m@ch3

[Amanuensis]

La distinction est nécessaire, qu'elle ait été vue ou non. (1)

Ensuite, la quadrivitesse est celle unitaire, si on accepte le https://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrivitesse. "Four-velocity" en anglais, oui ; mais j'écris en français.

Ensuite, faut choisir un autre terme (ou choisir de ne pas appeler...) pour le tangent par rapport à t. Que proposes-tu?


(1) Deux raisons, la dérivée dM/dt est la seule s'appliquant à toute trajectoire, temporelle, lumière ou tachyonique, et il est incompréhensible pour un débutant que dM/dt ne soit pas présentée comme l'extension naturelle de vitesse 3D, et qu'il faudrait y préférer dM/dtau (alors que le temps propre est une notion difficile). Les présentations de la RR sont très incohérentes sur ce genre de point, des fois on met en avant des grandeurs relatives (comme gamma), et d'autres fois on met en avant des grandeurs absolues (comme la quadrivitesse), et en mélangeant. Alors qu'il est facile de distinguer les deux approches. Par exemple il est facile de montrer que dM/dt est une grandeur relative ainsi que la vitesse 3D.

[mach3]

La distinction est nécessaire, qu'elle ait été vue ou non.

oui, ce sont deux concepts différents, mais j'ai surtout croisé l'un et pas sûr d'avoir beaucoup croisé l'autre.

Ensuite, la quadrivitesse est celle unitaire, si on accepte le https://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrivitesse. "Four-velocity" en anglais, oui ; mais j'écris en français.

OK pour ça, mais quand on lit plus souvent en anglais et que les ouvrages de référence sont généralement en anglais, pas évident de savoir à l'avance quel terme est utilisé de préférence en français (ça me fait penser à un exemple en chimie : masse volumique = density et densité = relative density/specific gravity), souvent on l'invente à partir du terme anglais (parce qu'on ne se souvient plus du mot en français et que sur les sujets techniques ce genre de traduction improvisée marche assez souvent), et pas de bol le mot qu'on invente est déjà pris par un autre concept... Le problème des "faux-amis" en somme.

Ensuite, faut choisir un autre terme (ou choisir de ne pas appeler...) pour le tangent par rapport à t. Que proposes-tu?

De chercher dans la littérature si d'autres on déjà nommer le concept et de retenir la terminologie la plus fréquente (si pas stupide ou incompatible avec le reste de la terminologie retenu) histoire de ne pas continuer de multiplier les termes et compliquer les choses. Et inventer si rien n'est trouvé. On pourrait dire 4-vitesse et 4-vitesse normalisée, ou 4-vitesse relative et 4-vitesse absolue voire 4-vitesse propre?

m@ch3