La relativité restreinte et le facteur de Lorentz

[Scientist_75]

Bonsoir,

J'ai une question à propos du facteur de Lorentz. Vous savez, en Terminale S on nous apprend les bases de la relativité restreinte avec les postulats d'Einstein et la démonstration mathématique du facteur de Lorentz qui sert à mesurer la dilatation du temps.

Expression littérale du facteur de Lorentz :

Quand on étudie ce facteur plus en détail grâce à un calcul de limite, on peut s'apercevoir que lorsque v tend vers c, le facteur diverge vers +∞. Mais qu'en est-il pour les valeurs de v qui seraient supérieures à c ? Je sais que rien n'est censé pouvoir dépasser la vitesse de la lumière, mais qu'est-ce qui empêcherait d'utiliser des nombres complexes pour calculer le facteur de Lorentz avec v > c ?

Cela ne vient-il pas du fait que, en relativité restreinte, l'espace-temps est modélisé par un espace préhilbertien réel et non un espace préhilbertien complexe ? Ou bien l'explication se trouve ailleurs ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[invite1c6b0acc]

Bonsoir,

C'est une idée connue : il s'agit de particules hypothétiques qu'on appelle les tachyons.

Ils auraient la particularité de ne pouvoir se déplacer qu'à une vitesse supérieure à celle de la lumière et qui tendrait vers celle de la lumière quand leur énergie tendrait vers l'infini et ils auraient une masse imaginaire pure.

A priori aucun rapport avec le fait que les coordonnées d'espace temps soient réelles : c'est leur masse qui devrait être imaginaire, pas leur position.

[pm42]

Cela ne vient-il pas du fait que, en relativité restreinte, l'espace-temps est modélisé par un espace préhilbertien réel et non un espace préhilbertien complexe ? Ou bien l'explication se trouve ailleurs ?

Il y a aussi le fait qu'en physique, les équations n'ont de sens que si elles correspondent à des phénomènes réels.
Donc on explore souvent des cas comme ça ce qui donne des tachyons, dans d'autre cas on trouve des trous de ver, de la matière exotique, des dimensions supplémentaires, etc.
Ce qui est intéressant mais reste spéculatif tant qu'on n'a pas d'expérience qui pointe vers une existence réelle. Ca a bien marché pour l'anti-matière mais là, on est loin d'avoir des indications qui iraient dans le sens de l'existence des tachyons par ex.

[Scientist_75]

Bonsoir,

C'est une idée connue : il s'agit de particules hypothétiques qu'on appelle les tachyons.

Ils auraient la particularité de ne pouvoir se déplacer qu'à une vitesse supérieure à celle de la lumière et qui tendrait vers celle de la lumière quand leur énergie tendrait vers l'infini et ils auraient une masse imaginaire pure.

A priori aucun rapport avec le fait que les coordonnées d'espace temps soient réelles : c'est leur masse qui devrait être imaginaire, pas leur position.

Et du coup, si leur masse est un imaginaire pure, cela signifie donc qu'ils n'ont pas vraiment de réalité physique ?

C'est juste une fantaisie quoi. Ils ne peuvent pas vraiment interagir avec le monde réel.

@PM42

Merci pour votre réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

Et du coup, si leur masse est un imaginaire pure, cela signifie donc qu'ils n'ont pas vraiment de réalité physique ?

S'il existaient, ils pourraient et il y a eu des expériences pour les détecter. Voir par ex https://www.scientificamerican.com/a...n-about-tachy/

Mais la réponse est "on ne sait pas du tout".

[invite1c6b0acc]

Un article qui explore assez profondément le problème.

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,

J'ai une question à propos du facteur de Lorentz. Vous savez, en Terminale S on nous apprend les bases de la relativité restreinte avec les postulats d'Einstein et la démonstration mathématique du facteur de Lorentz qui sert à mesurer la dilatation du temps.

Expression littérale du facteur de Lorentz : Pièce jointe 341666

Quand on étudie ce facteur plus en détail grâce à un calcul de limite, on peut s'apercevoir que lorsque v tend vers c, le facteur diverge vers +∞. Mais qu'en est-il pour les valeurs de v qui seraient supérieures à c ? Je sais que rien n'est censé pouvoir dépasser la vitesse de la lumière, mais qu'est-ce qui empêcherait d'utiliser des nombres complexes pour calculer le facteur de Lorentz avec v > c ?

Cela ne vient-il pas du fait que, en relativité restreinte, l'espace-temps est modélisé par un espace préhilbertien réel et non un espace préhilbertien complexe ? Ou bien l'explication se trouve ailleurs ?

Merci d'avance pour vos réponses.

Bonjour, il y a une confusion en relativité sur le sens physique à apporter au facteur de Lorentz qui ne sert pas à mesurer la dilatation du temps.

Le facteur de Lorentz est le rapport entre la durée propre d'un observateur mesurée à partir d'une seule et même horloge dans un train par exemple et une durée coordonnée mesurée à partir de deux horloges distantes disposées le long de la voie et synchronisées.

la durée coordonnée n'a de pertinence au niveau physique que localement (dt) lorsque deux horloges sont distantes d'une distance infinitésimale (dx).

le temps du référentiel ( temps coordonnée dans un diagramme de Minkowski) est un avatar de temps au même titre que l'onde stationnaire l'est pour une onde parce que physiquement, elle correspond à la superposition de deux ondes progressives.


https://fr.wikipedia.org/wiki/Onde_stationnaire

[mach3]

Le facteur de Lorentz est le rapport entre la durée propre d'un observateur mesurée à partir d'une seule et même horloge dans un train par exemple et une durée coordonnée mesurée à partir de deux horloges distantes disposées le long de la voie et synchronisées.

la durée coordonnée n'a de pertinence au niveau physique que localement (dt) lorsque deux horloges sont distantes d'une distance infinitésimale (dx).

Plus simplement, c'est le produit scalaire (au sens de Minkowski) de deux 4-vitesses, celle de l'observateur et celle de l'objet qu'il observe. C'est net, propre, sans bavure, sans référence à des coordonnées ou à une expérience particulière. Et défini comme ça c'est un invariant qui caractérise la relation entre une instance précise de cet observateur là (au sens d'un évènement sur sa ligne d'univers) et une instance précise de cet objet là.

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Plus simplement, c'est le produit scalaire (au sens de Minkowski) de deux 4-vitesses, celle de l'observateur et celle de l'objet qu'il observe.
m@ch3

Salut,
Je voudrais avoir la démonstration détaillée de cette définition STP?
Je vois ce qu'est une 4-vitesse et un produit scalaire. Mais j'ai du mal à me représenter la 4-vitesse de l'observateur.

[albanxiii]

Bonjour,

Pour s'amuser avec les tachyons, problème 5 de http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain...2003.12.13.pdf
J'ai peur, par contre, que cela dépasse un peu le niveau lycée... quoique...

[Nicophil]

Bonjour,

Le facteur de Lorentz est le rapport entre la durée propre et une durée coordonnée mesurée à partir de deux horloges distantes disposées le long de la voie et synchronisées.

Plutôt l'inverse : entre une durée coordonnée et la durée propre !
Ou entre l'inertie et la masse. Ou entre la longueur propre et sa mesure contractée.

[invite1c6b0acc]

la durée coordonnée n'a de pertinence au niveau physique que localement (dt) lorsque deux horloges sont distantes d'une distance infinitésimale (dx).

Bah non : ici on parle de relativité restreinte : un système de coordonnées s'applique à tous l'espace-temps.

Ce qui fait que c'est uniquement local en RG, c'est justement qu'il n'existe pas d'espace-temps de Minkowski global : on est obligé de prendre à chaque point un espace-temps de Minkowski différent, tangent à l'espace-temps de Riemann.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Plutôt l'inverse : entre une durée coordonnée et la durée propre !
Ou entre l'inertie et la masse. Ou entre la longueur propre et sa mesure contractée.

Exact !!!!

[mach3]

Je voudrais avoir la démonstration détaillée de cette définition STP?
Je vois ce qu'est une 4-vitesse et un produit scalaire. Mais j'ai du mal à me représenter la 4-vitesse de l'observateur.

ça peut être un peu long, mais pas inintéressant, j'essaie de faire ça pour un prochain post. En attendant, la version courte :

On prend c=1, et une signature +--- pour la métrique. Si on se place dans un système de coordonnées de Lorentz (t, x, y, z) où l'observateur est immobile, sa 4-vitesse est (1,0,0,0), alors que la 4-vitesse de l'objet est (mettons qu'il se déplace suivant les x croissants) ( , , 0, 0). Le produit scalaire des deux est simplement .

m@ch3

[invite6c093f92]

Salut,
Je voudrais avoir la démonstration détaillée de cette définition STP?

C'est dans tout bouquin de RR non? .

Je vois ce qu'est une 4-vitesse et un produit scalaire. Mais j'ai du mal à me représenter la 4-vitesse de l'observateur.

Donc tu sais que la 4-vitesse est le 4-vecteur tangent à la trajectoire 4D paramétrée par la durée-propre, et donc ces trucs étant indépendants de tout choix de référentiel, coordonnées, ect... cela a un statut d'invariant.
Ensuite, il y a les composantes de ce 4-vecteur qui elles dépendent d'un choix de base.

Avec ça, tu dois pouvoir répondre à ta question de la représentation de la 4-vitesse de l'observateur .

En aparté, je suis étonné que tu poses ce genre de question...c'est quand même, il me semble, un truc de base...mais moi aussi, il m'arrive de faire pareil...la fatigue?

[Zefram Cochrane]

Bah non : ici on parle de relativité restreinte : un système de coordonnées s'applique à tous l'espace-temps.

Ce qui fait que c'est uniquement local en RG, c'est justement qu'il n'existe pas d'espace-temps de Minkowski global : on est obligé de prendre à chaque point un espace-temps de Minkowski différent, tangent à l'espace-temps de Riemann.

Bonjour,
En RR cet espace-temps de Minkowski global n'est possible que du fait de la constance de la vitesse de la lumière peut s'appliquer sur des distances non infinitésimales alors qu'en RG la constance de la vitesse de la lumière ne s'applique que localement.

Le temps du référentiel mesurée à partir d'horloges synchronisées distantes d'une longueur non infinitésimale est un avatar de temps comme l'impact d'un pointeur laser sur un acran est un avatar de point rouge lumineux se déplaçant sur cette toile.

[Deedee81]

Salut,

En RR cet espace-temps de Minkowski global n'est possible que du fait de la constance de la vitesse de la lumière peut s'appliquer sur des distances non infinitésimales alors qu'en RG la constance de la vitesse de la lumière ne s'applique que localement.

Attention, c'est l'inverse.
En RR on postule le fait que l'espace (à temps coordonnée fixé dans un référentiel donné) est euclidien. D'où la globalité.
En RG l'espace-temps courbe découle directement du principe d'équivalence (et du parti pris de géométriser la gravitation). Et c'est de là que découle la nécessité de travailler localement.

[Zefram Cochrane]

C'est dans tout bouquin de RR non? .


Donc tu sais que la 4-vitesse est le 4-vecteur tangent à la trajectoire 4D paramétrée par la durée-propre, et donc ces trucs étant indépendants de tout choix de référentiel, coordonnées, ect... cela a un statut d'invariant.
Ensuite, il y a les composantes de ce 4-vecteur qui elles dépendent d'un choix de base.

Avec ça, tu dois pouvoir répondre à ta question de la représentation de la 4-vitesse de l'observateur .

Je pense aussi . Je ferais un schéma pour être sûr de comprendre l'explication.

En aparté, je suis étonné que tu poses ce genre de question...c'est quand même, il me semble, un truc de base...mais moi aussi, il m'arrive de faire pareil...la fatigue?

Je sais bien, mais j'ai développé ma compréhension de la RR exclusivement à partir d'une approche Doppler qui est différente de l'approche géométrique traditionnelle.

Par exemple que penses-tu duschéma de couverture de mon futur bouquin?

[invite6c093f92]

Je sais bien, mais j'ai développé ma compréhension de la RR exclusivement à partir d'une approche Doppler qui est différente de l'approche géométrique traditionnelle.

Peut-être que voir les autres approches te serait bénéfique, et il me semble nécessaire de le faire (voir toutes les approches)pour comprendre au mieux, dans son ensemble le sujet....Yapluka.

Par exemple que penses-tu duschéma de couverture de mon futur bouquin?Pièce jointe 341712

Pas encore validé, mais je pense que écrire un bouquin quand on cafouille sur des trucs plus ou moins basiques, c'est risquer de perdre de futurs lecteurs sur ce qu'est la Relativité...Mais peut-être que tu ne commences que par la couv, donc cela te laisse le temps de bien poser les choses .

[Amanuensis]

Bah non : ici on parle de relativité restreinte : un système de coordonnées s'applique à tous l'espace-temps.

Pas si simple. Il y a une confusion très courante entre les coordonnées affines, celles de l'espace-temps en tant que variété d'événements, et les coordonnées des quadri-vecteurs dans l'espace vectoriel tangent, c'est à dire local.

La transformation de Lorentz qui est présentée dans les textes est très souvent celles pour les coordonnées vectorielles, et c'est toujours le cas quand elle est exprimée avec des infinitésimaux (dt, dx, etc.). (Les infinitésimaux en question sont des éléments du co-tangent local.)

La remarque de ZC est donc loin d'être incorrecte, même si les nuances nécessaires manquent.

Ce qui fait que c'est uniquement local en RG, c'est justement qu'il n'existe pas d'espace-temps de Minkowski global : on est obligé de prendre à chaque point un espace-temps de Minkowski différent, tangent à l'espace-temps de Riemann.

On peut voir d'ailleurs dans cette phrase la confusion, puisque "un espace-temps de Minkowski différent" n'a aucun sens si on comprend par "espace-temps" un espace affine (une variété constituée d'événements). Par contre c'est correct en comprenant "espace-temps de Minkowski" comme "espace vectoriel muni d'une métrique de Minkowski".

Et ce n'est pas tant qu'on soit "obligé de prendre un espace-temps de Minkowski différent [en chaque événement]", ce qui se comprend comme "obligé de prendre un espace vectoriel tangent différent [en chaque événement]", car cela s'applique aussi à l'espace-temps affine de Minkowski, mais c'est plutôt que "on n'a pas pas de relation canonique entre espaces vectoriels tangents permettant de confondre abusivement tous les tangents en un seul".

[Deedee81]

plus ou moins basiques

Oui, voir mon message précédent. Zefram, je ne peux que t'encourager à potasser les bases : les fondements expérimentaux d'une part, et les postulats de base d'autre part. Tout le reste, c'est après. Faut pas mettre la charrue avant les boeufs sinon on reçoit des coups de sabots

[Amanuensis]

Je voudrais avoir la démonstration détaillée de cette définition STP?

Une définition ne se démontre pas!

Ce qui est demandé est que cette définition correspond bien aux usages connus de "facteur de Lorentz". Pour bien répondre faudrait préciser l'usage ou les usages visés.

[Amanuensis]

En RR cet espace-temps de Minkowski global n'est possible que du fait de la constance de la vitesse de la lumière peut s'appliquer sur des distances non infinitésimales alors qu'en RG la constance de la vitesse de la lumière ne s'applique que localement.

Attention, c'est l'inverse.

Je ne vois pas trop en quoi, l'assertion de ZC m'apparaît correcte. Problème d'interprétation?

En particulier, il est correct qu'en RG la vitesse de la lumière sur un segment de chemin non réduit à un point, définie comme le rapport entre la longueur-coordonnée et la durée-coordonnée du segment (1), n'est pas nécessairement constante ; alors qu'elle l'est dans l'espace-temps de Minkowski.

Et la propriété locale, portant sur la nullité de la norme du tangent au chemin, s'applique aussi bien en RG qu'en RR.

(1) La première définie par une intégrale et la seconde par la différence de date, le tout dans un système de coordonnées quelconques parmi ceux avec une coordonnée temporelle et trois spatiales.

[Amanuensis]

Oui, voir mon message précédent. Zefram, je ne peux que t'encourager à potasser les bases : les fondements expérimentaux d'une part, et les postulats de base d'autre part.

Ben justement... ZC cherche à partir de fondements expérimentaux (le décalage de fréquence). Alors que l'approche de loin la plus courante (et qui est derrière pas mal d'interventions) est de partir de formules "expliquées" par des postulats.

Ce serait intéressant de trouver des "bases" à "potasser" qui lui seraient adaptées, c'est à dire s'intéressant d'abord aux phénomènes, à ce qui est observable et expérimentable, et en profondeur, avant de passer à une approche matheuse à base de "postulats".

[invite6c093f92]

En RR cet espace-temps de Minkowski global n'est possible que du fait de la constance de la vitesse de la lumière peut s'appliquer sur des distances non infinitésimales alors qu'en RG la constance de la vitesse de la lumière ne s'applique que localement.

Ce qui ne me convient pas là dedans, c'est d'omettre qu'en RR on zappe toutes contributions de la courbure puisque elles y sont posées nulles, et fait ressortir c comme le pourquoi c'est possible, bien sûr ça c'est correct, mais en RG c'est idem, le fait de la différence local VS non-local est permis grâce au fait en RR que la courbure est nulle ou au moins pire approximativement négligeable, bref c'est le " n'est possible que du fait...ect", àmha, la possibilité n'est pas là, puisque la constante c est égale que ce soit en RR ou RG, mais traitée différemment en RG du fait de la courbure...bon, c'est peut être mon côté "pinailleur" ou bien une incompréhension de ma part....

[sunyata]

Le facteur de Lorentz est le rapport entre la durée propre d'un observateur mesurée à partir d'une seule et même horloge dans un train par exemple et une durée coordonnée mesurée à partir de deux horloges distantes disposées le long de la voie et synchronisées. la durée coordonnée n'a de pertinence au niveau physique que localement (dt) lorsque deux horloges sont distantes d'une distance infinitésimale (dx).
le temps du référentiel ( temps coordonnée dans un diagramme de Minkowski) est un avatar de temps au même titre que l'onde stationnaire l'est pour une onde parce que physiquement, elle correspond à la superposition de deux ondes progressives.

Le facteur de Lorentz a aussi une signification physique puisque qu'il permet de rendre compte des la désynchronisation des horloges parfaites (Multiplicité des temps propres), comme l'illustre l'exemple de "Jumeaux de Langevin".

Cordialement,

[Amanuensis]

Ce qui ne me convient pas là dedans, c'est d'omettre qu'en RR on zappe toutes contributions de la courbure puisque elles y sont posées nulles, et fait ressortir c comme le pourquoi c'est possible, bien sûr ça c'est correct, mais en RG c'est idem, le fait de la différence local VS non-local est permis grâce au fait en RR que la courbure est nulle ou au moins pire approximativement négligeable, bref c'est le " n'est possible que du fait...ect", àmha, la possibilité n'est pas là, puisque la constante c est égale que ce soit en RR ou RG, mais traitée différemment en RG du fait de la courbure...bon, c'est peut être mon côté "pinailleur" ou bien une incompréhension de ma part....

Non, c'est bien ça.

On ne présente pas assez l'espace-temps de Minkowski comme une solution particulière de la RG, et donc sans présenter ce qui fait sa particularité. C'est bien évidemment d'abord le tenseur de courbure partout nul.

D'un autre côté, c'est équivalent à plein d'autres propriétés et il est fort possible (pas vérifié) que la manière de présenter de ZC soit une telle équivalence, qui a l'avantage (peut-être?) d'être plus proche des phénomènes. Et l'assertion de ZC ne parle pas de "c" mais de la mesure de la vitesse d'un mouvement lumineux.

C'est dans le même esprit que mes remarques précédentes: le difficile équilibre entre les maths et les observations me semble trop souvent mal fait en RR, trop en faveur des maths. Et je comprends que cela ne convienne pas à tout le monde.

[Amanuensis]

Le facteur de Lorentz a aussi une signification physique

Le facteur de Lorentz se définit proprement comme l'a indiqué Mach3. Et il a plein de significations physiques.

Une définition propre d'un concept n'a pas besoin de se baser sur une signification physique, et c'est même préférable de ne pas le faire quand elle a plein de significations physiques différentes. Car alors le caractère général peut facilement être masqué par le choix de la "signification physique". Un peu comme "énergie"...

[sunyata]

Le facteur de Lorentz se définit proprement comme l'a indiqué Mach3. Et il a plein de significations physiques.

Une définition propre d'un concept n'a pas besoin de se baser sur une signification physique, et c'est même préférable de ne pas le faire quand elle a plein de significations physiques différentes. Car alors le caractère général peut facilement être masqué par le choix de la "signification physique". Un peu comme "énergie"...

Oui mais c'est d'abord de la physique.

[Scientist_75]

Bonjour, il y a une confusion en relativité sur le sens physique à apporter au facteur de Lorentz qui ne sert pas à mesurer la dilatation du temps.

Le facteur de Lorentz est le rapport entre la durée propre d'un observateur mesurée à partir d'une seule et même horloge dans un train par exemple et une durée coordonnée mesurée à partir de deux horloges distantes disposées le long de la voie et synchronisées.

Oui, on se comprend quand je dis "dilatation du temps".

Ou plutôt : Δt = γ * Δtp <=> γ = Δt/Δtp = 1/racine(1+v²/c²)

Du coup, par rapport à ma question de base sur les nombres imaginaires et les Tachyons : on est d'accord pour dire que ces particules n'ont pas vraiment de réalité physique ? Une masse imaginaire, ça n'a pas vraiment de correspondance ou d'équivalent avec le monde physique.

Par ailleurs, en physique relativiste, l'énergie cinétique d'une particule se calcule suivant la formule : E = (γ-1)mc²

L'énergie diverge vers +∞ quand v se rapproche de c. Donc quand v = c, on a du 1/0 et l'énergie devient carrément infinie (pour le dire de façon un peu vulgaire). Donc si les Tachyons existaient réellement dans la nature, cela signifierait que leur énergie cinétique est supérieur à +∞ ? Autrement dit, ils ont beaucoup plus d'énergie qu'il n'y en aura jamais dans tout l'Univers ?

C'est pas un peu contradictoire comme conclusion ?