Un trou noir, c'est troublant !

[mach3]

Intégrer ds sur une ligne de genre espace donne une longueur au même titre que intégrer ds sur une ligne d'univers donne une durée (après faut faire gaffe aux unités).
Par contre attention, on intègre sur une ligne de genre espace (r=cst<2M) entre les deux évènements, cela donne la longueur de cette ligne, mais ce n'est pas la distance entre les deux évènements (ça n'a d'ailleurs pas beaucoup de sens a priori, une distance c'est entre des objets ou des lieux, donc entre des lignes d'univers, pas entre des évènements seuls). Il y a une infinité de lignes de genre espace qui vont relier ces deux évènements, certaines seront plus courtes (il suffit qu'elle tende vers les bords d'un cône de lumière qui porte les deux évènements), d'autres plus longues (il suffit de s'autoriser un déplacement angulaire).

m@ch3
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[Mailou75]

Salut desolé pour le delay...

Intégrer ds sur une ligne de genre espace donne une longueur au même titre que intégrer ds sur une ligne d'univers donne une durée (après faut faire gaffe aux unités).

C’est que ça me semble trop simple... quand j’entend intégrer mais que je ne vois pas d’intégrale je trouve ça étrange, pas que j’y tienne... est-ce parce que le facteur z+1 est constant le long d’un r constant ? En fait tu obtiens un intervalle de temps (t obs eloigné) que tu multiplies par un z+1 (valeur absolue sinon ça deconne) comme on le fait pour le temps en region I et tu l’interprettes comme une distance (en le multipliant par c)? Car rien ne l’indique, ni meme que abs(z+1) ait un sens, je trouve ça un peu tiré par les cheveux... (ne le prend pas pour toi). Pas grave, prenons l’exercice pour ce qu’il est

Par contre attention, on intègre sur une ligne de genre espace (r=cst<2M) entre les deux évènements, cela donne la longueur de cette ligne, mais ce n'est pas la distance entre les deux évènements (ça n'a d'ailleurs pas beaucoup de sens a priori, une distance c'est entre des objets ou des lieux, donc entre des lignes d'univers, pas entre des évènements seuls).

Certes... sauf si on considère la contrainte qu’ils sont sur un espace synchronisé (hyperbole r=0) du même type que l’axe X (ou n’importe quelle diagonale passant par 0;0) en region I. Dans ce cas l’intervalle entre deux evenements est bien une distance propre.

Merci, à plus

Mailou

[mach3]

C’est que ça me semble trop simple... quand j’entend intégrer mais que je ne vois pas d’intégrale je trouve ça étrange, pas que j’y tienne...

je détaille un peu, on a la métrique :

(je limite volontairement au radial, j'ai viré les termes angulaires)

C'est une forme bilinéaire, qui donne un scalaire quand on lui donne deux vecteurs. Un exemple de vecteur qu'on peut lui donner est un 4-vecteur tangent d'une ligne. Petit rappel, ce vecteur ne vit pas dans la variété (qui contient seulement des évènements, pas de vecteurs), mais dans l'espace tangent au point considéré de la variété (il est important de faire la distinction en espace-temps courbe, si c'est plat, la variété et le tangent sont souvent confondus)
Par exemple si j'ai une ligne décrite par , avec un paramètre arbitraire qui varie le long de la ligne, un paramètre quelconque si ce n'est qu'on lui demande d'être monotone ( peut notamment être le temps propre si c'est une ligne d'univers), alors en un point de la ligne j'aurais un vecteur , tangent à la ligne. Si je donne ce vecteur deux fois à la métrique, elle me donne le scalaire :



J'ai donc la dérivée de s (l'intervalle) par rapport à lambda au point considéré (au carré). Si je veux connaitre la variation de s (l'intervalle) le long d'un morceau de la ligne, il faut que je l'intègre :

.

Mathématiquement c'est la même logique que pour connaitre la longueur d'un chemin en connaissant la vitesse en fonction du temps en cinématique de base : on intègre la vitesse sur le temps.

Dans le cas considéré, on a pris une courbe de r constant et t joue le rôle du paramètre de cette courbe. Ce qui nous donne tout bêtement un vecteur tangent (dt/dt=1, dr/dt=0) et la fonction à intégrer étant indépendante de t, l'intégration est triviale :



(s étant soit une longueur, soit une durée, tout dépend du signe de r-2M)

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

C’est un peu ce que j’essayais de decrire avec mon jargon inadapté, merci d’y mettre les mots justes. J'essayerais de voir si je peux traduire tout ça graphiquement (ça risque de me prendre un certain temps...) J’ai l’impression qu’à partir de maintenant on va avancer en terrain inconnu, ou disons très peu vulgarisé : je n’ai jamais croisé aucune source montrant ce que tu decris...

A bientot

Mailou

[mach3]

J’ai l’impression qu’à partir de maintenant on va avancer en terrain inconnu, ou disons très peu vulgarisé

et oui, ça devient technique...

je n’ai jamais croisé aucune source montrant ce que tu decris...

faut lire le MTW par exemple, chapitre 13.

m@ch3

[Mailou75]

Dac merci, laisse moi un peu de temps, je reviens dès que j’ai du neuf.

Merci pour ton aide

[Mailou75]

Re,

Alors je suis allé voir du coté des coordonnées de Novikov, une parenthèse très à propos qui va nous en apprendre un peu plus... merci mach3

J'ai donné d'autres systèmes en comparaison, ça aide à faire le lien entre eux. Pour chacun, il est représenté 4 objets en chute libre :

- Noir qui part de Rs et chute en un temps propre 1,571 Rs/c (Pi/2 précisément... )
- Rouge qui part de 1,054 Rs et chute en un temps propre 1,7 Rs/c
- Vert qui part de 1,175 Rs et chute en un temps propre 2,0 Rs/c
- Rouge qui part de 1,289 Rs et chute en un temps propre 2,3 Rs/c
+ une géodésique lumière entrante

Bien sur, par symétrie on obtient la figure complète avec le trou blanc. J'ai simplifié en ne montrant que le futur.

Schwarzchild

J'ai hésité à le mettre car il ne nous apprend rien de neuf. Il figure quand même à cause de la trajectoire de Noir... elle serait du genre "espace pur" pour l'observateur de Schw (si Amanuensis était là il me couperait un doigt pour avoir écrit ça...). On sait qu'elle doit au contraire être interprétée comme du temps (propre) car c'est une géodésique de chute libre (objet inertiel). Par symétrie pour obtenir le passé, la trajectoire de Noir se retrouve superposée à elle-même.

Newton +

Je me suis permis un truc que je croyais interdit auparavant : faire des trajectoires de chute de Newton un système de RG, d'où le "+". Les r restent constants car ce sont ceux de Schw, en notant bien que ces r sont ce qui est vu par l'observateur éloigné et pas le mètre local arpentable (un détail qui n'en est pas un...), le Tau est celui ce Newton : le temps propre de celui qui chute. Simplement j'ai ajouté les t de Schw et je me suis autorisé à tracer un rayon lumineux courbe.

Ce qui est intéressant c'est qu'il met en évidence que tout le "quart d'ellipse" situé en dessous de Noir, cad des trajectoires dont le point culminant serait inférieur à Rs et qu'autoriserait Newton, ne fait pas partie des autres systèmes, par définition. Cette trajectoire marque la limite entre ce qui a le droit d'exister ce qui n'a pas le droit d'exister ?!!

Novikov

[ J'ai dit merci mach3 mais en fait je t'ai maudit... 1636 points "à la main" (sans formule analytique) comme tu le sais... ]

Novikov se définit comme le repère où les géodésiques de chute libre ayant leur point d'apoastre à Tau=t=0 sont des trajectoires "comobiles" (droites verticales) pour lequel l'axe de temps est le temps propre de ces trajectoires, Tau est le même que Newton. La seule donnée est la coordonnée d'abscisse R* :



Il monte bien comment "l'inertiel" (immobile + temps constant) va rencontrer les graduations d'espace (r constants) de plus en plus vite, traduisant l'accélération pendant la chute. On peut aussi le voir comme une "abaque" où on peut très facilement tracer de nouvelles géodésiques et trouver le temps de chute ou autre évènement.

Kruskal

Rien de neuf. Si ce n'est qu'on comprend ce qu'est l'axe T : la trajectoire "limite" de Noir. Pour l'instant ça me fait juste mal au crâne...

Par symétrie pour obtenir le passé, la trajectoire complète de Noir, d'une durée propre Pi*Rs/c, irait de la singularité passée à la singularité future en passant par un apoastre en Rs, tout ceci à t=0, cad en une durée nulle pour l'observateur éloigné (pour sa défense il ne voit aucun de ces évènements ).


Merci pour votre aide

Mailou

[Mailou75]

Pour la suite...

Donc ça donne simplement une longueur de si r<2M (si r>2M c'est une durée...)

Ceci va permettre de graduer (espace) les hyperboles en région II. Je dois aussi connaître la valeur (temps) de chaque hyperbole.

Merci

[mach3]

Ce qui est intéressant c'est qu'il met en évidence que tout le "quart d'ellipse" situé en dessous de Noir, cad des trajectoires dont le point culminant serait inférieur à Rs et qu'autoriserait Newton, ne fait pas partie des autres systèmes, par définition. Cette trajectoire marque la limite entre ce qui a le droit d'exister ce qui n'a pas le droit d'exister ?!!

ce système de coordonnées r,tau (avec r tel que les sphères de r,tau constant ont une surface 4pir² et tau tel que synchrone avec les temps propres des chuteurs libres radiaux culminants tous dans une même hypersurface orthogonale aux lignes de r,theta,phi constants et valant 0 à la culmination) est amusant et intéressant.

Il transforme les géodésiques de chutes libres radiales culminantes en t=0 en cycloïdes (si on met r en abscisse et tau en ordonnée, elles sont tournées de 90° par rapport aux cycloïdes "habituelles" qu'on dessine pour la trajectoire d'un point d'une roue par rapport à la route). La géodésique "limite" (chute radiale culminant en r=rs) ne faisant pas exception et se transformant en "cycloïde limite"
Cela a pour effets, en partant de Kruskal :
-de découper le long de la ligne X=0 (on jette, au moins provisoirement, la partie X<0, une extension, par exemple en définissant r'=r sgn(X), étant néanmoins envisageable)
-de tordre toutes les lignes de r constant (qui sont des hyperboles dans kruskal) pour en faire des verticales régulièrement espacées
-les branches d'hyperboles représentant les singularités passées et futures deviennent des verticales (elles ne font pas exceptions), et les horizons aussi
-les horizons passés et futur semblent illusoirement en continuité l'un de l'autre (ils sont tous deux tangents au même point de pente verticale de la cycloide limite)
-les singularités passé et futures sont connectées entre elles par la cycloïde limite

Le système permet de représenter des géodésiques radiales culminantes entièrement, de la singularité passé à la singularité future! Il contient en fait la région I entière (r>rs), une moitié de la région II (r0, c'est la zone au-dessus de la cycloïde) et une moitié de la région IV (r0 du kruskal. La partie dans la cycloïde limite est "bizarre". Je vois deux possibilités pour cet endroit :
-c'est hors de la variété tout simplement (comme les points |T²-X²|>1 dans Kruskal)
-chaque segment horizontal allant de r=0 à la cycloïde limite ne représente qu'un seul évènement

Ce système a par contre le même genre d'inconvénient que Schwarzschild, car chaque quadruplet (tau, r, theta, phi) correspond à deux évènements, l'un en X>0 et l'autre en X<0 (sauf sur X=0). Mais si on utilise r'=r sgn(X) au lieu de r, cet inconvénient disparait et on représente donc toute l'hypersurface de (theta, phi) constant, une extension maximale, comme dans kruskal ou novikov. Il y a cependant des bizarreries :
-l'intérieur de la double cycloïde limite (une espèce d'ellipse ou d'ovale), qui est comme déjà proposé, soit hors de la variété, soit une zone où les segments horizontaux représentent un unique évènement
-une ligne qui atteint cette double cycloide ressort donc "instantanément" de l'autre côté
-les hyperboles des singularités se retrouvent dégénérées en demi-droites, ce qui fait disparaitre les régions |T²-X²|>1

Ce serait rigolo (mais pas forcément utile) de trouver un système d'extension maximale où les régions |T²-X²|>1 disparaissent sans pour autant générer une région bizarre en X=0, -1
m@ch3

[Mailou75]

Salut,

ce système de coordonnées r,tau (avec r tel que les sphères de r,tau constant ont une surface 4pir² et tau tel que synchrone avec les temps propres des chuteurs libres radiaux culminants tous dans une même hypersurface orthogonale aux lignes de r,theta,phi constants et valant 0 à la culmination) est amusant et intéressant.

Oui, il y a quelques restrictions... à peu près les mêmes que Novikov en fait : on ne peut ajouter que des géodésiques de la même catégorie.
Ton 4Pir² signifie-t-il qu'on peut faire tourner la figure autour de l'axe Tau pour obtenir une dimension supplémentaire ?

Il transforme les géodésiques de chutes libres radiales culminantes en t=0 en cycloïdes (si on met r en abscisse et tau en ordonnée, elles sont tournées de 90° par rapport aux cycloïdes "habituelles" qu'on dessine pour la trajectoire d'un point d'une roue par rapport à la route). La géodésique "limite" (chute radiale culminant en r=rs) ne faisant pas exception et se transformant en "cycloïde limite"

Bien vu, je me suis empressé de vérifier ça hier soir... la trajectoire de Noir est une cycloïde, au sens point sur la roue que tu décris, pour 180° (360° pour aller à la singularité passée) d'une roue de diamètre Rs. Y a t-il quelque chose à tirer de cette "analogie" ? Pourquoi ça te semble normal ?

Les autres trajectoires sont des homothéties de celle ci avec une valeur différente suivant r et Tau (ça je le savais déjà), c'est toujours Newton.

Cela a pour effets, en partant de Kruskal :
-de découper le long de la ligne X=0 (on jette, au moins provisoirement, la partie X<0, une extension, par exemple en définissant r'=r sgn(X), étant néanmoins envisageable)
-de tordre toutes les lignes de r constant (qui sont des hyperboles dans kruskal) pour en faire des verticales régulièrement espacées
-les branches d'hyperboles représentant les singularités passées et futures deviennent des verticales (elles ne font pas exceptions), et les horizons aussi
-les horizons passés et futur semblent illusoirement en continuité l'un de l'autre (ils sont tous deux tangents au même point de pente verticale de la cycloide limite)
-les singularités passé et futures sont connectées entre elles par la cycloïde limite

Bonne description mais je l'aurais faite dans l'autre sens. Les trajectoires de chute sont celles de Newton et moyennant qu'on écrive le bonnes unités sur chaque axe, une seule courbe peut décrire n'importe quelle chute (champ faible par ex). Le reste, ce sont justement les effets relativistes qui mènent à Kruskal.

Le système permet de représenter des géodésiques radiales culminantes entièrement, de la singularité passé à la singularité future! Il contient en fait la région I entière (r>rs), une moitié de la région II (r0, c'est la zone au-dessus de la cycloïde) et une moitié de la région IV (r0 du kruskal.

C'est un point important. D'habitude je représente les régions I et II, ici j'ai représenté le futur + un passé supposé symétrique. Dans les deux cas j'ai 1/2 espace temps complet. La logique voudrait que l'intérieur de l'ogive de Newton disparaisse en s'aplatissant et que donc la réunion de X>0 et X<0 signifie droite et gauche (avec chacun passé et futur), comme pour Newton. Je ne te cache pas que ça va poser problème pour certaines trajectoires, dont celles qui traverseraient l'axe T en région II par exemple...

La partie dans la cycloïde limite est "bizarre". Je vois deux possibilités pour cet endroit :
-c'est hors de la variété tout simplement (comme les points |T²-X²|>1 dans Kruskal)
-chaque segment horizontal allant de r=0 à la cycloïde limite ne représente qu'un seul évènement

J'en vois bien une troisième : la variété est incomplète. (Je ne sais même pas de quoi je parle, je vais me faire taper sur les doigts )

-une ligne qui atteint cette double cycloide ressort donc "instantanément" de l'autre côté

Ouii, tu l'as vue celle là ? La même que décrite plus haut. En traversant l'axe T elle devrait appartenir au passé du trou noir (X<0 T>0 region II), alors qu'elle appartient au "futur-gauche"(X<0 T>0) !
Tout ceci vient mettre le bordel dans mes acquis, j'adooore... ce Novikov était une brillante idée, bien joué

-les hyperboles des singularités se retrouvent dégénérées en demi-droites, ce qui fait disparaitre les régions |T²-X²|>1
Ce serait rigolo (mais pas forcément utile) de trouver un système d'extension maximale où les régions |T²-X²|>1 disparaissent sans pour autant générer une région bizarre en X=0, -1

Tu parles de la zone au dessus de la singularité ? Il y aura toujours une limite qq soit le système, c'est le "bord futur" non ? Peux tu développer ?


Merci pour ton aide

Mailou

[Mailou75]

Ce serait rigolo (mais pas forcément utile) de trouver un système d'extension maximale où les régions |T²-X²|>1 disparaissent sans pour autant générer une région bizarre en X=0, -1

Finalement en relisant bien... plutôt que la faire disparaître, ne vaut-il pas mieux chercher à savoir ce qu'il y a dedans ? Pourquoi les particules ayant un apoastre inférieur à Rs ne pourraient-elle pas faire partie de la "carte" ? La trajectoire de Noir est la limite de ce qui pourrait un jour (lointain) être vu en région I (évènement d'apoastre : X=T=0), mais Schw ne s'applique-t-il pas justement à décrire ce qui est vu de l'extérieur ?...

[Mailou75]

Et un dernier point, mais sans doute le plus important. On voit ici tout un tas de particules traversant la région I, cad sortant du trou noir et capable d'émettre des informations avant de retomber dedans. Donc que fait-on du "rien ne sort d'un trou noir" (qui ne concerne en fait que la région II, cad un futur au delà de l'horizon des évènements) ? Toi même tu supposes qu'un observateur extérieur peut observer la singularité passée et le contenu de la région IV qui n'est autre que le passé du trou noir (perso j'en doute).

[mach3]

Oui, il y a quelques restrictions... à peu près les mêmes que Novikov en fait : on ne peut ajouter que des géodésiques de la même catégorie.

non, on peut tracer toutes les géodésiques, mais peut-être que tu veux parler de celles qui sont faciles à tracer?

Ton 4Pir² signifie-t-il qu'on peut faire tourner la figure autour de l'axe Tau pour obtenir une dimension supplémentaire ?

la signification est simple, c'est un sens physique précis. Si je prends tous les évènements de même coordonnées r et t (ou tau) mais qui ne sont que dans une seule région (donc les évènements de r>rs,t constants de la région I, OU de la région III, ou les évènements de r Pour tout système de coordonnée (l,m,theta,phi) d'une solution à symétrie sphérique, tel que la métrique se réduit à celle d'une sphère quand l et m sont constant, on peut considérer que chaque point de la représentation 2D en fonction de l et m est une sphère dont la surface est égale à celle d'une sphère de l'espace euclidien rayon r, r étant une fonction (au moins continue, peut-être même dérivable, pas sûr) de m et l.

Certaines représentations, où la ligne r=0 est une droite, admettent qu'on génère simplement la représentation 3d, en fonction l, m et phi par simple rotation autour de la ligne r=0. Chaque point est un demi-cercle de longueur pi*r, et donc chaque cercle de l,m constant est une sphère de surface 4pi*r².
Mais attention, on ne peut pas avoir la totalité de la variété dans ces représentations 3D, à moins de superposer des régions ou des bouts de régions.
Par exemple en coordonnées de Schwarzchild, les régions I et III se retrouvent superposées et les région II et IV aussi.
Autre exemple, avec ton Newton (présentant donc la région I, la moitié de la II et la moitié de la IV), les régions I et III seront superposées, les deux moitiés de II seront superposées et les deux moitiés de la IV aussi.
Il y a un avantage supplémentaire si l=r : les cercles de r,m constants (qui sont donc des sphères) présentent des circonférences (et des surfaces) qui sont à l'échelle. Si l est une fonction de r et d'autre chose, ce ne sera pas à l'échelle (il y aura dilatation ou rétrécissement apparent suivant l'endroit, un peu comme les parallèles du globe terrestre dont les circonférences ne sont à l'échelle que pour certaines projections)

Pour les autres représentations, on peut tout de même générer la représentation 3d, mais elle sera toute déformée. On échouera, en particulier, à générer des cercles ou des sphères, de la même façon que l'on échoue à représenter un méridien ou un parallèle du globe sur une projection de Mercator par exemple.

Je vais développer cette analogie cartographique pour que tu saisisses bien. Je choisis de représenter la surface de la Terre par un segment de longueur pi*r(terre). Chaque point de mon segment est en fait un cercle (un parallèle), de circonférence variable (fonction de la latitude).
Je peux générer une surface en 2D à partir de ce segment, de plusieurs façons. Soit je profite de la 3D, et je peux commencer par transformer mon segment en demi-cercle puis je le fait tourner autour du diamètre de ce demi-cercle, ce qui me génère la surface du globe complète.
Soit je suis contraint d'utiliser une surface euclidienne. Dans ce cas pas question de tordre mon segment et de le faire tourner. Parmi un paquet de possibilités, je peux simplement translater mon segment perpendiculairement à lui-même pour générer un rectangle (ça donne ça : https://fr.wikipedia.org/wiki/Projec...%A9quidistante ). Dans ce rectangle, les cercles correspondant à chaque point de mon segment seront devenu des segments horizontaux parallèles, tous représentés à la même longueur.
On peut éventuellement rattraper ce "défaut", au prix de quelques contorsions, pour obtenir des segments horizontaux dont la longueur est fidèle aux circonférences des cercles correspondant (ça donne ça : https://fr.wikipedia.org/wiki/Projection_de_Mollweide )
Une autre combine pour générer une surface qui tient dans le plan et qui va conserver mes cercles est possible : je prends mon segment et je le fait tourner autour d'une de ses extrémités (le pôle nord mettons) de façon à obtenir un disque (ça donne ça : https://en.wikipedia.org/wiki/Azimut...ant_projection ). Problème ici, mes cercles sont conservés mais pas à l'échelle les uns par rapport aux autres (ceux qui sont près du pole sud sont d'ailleurs déraisonnablement grands... On peut corriger ce problème d'échelle par une petite transformation qui remet les cercles à l'échelle (ça donne ça : https://commons.wikimedia.org/wiki/F...olar_North.jpg ) mais du coup soit on perd un hémisphère, soit on les représente superposés (un point de la carte étant alors deux points différents du globe).
Je passe sur les multiples autres inconvénients que présentent chacune de ces représentations (non conservation des angles et/ou des distances, en fonction du lieu et de l'orientation...).
Bref, tout ça pour montrer ce qu'il en coute de vouloir représenter la surface d'une sphère sur un plan.

Revenons au cas qui nous intéresse et qui est encore pire. On a une variété 4D courbe (pseudoriemannienne en plus, pas juste riemannienne comme la sphère...) qu'on représente par une surface plate, chaque point étant une sphère (analogie avec la terre représentée par un segment chaque point étant un cercle).
Pour générer l'espace-temps 4D complet, on pourrait considérer qu'on est dans un espace à 8 dimensions (je dis 8 au hasard, je ne sais pas combien il en faudrait, je crois qu'amanuensis le sait lui), tordre la surface bien comme il faut puis la faire tourner de la façon qui va bien.
Sauf qu'on ne sait pas visualiser en 8 dimensions (même 4 on ne sait pas). Donc on ne peut qu'utiliser les mêmes genres d'astuces que celle qui servent pour mettre la surface du globe sur un plan. Soit on translate la surface orthogonalement à elle-même pour générer la dimension suivant l'angle phi, mais alors les cercles correspondants seront des segments, dont la longueur pourra néanmoins être corrigée en faisant la transformation qui va bien, soit on la fait tourner autour d'un axe r=0 rectiligne (on aura effectué les transformations qui vont bien pour ce faire) de façon à ce que les cercles restent des cercles et on pourra ajuster pour que leurs circonférences soient à l'échelle, mais les soucis de régions manquantes ou superposées vont se manifester.
Dans tous les cas aucune combine ne donnera un résultat parfaitement satisfaisant, après tout dépend de ce qu'on cherche à montrer...

Bon je me suis un peu égaré, mais c'est intéressant non?

Bien vu, je me suis empressé de vérifier ça hier soir... la trajectoire de Noir est une cycloïde, au sens point sur la roue que tu décris, pour 180° (360° pour aller à la singularité passée) d'une roue de diamètre Rs. Y a t-il quelque chose à tirer de cette "analogie" ? Pourquoi ça te semble normal ?

ça me semble normal parce que le résultat est connu, déjà en mécanique classique : la courbe t=f(r) de la chute libre radiale avec culmination est une cycloïde (tiens j'ajouterais ça dans mon billet sur la chute libre dans la géométrie de Schwarzschild). Il se trouve que ça marche toujours en RG en remplaçant le temps absolu par le temps propre du chuteur et en ne donnant plus à r le sens d'une distance à un centre mais en le reliant à la surface d'une sphère (voir plus haut).

Je m'arrête là pour l'instant, la suite plus tard...

m@ch3

[mach3]

C'est un point important. D'habitude je représente les régions I et II, ici j'ai représenté le futur + un passé supposé symétrique. Dans les deux cas j'ai 1/2 espace temps complet. La logique voudrait que l'intérieur de l'ogive de Newton disparaisse en s'aplatissant et que donc la réunion de X>0 et X<0 signifie droite et gauche (avec chacun passé et futur), comme pour Newton. Je ne te cache pas que ça va poser problème pour certaines trajectoires, dont celles qui traverseraient l'axe T en région II par exemple...

une telle ligne d'univers va arriver sur l'ogive, faire une traversée instantanée horizontale de l'ogive et repartir de l'ogive tout simplement.

J'en vois bien une troisième : la variété est incomplète. (Je ne sais même pas de quoi je parle, je vais me faire taper sur les doigts )

non, la variété est complète (si on inclut son symétrique par rapport à l'axe r=0 pour inclure la région III et les moitiées manquantes des régions II et IV bien-sûr) car il n'y a aucune géodésique incomplète, aucune ne s'arrête, si ce n'est aux singularités.

Il est relativement simple de faire apparaitre de tels "trous" dans une carte de quelque chose qui n'a pas de trou. Imagine le plan euclidien, avec des coordonnées cartésiennes x,y. Puis un changement de coordonnées vers X,Y tels que . Si on représente le plan dans le repère X,Y, on voit un gros trou rond au milieu. Le point x=0,y=0 est devenu un cercle de rayon 1 et l'intérieur de ce cercle ne fait pas partie de la variété "plan euclidien". Une droite d'équation y=ax entre d'un côté de ce cercle et ressort "instantanément de l'autre côte.

En traversant l'axe T elle devrait appartenir au passé du trou noir (X<0 T>0 region II), alors qu'elle appartient au "futur-gauche"(X<0 T>0) !

je ne comprends pas la phrase...

Tu parles de la zone au dessus de la singularité ? Il y aura toujours une limite qq soit le système, c'est le "bord futur" non ? Peux tu développer ?

ca reste une ligne infranchissable, un système de coordonnées ne peut changer cela, mais visuellement ça colle la ligne de singularité sur elle-même et fait donc disparaitre la zone "au-delà" sur la carte (zone qui ne fait pas partie de la singularité), c'est le contraire de ce qui précède, il y a un trou dans le quelque chose, mais on en fait une carte qui n'a pas de trou.

Finalement en relisant bien... plutôt que la faire disparaître, ne vaut-il pas mieux chercher à savoir ce qu'il y a dedans ?

En RG, ça ne fait pas partie de la variété, donc il n'y a pas de sens à chercher ce qu'il y a dans ce qui n'existe pas.

Pourquoi les particules ayant un apoastre inférieur à Rs ne pourraient-elle pas faire partie de la "carte" ?

Si on prend un bout le ligne d'univers dans la région IV, qu'on regarde le dernier évènement de ce bout de ligne (au sens temporel), et qu'on considère comment prolonger cette ligne, on voit qu'on a pas d'autre choix que d'augmenter r : là où on est, diminuer r veut dire aller dans le passé, le maintenir constant veut dire aller dans l'ailleurs, impossible pour une ligne d'univers. La géométrie fait que pour un évènement quelconque de la région IV, le voisinage futur est forcément à un r plus élevé. Il n'y a que pour les évènements de r=rs ou plus que le voisinage futur peut avoir un r plus faible. Raisonnement inverse pour la région II.

La trajectoire de Noir est la limite de ce qui pourrait un jour (lointain) être vu en région I (évènement d'apoastre : X=T=0), mais Schw ne s'applique-t-il pas justement à décrire ce qui est vu de l'extérieur ?...

La partie inférieure de la ligne d'univers de noir (X=0 pour T<0) est observable depuis les régions I et III. Le point X=0, T=0 n'est observable qu'au passage de l'horizon futur, jamais depuis la région I. La partie supérieure (X=0, T>0) n'est pas observable de la région I.

On voit ici tout un tas de particules traversant la région I, cad sortant du trou noir et capable d'émettre des informations avant de retomber dedans. Donc que fait-on du "rien ne sort d'un trou noir" (qui ne concerne en fait que la région II, cad un futur au delà de l'horizon des évènements) ? Toi même tu supposes qu'un observateur extérieur peut observer la singularité passée et le contenu de la région IV qui n'est autre que le passé du trou noir (perso j'en doute).

Il y a un présupposé ici, qui est une idée fausse, comme quoi "un trou noir est une région de l'espace dont rien ne peut ressortir". Non, c'est une région de l'espace-temps dont rien ne peut ressortir, la région II. A l'inverse la région IV est une région de l'espace-temps où rien ne peut entrer. La région II n'est pas un lieu, mais un futur, tout comme la région IV n'est pas un lieu, mais un passé.
Pour une particule en région I, il y a deux passés possibles, soit la région IV, soit le passé infini de la région I, et deux futurs possibles, soit la région II, soit le futur infini de la région I.

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

Non, c'est une région de l'espace-temps dont rien ne peut ressortir, la région II

Effectivement cette définition semble plus juste, pour "ta" description. Pour l'observateur éloigné, si le "trou noir" correspond à une sphère de rayon Rs, il ne pourra jamais rien voir de ce qui s'y passe maintenant, ce qui correspond à la définition d'horizon des évènements. Selon ce que tu dis, il pourrait voir le passé de l'intérieur de cette zone. Selon moi, comme le présent c'est tout le temps, chaque instant du passé est masqué par l'horizon donc on ne voit jamais rien de cet intérieur. C'est encore confus...

Concernant la cartographie, merci pour ce résumé assez clair. J'en comprend que la question est "l'étirement d'un point dans un système de coordonnée" comme dans la projection cylindrique. Par exemple chez Rindler, l'axe T n'est pas une trajectoire mais la répétition d'un même évènement : un point de l'espace à une distance c/a du départ, le présent de ce point que l'observateur accéléré ne verra qu'au bout d'une durée infinie, jamais en fait. C'est pour ça que Kruskal est une excellente analogie entre horizons des évènements.

Je me suis donc posé la question : comment trouver un système de projection inverse à celui de la Terre ? Si ce qui est un point (Pole) devient une droite pour la Terre, il faut que ce qui est une droite chez Schw devienne un point en coordonnées sphériques. J'ai testé un Newton sphérique et un Schw sphérique (j'aurais pu tester Finkelstein sur le même principe). J'obtiens un système compact type Penrose ou Amanuensis où on voit à l'infini du temps et de l'espace, mais sphérique. Il n'a aucune particularité, on pourrait en faire des centaines des comme ça...

Juste deux choses :
- Le demi cercle noir supérieur (limite haute, où sont inscrits les r) doit être la trajectoire des objets dont l'aposatre est trèès loin, confondu pour les deux graphs.
- L'avantage de ce système est d'imaginer une continuité des géodésiques sur la sphère et supposer que la "fin" n'est liée qu'au repère (r;t) plaqué sur la sphère.
[Dans le gauche, Newton, je n'aurais pas du mettre les lignes de temps constant en violet, faute de charte graphique... ce n'est pas le t de Schw, sorry]

Quoi qu'il en soit, ça ne semble pas aller dans le sens de ton discours. La singularité n'est pas un point, encore moins un même évènement ! De plus la sphère génère une autre singularité à l'infini d'espace, il n'y a aucune raison d'utiliser la sphère, j'imagine que c'est ce que signifie le pseudo riemannien par rapport au riemannien ? Sans doute voyais tu tout autre chose dans ton analogie avec la Terre, comme le fait que le point étendu soit l'horizon et pas la singularité (je n'ai pas creusé cette voie) ?

Pour avancer, une réponse à la petite question du message 38 me permettrait d'étudier le sens du découpage que tu proposes à l'intérieur. A moins que tu n'aies d'autres pistes ?

Merci à plus

Mailou

[Mailou75]

Un point que j’ai oublié d’aborder. Pour toi un point de la région I correspond à une sphere de rayon r si on ajoute deux dimensions d’espace. Du coup, si on devait faire une symétrie de Schw par rapport à la singularité on obtiendraint la région III. Par ajout d’une dimension I et III seraient donc superposées.

Mais, prenons le problème de manière inverse. Partons de Newton en classique pour lequel la symétrie par rapport au centre signifie l’opposé : si mes graphs sont la droite leur symétrie est la gauche. L’apparition des coordonnés t (qui transforment Newton en Newton+) n’est liée qu’au changement d’unité de la figure. A partir de quelle valeur la gauche (non superposée) devient elle III (superposée). Il y a qq chose de pas logique...

Merci

[mach3]

Pour l'observateur éloigné, si le "trou noir" correspond à une sphère de rayon Rs, il ne pourra jamais rien voir de ce qui s'y passe maintenant, ce qui correspond à la définition d'horizon des évènements. Selon ce que tu dis, il pourrait voir le passé de l'intérieur de cette zone. Selon moi, comme le présent c'est tout le temps, chaque instant du passé est masqué par l'horizon donc on ne voit jamais rien de cet intérieur.

On ne voit jamais rien de la région II, à moins de s'y trouver soi-même. Par contre on peut voir des évènements qui sont la cause d'évènements de la région II sans être dans la région II, il suffit qu'ils soient en région I ou en région IV (ou dans l'astre avant son effondrement si on parle de trous noirs astrophysiques).

Concernant la cartographie, merci pour ce résumé assez clair. J'en comprend que la question est "l'étirement d'un point dans un système de coordonnée" comme dans la projection cylindrique.

oui mais pas que

Par exemple chez Rindler, l'axe T n'est pas une trajectoire mais la répétition d'un même évènement : un point de l'espace à une distance c/a du départ, le présent de ce point que l'observateur accéléré ne verra qu'au bout d'une durée infinie, jamais en fait.

l'axe T (X=0) chez Rindler n'est pas une répétition d'un même évènement, mais un seul évènement (comme le pole nord sur une projection cylindrique qui se retrouve représenté par une droite alors qu'il est un seul point) : c'est une singularité de coordonnée. D'ailleurs c'est exactement la même singularité de coordonnée que la droite r=rs en coordonnées de Schwarzschild qui n'est qu'un évènement unique (ou plutôt une sphère d'évènements unique).

[...]
Quoi qu'il en soit, ça ne semble pas aller dans le sens de ton discours. La singularité n'est pas un point, encore moins un même évènement ! De plus la sphère génère une autre singularité à l'infini d'espace, il n'y a aucune raison d'utiliser la sphère, j'imagine que c'est ce que signifie le pseudo riemannien par rapport au riemannien ? Sans doute voyais tu tout autre chose dans ton analogie avec la Terre, comme le fait que le point étendu soit l'horizon et pas la singularité (je n'ai pas creusé cette voie) ?

L'analogie avec la Terre était une grande généralité pour montrer les pièges des représentations et des systèmes de coordonnées.
Je n'ai jamais dit que la singularité était un point, c'est un cylindre sphérique ou une ligne, plus rigoureusement la limite d'un cylindre sphérique dont le diamètre tend vers 0.

Pour avancer, une réponse à la petite question du message 38 me permettrait d'étudier le sens du découpage que tu proposes à l'intérieur. A moins que tu n'aies d'autres pistes ?

je ne vois pas de question dans le message 38, tu peux m'éclairer?

Un point que j’ai oublié d’aborder. Pour toi un point de la région I correspond à une sphere de rayon r si on ajoute deux dimensions d’espace. Du coup, si on devait faire une symétrie de Schw par rapport à la singularité on obtiendraint la région III. Par ajout d’une dimension I et III seraient donc superposées.

c'est ce que je disais là :

Certaines représentations, où la ligne r=0 est une droite, admettent qu'on génère simplement la représentation 3d, en fonction l, m et phi par simple rotation autour de la ligne r=0. Chaque point est un demi-cercle de longueur pi*r, et donc chaque cercle de l,m constant est une sphère de surface 4pi*r².
Mais attention, on ne peut pas avoir la totalité de la variété dans ces représentations 3D, à moins de superposer des régions ou des bouts de régions.
Par exemple en coordonnées de Schwarzchild, les régions I et III se retrouvent superposées et les région II et IV aussi.

Pour reprendre, soit on ne représente que I et II, et on peut générer une dimension d'espace de plus par rotation simple autour de r=0, soit on représente III et IV en plus par symétrie et on ne peut plus générer une dimension d'espace de plus par rotation autour de r=0 sans que I et III d'une part et II et IV d'autre part ne se retrouvent superposées. Reste l'option de translater suivant un axe orthogonal au plan t,r pour générer la dimension de plus, mais alors les cercles deviennent des segments (comme les parallèles dans une projection cylindrique du globe).

Mais, prenons le problème de manière inverse. Partons de Newton en classique pour lequel la symétrie par rapport au centre signifie l’opposé : si mes graphs sont la droite leur symétrie est la gauche. L’apparition des coordonnés t (qui transforment Newton en Newton+) n’est liée qu’au changement d’unité de la figure. A partir de quelle valeur la gauche (non superposée) devient elle III (superposée). Il y a qq chose de pas logique...

je ne saisis pas, précisions?

m@ch3

[Mailou75]

On ne voit jamais rien de la région II, à moins de s'y trouver soi-même. Par contre on peut voir des évènements qui sont la cause d'évènements de la région II sans être dans la région II, il suffit qu'ils soient en région I ou en région IV (ou dans l'astre avant son effondrement si on parle de trous noirs astrophysiques).

Je ne comprends pas ce que veut dire "voir la région IV" pour un observateur en région I. Pour toi on voit l'intérieur d'une sphère de rayon Rs, jusqu'à la singularité, tant qu'elle contient des évènement qui appartiennent au passé ? C'est là où je ne peux pas être d'accord... hier c'était le présent et il a été prophétisé que rien ce qui se passait alors en desous de Rs ne serait jamais vu en I. Pourquoi aujourd'hui on pourrait en voir quelque chose, si on est dans le cas d'un trou noir éternel ?

l'axe T (X=0) chez Rindler n'est pas une répétition d'un même évènement, mais un seul évènement (comme le pole nord sur une projection cylindrique qui se retrouve représenté par une droite alors qu'il est un seul point) : c'est une singularité de coordonnée. D'ailleurs c'est exactement la même singularité de coordonnée que la droite r=rs en coordonnées de Schwarzschild qui n'est qu'un évènement unique (ou plutôt une sphère d'évènements unique).

Tu chipotes, c'est ce que je voulais dire

L'analogie avec la Terre était une grande généralité pour montrer les pièges des représentations et des systèmes de coordonnées.
Je n'ai jamais dit que la singularité était un point, c'est un cylindre sphérique ou une ligne, plus rigoureusement la limite d'un cylindre sphérique dont le diamètre tend vers 0.

Oui... je m suis attaché à faire de r=0 un point alors que r=Rs aurait été plus judicieux, c'est balot ! Je m'en suis rendu compte en parlant de Rindler justement... et c'est bien ce que je disais, ça ne va pas dans le sens de ce que tu décris pour l'arrivée en Rs (des évènements espacés), bref tout faux... En fait, même faire de l'horizon Rs de Schw un point ne serait pas entièrement satisfaisant car tous les points de passage en Rs des trajectoires de chute, visibles chez Kruskal par ex, sont des évènements différents. Un repère idéal ne masquerait pas ça...

je ne vois pas de question dans le message 38, tu peux m'éclairer?

Ben tu m'as donné une formule (z+1) pour donner des échelles (r) le long des hyperbole en région II de Kruskal. Seulement je ne sais pas quel est le nouveau sens (t) d'une hyperbole avant de la "découper". Par exemple, une hyperbole qui part du milieu de l'axe T entre r=Rs et r=0, à peu près là où je lis normalement r~0,8 Rs, quelle valeur de r devrais-je maintenant lire ?

Pour reprendre, soit on ne représente que I et II, et on peut générer une dimension d'espace de plus par rotation simple autour de r=0, soit on représente III et IV en plus par symétrie et on ne peut plus générer une dimension d'espace de plus par rotation autour de r=0 sans que I et III d'une part et II et IV d'autre part ne se retrouvent superposées.

Rhoo, tu chipotes encore, c'est ce que je disais, enfin... je disais que tu avais dit bref je pense qu'on est d'accord.

je ne saisis pas, précisions?

Prend un graph de Newton et imagine qu'au lieu de Rs il y a écrit Rt (rayon terrestre). On va prendre l'exemple déjà cité d'une sphère qui sert de plancher à Rt et un trou noir de masse Mt au centre (~9mm de rayon). On lâche un objet, sa chute va prendre non plus 1,571 Rs/c mais ~14,9 min. La courbe reste la même. A ce stade je peux faire la symétrie de la figure et dire que c'est une expérience similaire qui se passe depuis l'opposé de la sphère plancher, les objets lâchés en même temps arrivent en même temps au centre. Pour supposer une dimension supplémentaire je n'ai qu'à tracer deux demi cercles entre les deux expérimentateurs.

Maintenant on change les unités du graph, en augmentant la masse ou en réduisant le rayon. On obtiens le Newton+. Cette fois par symétrie j'obtiens la région III, pourquoi ? Pourquoi ne pas considérer qu'il y a toujours "une droite et une gauche" d'une même dimension ? Pour quelle valeur de Mt "gauche" devient-il III (classique -> relativiste) ?

Merci pour ton courage

Mailou

[mach3]

Je ne comprends pas ce que veut dire "voir la région IV" pour un observateur en région I. Pour toi on voit l'intérieur d'une sphère de rayon Rs, jusqu'à la singularité, tant qu'elle contient des évènement qui appartiennent au passé ? C'est là où je ne peux pas être d'accord... hier c'était le présent et il a été prophétisé que rien ce qui se passait alors en desous de Rs ne serait jamais vu en I. Pourquoi aujourd'hui on pourrait en voir quelque chose, si on est dans le cas d'un trou noir éternel ?

Si quelque chose émet de la lumière en région IV, un observateur en région I pourra la recevoir (c'est une lecture graphique directe du Kruskal ou du Penrose). Si on considère un objet qui suit une géodésique radiale culminant en rs, alors on peut le voir de la région I pendant la phase "ascendante"* dans la région IV. Mais on ne verra pas la phase "descendante"*, vu que l'image de l'objet sera redshiftée à l'infini quand la sphère de Schwarzschild sera atteinte. Vu de la région I, un objet qui démarre à la singularité passé et culmine en rs n'en finit donc jamais d'atteindre rs, il faut franchir l'horizon futur pour voir la suite. Si l'objet culmine plus haut que rs, alors on verra toute la phase ascendante et une partie de la phase descendante depuis la région I, l'image de l'objet étant redshiftée à l'infini quand il atteint l'horizon futur.
Rien de ce qui se passe "en-dessous"** de rs dans la région II ne sera jamais vu en I, il faut passer l'horizon futur de I à II pour voir. De même d'ailleurs que rien de ce qui se passe "au-dessus"** de rs (donc dans les régions I et III) ne sera jamais vu en IV, il faut passer l'horizon passé de IV à I ou III, voire passer l'horizon futur vers II pour voir.

"Trou noir éternel" est en fait un terme un peu trompeur. Il n'implique pas que le "trou noir", compris comme la région II, existe depuis toujours et existera toujours, car cette région ne commence à exister que lors de la sphère de Schwarzschild qui est la fin de la région IV. Ce qu'il faut comprendre c'est qu'il y a une invariance dans le temps : dans l'espace-temps de Schwarzschild d'extension complète (totalement vide), un observateur restant en région I pourra recevoir des signaux de la région IV en tout temps. D'une certaine manière, la région II n'existe pas encore pour un observateur restant en région I (il ne peut pas l'observer, et on peut même toujours trouver une tranche de simultanéité qui ne coupe pas la région II) et la région IV existe depuis toujours et ne prend jamais fin. Mais à quelque moment que ce soit, si il tente de se rendre vers l' "endroit" duquel proviennent ces signaux, il assistera à la fin de la région IV qui est le début de la région II et il se retrouvera dans cette dernière. La solution est invariante suivant la coordonnée t et équivalemment suivant une rotation hyperbolique centrée sur X=0, T=0 dans le diagramme de Kruskal.

C'est un peu différent pour un trou noir astrophysique : la région II n'existe pas encore pour un observateur en région I et ça reste le cas tant qu'il ne vient pas en région II, mais ce qui précède est un astre, avec une histoire, qui n'a pas existé de tous temps, et qu'il est possible d'aller visiter si on s'y prend suffisamment tôt (il suffit d'arriver avant l'effondrement) ce qui est possible tant qu'on est dans le cône de lumière passé de la surface de l'astre avant que son rayon n'atteigne rs.

En fait, même faire de l'horizon Rs de Schw un point ne serait pas entièrement satisfaisant car tous les points de passage en Rs des trajectoires de chute, visibles chez Kruskal par ex, sont des évènements différents. Un repère idéal ne masquerait pas ça...

typiquement, en partant des coordonnées de Schwarzschild, il faut en même temps :
-transformer la droite r=rs en un point unique
-transformer les "extrémités" de la droite r=rs en deux lignes.
C'est plus simple à comprendre avec les coordonnées d'Amanuensis où la droite r=rs a été transformée en segment :
-le segment moins ses extrémités doit se transformer en point
-les extrémités du segment doivent se transformer en deux lignes
C'est ce que font les systèmes de Novikov, Kruskal ou Penrose, et ce que font partiellement les systèmes de Gullstrand-Painlevé ou Eddington-Finkelstein (l'une des deux extrémités de r=rs devient une droite, l'horizon futur ou passé, au choix et la droite r=rs devient une extrémité, passée ou future respectivement, de la droite horizon).
Une fois de plus on voit bien à quel point les coordonnées de Schwarzschild sont inadaptées : des choses ponctuelles sur la variété sont des lignes sur la carte et inversement... Quelque part il est dommage qu'elles aient été trouvées en premier, ça aurait éviter beaucoup d'errements... mais on ne va pas refaire l'histoire, d'autant que ces errements étaient peut-être nécessaires.

Ben tu m'as donné une formule (z+1) pour donner des échelles (r) le long des hyperbole en région II de Kruskal. Seulement je ne sais pas quel est le nouveau sens (t) d'une hyperbole avant de la "découper". Par exemple, une hyperbole qui part du milieu de l'axe T entre r=Rs et r=0, à peu près là où je lis normalement r~0,8 Rs, quelle valeur de r devrais-je maintenant lire ?

Tu parles d'une hyperbole de r=0.8rs en région II c'est ça? Par exemple si on considère un morceau de cette hyperbole de t=0 à t=4.10^-15s (attention, ce sont des positions, pas des instants ), sa longueur sera 10^-15 seconde-lumière. Concrètement cela signifie qu'il pourrait s'y trouver alignés grosso-modo 3000 atomes sans qu'ils se sentent à l'étroit.

m@ch3

*: guillemets parce que il ne s'agit pas à proprement parler de montées ou de descentes vu que r est une coordonnée temporelle en régions II et IV
**: guillements parce que ce n'est pas à proprement parler en-dessous ou au-dessus vu que r n'est plus une coordonnée spatiale quand il devient inférieur ou égal à rs.

[mach3]

Prend un graph de Newton et imagine qu'au lieu de Rs il y a écrit Rt (rayon terrestre). On va prendre l'exemple déjà cité d'une sphère qui sert de plancher à Rt et un trou noir de masse Mt au centre (~9mm de rayon). On lâche un objet, sa chute va prendre non plus 1,571 Rs/c mais ~14,9 min. La courbe reste la même. A ce stade je peux faire la symétrie de la figure et dire que c'est une expérience similaire qui se passe depuis l'opposé de la sphère plancher, les objets lâchés en même temps arrivent en même temps au centre. Pour supposer une dimension supplémentaire je n'ai qu'à tracer deux demi cercles entre les deux expérimentateurs.

Maintenant on change les unités du graph, en augmentant la masse ou en réduisant le rayon. On obtiens le Newton+. Cette fois par symétrie j'obtiens la région III, pourquoi ? Pourquoi ne pas considérer qu'il y a toujours "une droite et une gauche" d'une même dimension ? Pour quelle valeur de Mt "gauche" devient-il III (classique -> relativiste) ?

Pas sûr de bien comprendre, mais je vais faire avec ce que je crois avoir compris.

Pour le cas où il y a un astre (statique, comme la Terre), il n'y a pas de régions II, III ou IV. On a de la région I à l'extérieur de l'astre, et une région intérieure, avec une géométrie de type FLRW. Si on tranche là-dedans une hypersurface de genre espace, on obtient quelque chose de topologiquement équivalent à l'espace 3D. Une sphère de matière au centre, qui est l'intérieur de l'astre, de l'espace vide autour dont la géométrie peut être variée suivant comment on a tranché (semblable à de la paraboloide de Flamm si on a tranché sur du t constant, mais cela peut aussi être de l'espace parfaitement plat si on a tranché sur du tr constant, tr étant la coordonnée temporelle dans le système de Gullstrand-Painlevé).

Pour le cas de l'extension complète (sans astre donc, complétement vide), si on prend une tranche de genre espace, ce qu'on obtient en général n'est pas topologiquement équivalent à l'espace 3D. L'équivalent 2D est un diabolo et topologiquement ce n'est pas équivalent au plan mais à un plan troué (ou encore, un cylindre). Pour illustrer, si on décompose le plan en cercles concentriques, l'un des cercles est un point (périmètre nul), alors que si on décompose ainsi un plan troué (ou un diabolo ou un cylindre), aucun des cercles concentriques n'est un point (la décomposition étant tel que tous les cercles sont entiers bien sûr). Cependant si on coupe le diabolo en deux et qu'on bouche le trou avec un disque, on retrouve quelque chose d'équivalent à un plan.
Revenons à la tranche 3D : on aura généralement de la région I sur un demi-diabolo, de la région III sur l'autre demi-diabolo, et à la jonction entre les deux, on aura, suivant comment on a tranché, de la région II, ou de la région IV, ou la sphère de Schwarzschild (un cas particulier est une tranche qui s'arrête sur une singularité, avec seulement de la région I et de la région II ou IV). Si on coupe ce diabolo 3D pour éliminer la région III, la jonction et un bout de région I et qu'on bouche le trou avec une sphère (équivalent du disque du cas 2D) on retrouve une tranche équivalente à l'espace 3D (on vient en fait de fabriquer le cas de l'astre statique ci-dessus).

Il y aurait surement quelques trucs à dire de plus, mais essaie déjà de digérer ça.

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
l'horizon des événements d'un TN, c'est l'ensemble des événements qui ne seront jamais perçu par un observateur externe.
l'horizon des événements d'un TB n'est il pas l'ensemble des événements externes qui ne seront jamais perçu au niveau de l'horizon des événements du TB?

[mach3]

Incorrect.

L'ensemble des évènements qui ne seront jamais perçu par un observateur en région I est toute la région II et toute la région III, c'est loin de se limiter à l'horizon.
De plus un observateur en région IV ne perçoit aucun évènement des régions I, II et III avant de pénétrer dans ces régions (ce qui arrivera irrémédiablement tôt ou tard...).

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

J’ai éte happé par un autre sujet. Et puis comme tu dis j’ai deux trois trucs à digérer sur celui ci... je reviens dès que je peux.

Merci

[Mailou75]

Salut,

Le chat que j'étais parti fouetter m'a laissé perplexe... revenons au mouton noir qui nuit à mon sommeil

Si quelque chose émet de la lumière en région IV, un observateur en région I pourra la recevoir (c'est une lecture graphique directe du Kruskal ou du Penrose). Si on considère un objet qui suit une géodésique radiale culminant en rs, alors on peut le voir de la région I pendant la phase "ascendante"* dans la région IV. Mais on ne verra pas la phase "descendante"*, vu que l'image de l'objet sera redshiftée à l'infini quand la sphère de Schwarzschild sera atteinte. Vu de la région I, un objet qui démarre à la singularité passé et culmine en rs n'en finit donc jamais d'atteindre rs, il faut franchir l'horizon futur pour voir la suite. Si l'objet culmine plus haut que rs, alors on verra toute la phase ascendante et une partie de la phase descendante depuis la région I, l'image de l'objet étant redshiftée à l'infini quand il atteint l'horizon futur.
Rien de ce qui se passe "en-dessous"** de rs dans la région II ne sera jamais vu en I, il faut passer l'horizon futur de I à II pour voir. De même d'ailleurs que rien de ce qui se passe "au-dessus"** de rs (donc dans les régions I et III) ne sera jamais vu en IV, il faut passer l'horizon passé de IV à I ou III, voire passer l'horizon futur vers II pour voir.

"Trou noir éternel" est en fait un terme un peu trompeur. Il n'implique pas que le "trou noir", compris comme la région II, existe depuis toujours et existera toujours, car cette région ne commence à exister que lors de la sphère de Schwarzschild qui est la fin de la région IV. Ce qu'il faut comprendre c'est qu'il y a une invariance dans le temps : dans l'espace-temps de Schwarzschild d'extension complète (totalement vide), un observateur restant en région I pourra recevoir des signaux de la région IV en tout temps. D'une certaine manière, la région II n'existe pas encore pour un observateur restant en région I (il ne peut pas l'observer, et on peut même toujours trouver une tranche de simultanéité qui ne coupe pas la région II) et la région IV existe depuis toujours et ne prend jamais fin. Mais à quelque moment que ce soit, si il tente de se rendre vers l' "endroit" duquel proviennent ces signaux, il assistera à la fin de la région IV qui est le début de la région II et il se retrouvera dans cette dernière. La solution est invariante suivant la coordonnée t et équivalemment suivant une rotation hyperbolique centrée sur X=0, T=0 dans le diagramme de Kruskal.

Oui ça j'ai, c'est la lecture des graphs qui nous le dit. Ma question n'était pas là, je vais essayer de préciser.
Suppose une sphère de rayon Rs qui va représenter, pour l'observateur éloigné, aussi bien le trou noir que le trou blanc. Si on suit ce qui est décrit plus haut, un observateur en région I (nous) doit pouvoir voir l'ascension d'une particule du centre de la sphère vers son bord sans jamais l'atteindre si il culmine en Rs (Et comme tu le dis si son apoastre se situe au dessus de Rs, on pourra voir une partie de descente). Comme on ne voit jamais la création de l'horizon, on verra pas plus ce qui se passe en dessous de Rs à partir de ce présent t0. Mais on verra bien quelque chose dans la boule : le passé en région IV. Tout ça pour dire que si on devait observer un trou noir éternel dans la nature, on ne verrait pas une zone noire mais un feu d'artifice partant du centre dont tous les débris se figeraient sur la sphère en retombant.

*: guillemets parce que il ne s'agit pas à proprement parler de montées ou de descentes vu que r est une coordonnée temporelle en régions II et IV
**: guillements parce que ce n'est pas à proprement parler en-dessous ou au-dessus vu que r n'est plus une coordonnée spatiale quand il devient inférieur ou égal à rs.

Je ne suis pas entièrement d'accord. C'est une coordonnée temporelle dans le sens où la ligne d'univers de la particule est un destin inéluctable, mais on pourrait en dire autant de toute trajectoire inertielle. Et du point de vue de l'observateur éloigné ça reste une coordonnée r, la particule finit bien au centre (même si ça se passe au delà de son horizon visible).

typiquement, en partant des coordonnées de Schwarzschild, il faut en même temps :
1-transformer la droite r=rs en un point unique
2-transformer les "extrémités" de la droite r=rs en deux lignes.
C'est plus simple à comprendre avec les coordonnées d'Amanuensis où la droite r=rs a été transformée en segment :
3-le segment moins ses extrémités doit se transformer en point
4-les extrémités du segment doivent se transformer en deux lignes
C'est ce que font les systèmes de Novikov, Kruskal ou Penrose, et ce que font partiellement les systèmes de Gullstrand-Painlevé ou Eddington-Finkelstein (l'une des deux extrémités de r=rs devient une droite, l'horizon futur ou passé, au choix et la droite r=rs devient une extrémité, passée ou future respectivement, de la droite horizon).
Une fois de plus on voit bien à quel point les coordonnées de Schwarzschild sont inadaptées : des choses ponctuelles sur la variété sont des lignes sur la carte et inversement... Quelque part il est dommage qu'elles aient été trouvées en premier, ça aurait éviter beaucoup d'errements... mais on ne va pas refaire l'histoire, d'autant que ces errements étaient peut-être nécessaires.

J'ai ajouté des numéros dans ton texte.
1+2= ce que font Kruskal et Penrose (Ok pour les "extrémités" en coordonnées d'Amanuensis)
3+4= c'est pareil
Ben point ou ligne tout dépend de ce qu'on veut voir, comme pour la Terre. Je ne dirais pas que certaines sont plus fausses que d'autres puisque toutes disent la même chose, différemment.
Je pensais que tu voulais décrire un nouveau repère en définissant des caractéristiques à respecter (comme pour faire de la singularité un point dans le dernier graph)

Tu parles d'une hyperbole de r=0.8rs en région II c'est ça? Par exemple si on considère un morceau de cette hyperbole de t=0 à t=4.10^-15s (attention, ce sont des positions, pas des instants ), sa longueur sera 10^-15 seconde-lumière. Concrètement cela signifie qu'il pourrait s'y trouver alignés grosso-modo 3000 atomes sans qu'ils se sentent à l'étroit.

Non ça j'ai compris pour la "longueur". C'est juste que cette hyperbole n'a plus comme sens un r=0,8Rs mais maintenant un t=? < c'est ça qu'il me manque pour tenter une "inversion des échelles" intérieur/extérieur

Pour le cas où il y a un astre (statique, comme la Terre), il n'y a pas de régions II, III ou IV. On a de la région I à l'extérieur de l'astre, et une région intérieure, avec une géométrie de type FLRW. Si on tranche là-dedans une hypersurface de genre espace, on obtient quelque chose de topologiquement équivalent à l'espace 3D. Une sphère de matière au centre, qui est l'intérieur de l'astre, de l'espace vide autour dont la géométrie peut être variée suivant comment on a tranché (semblable à de la paraboloide de Flamm si on a tranché sur du t constant, mais cela peut aussi être de l'espace parfaitement plat si on a tranché sur du tr constant, tr étant la coordonnée temporelle dans le système de Gullstrand-Painlevé).

Jusque là j'imagine à peu près...

Pour le cas de l'extension complète (sans astre donc, complétement vide), si on prend une tranche de genre espace, ce qu'on obtient en général n'est pas topologiquement équivalent à l'espace 3D. L'équivalent 2D est un diabolo et topologiquement ce n'est pas équivalent au plan mais à un plan troué (ou encore, un cylindre). Pour illustrer, si on décompose le plan en cercles concentriques, l'un des cercles est un point (périmètre nul), alors que si on décompose ainsi un plan troué (ou un diabolo ou un cylindre), aucun des cercles concentriques n'est un point (la décomposition étant tel que tous les cercles sont entiers bien sûr). Cependant si on coupe le diabolo en deux et qu'on bouche le trou avec un disque, on retrouve quelque chose d'équivalent à un plan.
Revenons à la tranche 3D : on aura généralement de la région I sur un demi-diabolo, de la région III sur l'autre demi-diabolo, et à la jonction entre les deux, on aura, suivant comment on a tranché, de la région II, ou de la région IV, ou la sphère de Schwarzschild (un cas particulier est une tranche qui s'arrête sur une singularité, avec seulement de la région I et de la région II ou IV). Si on coupe ce diabolo 3D pour éliminer la région III, la jonction et un bout de région I et qu'on bouche le trou avec une sphère (équivalent du disque du cas 2D) on retrouve une tranche équivalente à l'espace 3D (on vient en fait de fabriquer le cas de l'astre statique ci-dessus).

... mais là tu m'as perdu. Il faudrait quelques illustrations à l'appui. J'ai déjà croisé plusieurs types de "diabolos" pour découper un Kruskal et je ne vois pas trop du quel tu parles. Peut être un petit lien pour suivre ton discours peut être ? pas facile sinon

Ma question était différente, moins compliquée : Si tu prends un Newton classique les r>0 seront "la droite" et les r<0 seront "la gauche". Si tu prends un Newton+ les x>0 seront la région I et les x<0 seront la région III. Le truc c'est que pour passer de Newton à Newton+ il suffit de faire varier la masse de l'astre et j'ai beaucoup de mal conceptuellement à me représenter à quel moment on va passer d'un cas à un autre...

Et j'avoue que je ne digère toujours pas cette "trajectoire minimum passant par Rs" sqeezant de l'Univers toute particule ayant une vitesse de départ depuis la singularité passée ne lui permettant pas d'atteindre Rs. Ca m'égare complètement ce truc... je pense que deux semaines c'est beaucoup trop court pour digérer ça, je ne sais même pas ce que ça veut dire !?

Merci pour ton aide

Mailou

[mach3]

Juste vite fait, en passant

Le truc c'est que pour passer de Newton à Newton+ il suffit de faire varier la masse de l'astre

??? C'est quoi Newton et Newton+ là, et comment la masse pourrait permettre de passer de l'un à l'autre?

m@ch3

[Mailou75]

Salut et merci,

Confusion de ma part, pardon.

Newton et Newton+ ce sera toujours LA même courbe de chute libre. Soit on la déforme soit on change les unités des axes. En changeant les unités des axes on change la masse, la distance ou le temps de chute. Newton + c’est simplement qu’en cas relativiste on finit par avoir T (temps propre) différent de t (temps coordonnée, de Schw) ce sont les courbes violettes, et aussi une lumière courbe dans l’espace temps (elle serait à 45° en Newton classique). Newton+ est exactement l’équivalent de Painlevé pour une chute libre depuis l’infini (ici c’est depuis un Rmax).

Mon erreur. En fait quel que soit le cas (+ ou pas) on représente toujours une radiale et il faut faire tourner cette radiale de 360° pour avoir une nouvelle dimension spatiale. Mon histoire de droite/gauche vient de là, la gauche n’est qu’un point du cercle, une copie de la droite. En passant au trou noir les régions III et IV apparaissent, mais superposées, pas en symétrie, pas plus qu’il n’y avait de gauche. Et on fait tourner I et III ensemble, elles restent confondues. Bref laisse tomber, je me suis juste embrouillé tout seul

Ca n’enlève rien aux autres questions. Au contraire j’en ajouterai bien une : peut il y avoir un évènement en I qui n’ait pas sa copie en III, un déséquilibre..?

Merci

Mailou

[mach3]

Ca n’enlève rien aux autres questions.

pourrais-tu lister et reformuler plus précisément ces autres questions?

m@ch3

[Mailou75]

Ok avec plaisir, je fais ca demain, suis malade comme un chien là :s

[Mailou75]

Re,

1) Souhaites tu créer un nouveau système de coordonnées qui montrerait «la même chose différemment» (comme le font tous les systemes) en définissant des contraintes à respecter (ex : Amanuensis, Flamm, etc)

2) Tu m’as donné une formule permettant de graduer les hyperboles en region II selon une valeur d’espace. Je ne l’ai pas encore testée car j’attendais de savoir quelle valeur t noter sur chaque hyperbole (en remplacement de la valeur r qu’on lit normalement). Je pourrais alors essayer de représenter cette inversion et éventuellement la comprendre...

3) Selon toi comment verrait on un trou blanc ? D’après ce qui est dit dans ce fil, la sphère de rayon Rs serait remplie de particules sortantes visibles au cours de leur ascension vers Rs ou plus haut. On les verrait retomber jusqu’à Rs (ou ne jamais atteindre Rs pour le cas limite). La conclusion devant être qu’on observe rien de tel et qu’un trou noir éternel (de Kruskal avec regions III et IV) n’est qu’un objet mathématique.

4) Dans le Newton+ du message 37 on voit qu’il existe un «quart d’ellipse» (en dessous de la trajectoire limite noire) qui ne fait pas partie des autres systèmes. Techniquement ça veut dire que toute particule n’ayant pas une vitesse initiale lui permettant d’atteindre Rs ne fait pas partie de l’Univers selon Schw. Comment interpréter ceci conceptuellement ?

Merci d’avance

Mailou

[Mailou75]

5) Oublié la dernière : Selon toi peut on trouver un évènement en region I qui n’ait pas sa copie en région III. On dit que dans de nombreux systèmes I et III sont superposées mais ne sont elle pas des copies exactes?