Cinétique - équations différentielles

[invite1b80af85]

Bonjour,

J'étudie actuellement la cinétique résultant de réactions complexes (réactions opposées, successives, parallèles) cependant j'ai des grosses lacunes en maths et au vu des équations différentielles qui pullulent je suis vite bloqué.

Notamment pour déterminer, dans le cas des réactions opposées, la constante C obtenue après intégration. En effet, j'obtiens l'équation suivante :

x = C*e^-(k1+k-1)t + (k₁a - k_-1b)/(k₁+ k_-1)

sachant que l'équation de base est : dx/dt + (k₁+k_-1)x = k₁a - k_-1B

Mon résultat provient de la méthode y = yESSM + yp (ESSM : équation sans second membre et p la solution particulière)

Cependant, dans mon cours (vide de démonstrations), C (appelé λ) vaut -k₁a/k₁+k_-1 mais je ne trouve pas la méthode pour la trouver cette constante. Une autre question, la solution particulière s'obtient en négligeant dx/dt et on résouds x ?

Si quelqu'un à sous la main un lien/pdf ayant les démonstrations complètes des cours de cinétiques complexes, j'en serais ravi, car au vu du nombre de page qui me reste à décortiquer...

Merci d'avance
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[moco]

Précise ta demande ! S'agit-il de réactions de 1er ordre, de 2ème ordre ? Qu'appelles-tu x, a et b ? Pourquoi y a-t-il des B majuscules et des b minuscules ? Es-tu sûr de tes signes devant k1 et k-1 ?

[invite1b80af85]

Le B majuscule est une erreur de frappe, j'edit ça.
C'est une réaction direct et inverse d'ordre 1.
Soit k1 pour la réaction, A --> B
Et k-1 pour l'inverse, B --> A

[invite1b80af85]

Je remets direct la démonstration au complet ça sera plus simple.

Soit une réaction direct et inverse du premier ordre.

A <=> B

à t0 on a : [A]0 = a et [B] = b
à t on a : [A] = a-x et [B] = b+x

On exprime la vitesse, v = -d[A]/dt = d[B]/dt = k₁[A] - k_-1[B]
Avec les notations on a , -d(a-x)/dt = dx/dt = k₁(a-x)-k_-1(b+x)

Soit dx/dt + x(k₁+ k_-1) = k₁a - k_-1b

Après on intègre et là je pêche pour retrouver cette solution :

x = (k₁a-k_-1b/k₁+k_-1) * [1-e^-(k1+k-1)t]

Moi, j'essaye avec l'équation homogène et la solution particulière (dont j'ai un doute sur sa détermination, voir post1) mais je bloque pour déterminer la constante C étant donné que je me retrouver avec cette équation :

x = C*e-(k₁+k_-1)t + (k₁a - k_-1b)/(k₁+ k_-1).

PS: Je me suis fait pièger avec la fonction edit qui devient indisponible après 5min donc désolé du multiple post

[A voir en vidéo sur Futura]

[moco]

Désolé. J'ai essayé d'intégrer, mais sans succès. J'ai consulté le Frost et Pearson, qui dit simplement que, après intégration, on obtient ....

[invite1b80af85]

Ok, merci à toi t'avoir consacré ton temps à mon problème.
La démonstration se retrouve sur ce lien : http://www.chimix.com/S_fiches/cinetique14.htm . Il détermine la constante d'intégration en prenant en compte les conditions initiales mais ça me parait flou

[invite1b80af85]

J'ai trouvé, les conditions initiales c'est t=0 ; x(0) = 0
On simplifie l'expression suivante :
x = C*e^{-(k₁+k_-1)t} + (k₁a - k_-1b)/(k₁+ k_-1)

En :

x = C*e^{-(k₁+k_-1)t} + p (solution particulière)

On applique les conditions initiales, du coup l'exponentiel 0 vaut 1, on a donc :

0 = C+ p

C = -p = -(k₁a - k_-1b)/(k₁+ k_-1)

On peut simplifier l'expression d'avant en :

x = (k₁a-k_-1b/k₁+k_-1) * [1-e^{-(k₁+k_-1)t}]

Voilà, je pense avoir saisi le concept. Merci

[jeanne08]

Si tu n'es pas sur de bien trouver une solution particulière de l'équation avec second membre tu peux aussi utiliser, pour resoudre ce genre d'équation différentielle, la méthode de variation de la constante . La solution de l'équation sans second membre est C*exp -(k1+k-1)t et tu considères que C est fonction de t . Tu calcules alors dx/dt = (dC/dt -(k1+k-1))exp -(k1+k-1)t et tu remplaces dans l'équadif avec second membre. Il te reste alors dC/dt = (k1a-k-1 b )exp+(k1+k-1)t que tu intègres : C = (k1a-k-1b)/(k1+k-1) *exp(k1+k-1)t + D dans laquelle D est une constante qui se calcule en ecrivant que x(0) = 0

[invite1b80af85]

Peux-tu développer les calculs ? La méthode m'intéresse mais je retrouve pas le résultat.
Merci.

[jeanne08]

je reprends à " on remplace x et dx/dt dans l'équadif ":
(k1+k-1)C exp-(k1+k-1)t + dC/dt*exp-(k1+k-1)t -(k1+k-1) C exp-(k1+k-1)t = k1a-k-1b d'où dC/dt = (k1a-k-1b): (k1=k-1) /exp(-k1+k_1)t soit l'expression de dC/dt deja notée.
note 1/exp-a = exp a
on intègre et on trouve C indiquée avec une constante D soit C = (k1a-k-1b)/(k1+k-1) + D exp- (k1+k-1) t
en faisant t=0 x=0 on trouve la constante D

Je trouve cette methode dite de "variation de la constante" aussi facile que celle qui consiste à chercher une solution particulière de l'équation avec second membre .