Exercice application loi d'Antoine

[aite33]

bonjour, dans la continuité du cours sur les transferts de matières, j'aimerais résoudre et comprendre avec vous un exercice sur la loi d'antoine.
voici l'énoncé:
trouvez à l'aide des données ci dessous une équation de la courbe de vaporisation (pression de vapeur saturante en fonction de la température). les coefficients seront données avec le milimètre de mercure comme unité de pression.
donnée: température normale d'ébulition=341,9 K
température du point critique= 507,4 K
pression du point critique= 29,3 bar

alors je suppose qu'on utilise la loi d'antoine tout simplement parce que l'énoncé nous donne 3 donnée. malheureusement, dans le cours abordé, appart que la loi d'antoine s'exprime de la forme log10(ps)=a-b/(téta+c), je ne sais pas grand chose du coup l'énoncé devient dur à comprendre.... l'autre chose que je sais est que l'on utilise ses expressions car dans une courbe de saturation, à l'état liquide- vapeur, la pression est constante quelque soit le volume donc, pvaps=f(t)
connaitriez vous l'expression littérale de la loi d'antoine et pouvez vous m'aider à comprendre l'exercice ?
merci d'avance
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[aite33]

j'ai essayer d'effectuer quelques recherches mais je ne trouve toujours rien sur la loi d'antoine
pouvez vous m'aider ?
merci d'avance

[moco]

Bonjour,
L'équation d'Antoine est une équation à trois inconnues : a, b et c. Il te faut donc trois équations pour la résoudre.
La 1ère équation est au point critique : log 29.3 · 760 = a - b/(507 + c)
La 2ème équation est à T ambiante : log 760 = a + b/341.9 + c)
Il manque une troisième donnée, reliant la pression et la température. Quand tu la connaîtras, tu pourras résoudre ce système de trois équations à trois inconnues.

[aite33]

ah oui, bien vu pour le système à 3 équations, je n'avais pas vu le problème de cette manière.
pour l'équation 2, ne vous etes vous pas tromper de signe (un + à la place du moins)
et si je ne me trompe pas, pour la 3e expression, il devrait y avoir, une relation de la forme p(sat)=f(t)?
et donc si je ne me trompe pas enfin, le système d'équation sera de la forme
équation au point critique
équation à la température d'ébulition
équation dans les conditions initial où on devrait faire apparaître la température initial et la pression de vapeur saturante
est ce exact ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[aite33]

bonjour, j'ai essayer de chercher d'autres piste pour la résolution de l'exercice mais je n'ai rien trouver de nouveau
l'hypothèse formulé hier est elle correct ?
merci d'avance

[moco]

Bonjour,
Sans une troisième donnée, indiquant p à un certain T, tu ne peux pas aller plus loin. Il te faut donc t'arranger pour trouver la pression saturante à une autre température. Quand tu l'auras, tu introduira ces valeurs de p et T dans l'équation d'Antoine. Cela te fera la 3ème équation qui te manque, pour résoudre le système de trois équations à trois inconnues (a, b et c).
Concernant le signe + ou - de l'équation d'Antoine, je ne suis pas au fait. Choisis le signe que tu connais.

[aite33]

pour l'instant, la seul chose me venant en tête serait une équation de clapeyron qui pourrait faire apparaître ln(ps)=a-b/t
mais je ne sais pas si cela serait valable..... en plus, cela voudra dire qu'il faudrait prendre diverses valeur de t mais je ne sais pas si ce raisonnement est correct ou non ?

[petitmousse49]

Bonjour
Tes données fournissent en fait les coordonnées de deux points seulement de la courbe de saturation .Il te faut donc une équation qui ne fasse intervenir que deux constantes. Il y a bien la formule simplifiée de Rankine qui ne fait intervenir que deux constantes A et T_o :

Gros problème cependant : cette formule approchée se démontre en supposant que le volume massique de la vapeur est très supérieur au volume massique du liquide pour une température d'équilibre donnée ; ce qui évidemment est faux au voisinage du point critique puisque ces deux volumes massiques deviennent égaux dans le cas particulier de la température critique.
Personnellement, je ne connais pas de formule approchée performante au voisinage du point critique...

[aite33]

je pense que le système d'équation prise sera dépendant des températures choisis
si on récapitule, on a une équation au points critique p critique=f(t critique), une à la température normale d'ébulition (ambiante apparement) avec patm= f(t) donc la 3ème devra se faire je pense au point d'ébulition et sera de la forme ps=f(t eb)
la seul chose que je sais est que si l'on reprend la courbe de saturation, la pression de vapeur saturante correspondra à la pression à l'état liquide-vapeur, mais comme dans cet état la pression est constante quelque soit le volume on sera obliger de la déterminer grâce à la température d'ébulition. mais en dehors de cette fameuse équation de clapeyron citée plus haut, je ne vois pas grand chose reliant psat à t eb......

[petitmousse49]

Je complète mon message #8.
Je viens d'avoir la curiosité de tester la formule de Rankine dont j'ai parlé précédemment entre le point d'ébullition à pression normale et le point critique pour le seul corps pur dont je connais la courbe expérimentale : l'eau.
Sachant que, pour T=373,15K : Ps=1,0135bar et que les coordonnées du point critique sont : Tc=647,29K , Pc=220,9bar, l'équation de Rankine déjà écrite correspond à : A=4743,9 ; T_o = 372,76K

J'ai tracé dans le même repère la courbe expérimentale et le modèle de Rankine. On constate que les deux courbes sont pratiquement superposées. Pour plus de précision, j'ai représenté les variations en fonction de T de l'écart relatif entre les deux : l'écart relatif reste inférieur à 5%. Il est évidemment nul à 373,15K et à la température critique !
Evidemment, je n'ai pas testé la formule de Rankine sur le corps pur de ton problème mais je pense que tu peux considérer la méthode comme acceptable... À toi de faire les adaptations nécessaires...
rankine.png
erreur_rankine.png

[aite33]

étant donnée que les fichiers envoyé n'ont pas encore été validés par les admins, je ne peux pas encore voir ce que vous avez fait.....
en revanche, le problème de ce système d'équation résidera par rapport à la température T qu'on devrais je pense choisir
du coup, faut-il résoudre le système d'équation pour différentes température ?

[aite33]

et si je comprends bien, on doit déterminer a,b,c sur un intervalle de température car p vap sat= f(t), est ce exact ?

[petitmousse49]

Avec P°=1bar et une pression normale de 1,0135bar, la détermination des constantes A et To de l'équation de Rankine se fait en résolvant le système de deux équations à deux inconnues :





Tu devrais obtenir une valeur de To assez proche de 341,9K puisque la pression normale est très proche de 1bar.

Si tu connais la nature du corps pur étudié, tu pourras tester la validité de la formule de Rankine sur le site suivant :
https://webbook.nist.gov/chemistry/fluid/

et si je comprends bien, on doit déterminer a,b,c sur un intervalle de température car p vap sat= f(t), est ce exact ?

Tu n'as pas bien lu mon message précédent : puisque tu ne connais que deux points expérimentaux appartenant à la courbe Ps=f(T), tu dois abandonner l'idée d'utiliser la formule d'Antoine puisque celle-ci fait intervenir trois inconnues. En revanche, l'équation de Rankine ne fait intervenir que deux inconnues... Je t'ai montré qu'elle constitue une approximation acceptable pour l'eau avec T>373,15K. Il est vraisemblable que l'approximation soit aussi acceptable pour le corps pur que tu étudies...

[aite33]

oui effectivement j'avais commis une erreur. Donc, si je reprends le problème on a 2 équation: 1 dans les conditions normale et une au point critique. le but est de déterminer une équation de la courbe de vapeur saturante qui représentera l'évolution de pression saturante en fonction de la température
on connait la pression au point critique, la pression normale, la température au point critique et on aimerait déterminer A et T0
est ce cela ?
j'imagine qu'après cela tracer la courbe serait une bonne iddée ?

[petitmousse49]

Je crois que tu as compris maintenant. L'idéal serait de tracer la courbe Ps=f(T) et de la comparer à la courbe expérimentale. Tu trouveras peut-être la courbe expérimentale sur le site que je t'ai indiqué.

[aite33]

pas de soucis, je vais faire tout ceci et après, je vous communiquerais mes résultats
pensez vous qu'il sera possible de tracer la courbe à la main ou faut il forcement passer par tableur ?

[aite33]

NB: j'aimerais juste savoir ce qu'est devenue le ln (p0) ?

[moco]

Bonjour,
Ta substance est très probablement l'hexane, car l'hexane bout à 341.9 K à pression atmosphérique.
En cherchant dans les tables, on trouve que l'hexane bout à 219 K si P = 1 mm Hg, à 248 K si P = 10 mm Hg, et à 289 K si P = 100 mm Hg. Les logarithmes de ces trois pressions sont 0, 1 et 2.
Tu peux donc écrire trois équations avec ces trois valeurs :
0 = A - B/(219 + C) ....... (1)
1 = A - B/(248 + C) ....... (2)
2 = A - B/(289 + C) ....... (3)
Si tu soustrait (1) des deux suivantes, ces deux dernières deviennent :
1 = B/(219 + C) - B/(248 + C) ..... (4)
2 = B/(219 + C) - B/(289 + C) ..... (5)
On va tirer B de (4) et de (5), ou plus exactement 1/B

1/B = 1/(219 + C) - 1/(248 + C) = [(248 + C) - (219 + C)]/(219 + C)(248 + C) = 29/(219 + C)(248 + C) .... (6)
1/B = 70/(219 + C)(289 + C) .... (7)

Ces deux valeurs sont égales. Donc on égalise les B :
(219 + C)(248 + C)/29 = (219 + C)(289 + C)/70

Donc : (248 + C) = (289 + C)·29/70 = 0.414 C + 119.7
0.586 C = 119.7 - 248 = - 128.3.
Donc C = - 219. C'est bizarre de trouver un paramètre négatif.
Vérifie mes calculs !

Avec cette valeur de C, tu tires B de l'équation (6) ou (7) à choix, puis tu tires A de (1), (2) ou (3), à choix. Et tu obtiens ta formule d'Antoine.

[aite33]

oui, je vais vérifier vos calculs......le seul soucis est que l'on utilise pas les données de l'énoncé cela posera t il problème ?
oui c'est bien de l'hexane

[petitmousse49]

L'hexane est bien dans la base de données du site dont je t'ai fourni la référence.
Tu peux obtenir l'équation de Rankine comme je t'ai expliqué. À propos : P°=1bar, donc ln(P°)=...
Je tiens tout de même à écrire ln(Ps/P°) et pas seulement ln(Ps) même si P°=1bar pour l'homogénéité de la formule. En toute rigueur, on ne peut calculer le logarithme que de grandeur sans dimension (de dimension 1 pour être plus rigoureux).
Si tu n'as pas de tableur, tu peux te contenter de vérifier à l'aide d'une calculatrice que, pour quelques températures, la pression de saturation calculée par la formule de Rankine et la valeur fournie sur le site ont un écart relatif faible que tu peux calculer. Il suffit de cliquer sur un point de la courbe tracée sur le site pour faire apparaître ses coordonnées.

[moco]

Bonsoir,
Les suggestions de Petitmousse sont bien intéressantes. Mais elles n'ont rien à voir avec le problème. Alte33 veut résoudre l'équation d'Antoine, et pas celle de Rankine.

[aite33]

je suis un peu perdue............. pour l'instant, je maitrise peu ces notions mais je pense effectivement que l'équation choisie peut être quelconque car l'énoncé ne stipule rien mais comme je ne maîtrise pas beaucoup ce chapitre je n'aimerais pas trop m'avancer.....

[petitmousse49]

aite33 a écrit :

alors je suppose qu'on utilise la loi d'antoine

parce qu'il croyait à tort disposer de trois points expérimentaux. Tel que je comprends les choses, il s'agit d'obtenir une modélisation acceptable de la courbe Ps=f(T) entre les conditions normales et les conditions critiques. Il n'y a nullement obligation d'utiliser la relation empirique d'antoine. Mais bon : je n'ai pas l'énoncé intégral sous les yeux !

[aite33]

j'ai mis l'énoncé plus haut dans la discussion et rien n'oblige à utiliser forcement la loi d'antoine, on demande juste une équation de la forme psat=f(t) capable de montrer l'évolution de la pression de vapeur saturante en fonction de la température ...

[petitmousse49]

Dans ces conditions, il te reste à résoudre le système de deux équations à deux inconnues que je t'ai fourni dans mon message #13 puis à vérifier sur le site la validité du modèle.
Remarque, les mesures aux voisinages des conditions critiques sont difficiles. Toutes les tables thermodynamiques ne fournissent pas exactement les mêmes valeurs expérimentales.
Pour l'hexane, le site dont je t'ai fourni la référence indique :
température normale d'ébullition : 341,86K
conditions critiques : Tc=507,4K ; Pc=30,3bar

[aite33]

je vais donc tenter de résoudre le modéle, mais je ne comprends pas, pour p0, on est censé utiliser comme unité le mmHG, donc, ln(p0) n'est plus censé être égal à 0 ?

[petitmousse49]

Si tu veux exprimer Ps en mmHg, il suffit de poser P°=760mmHg ; cela ne changera rien aux valeurs des constantes A et To.
Étonnant tout de même puisque Pc est fourni en bar... Il va donc te falloir convertir Pc en mm Hg, ce qui n'est pas bien difficile.

[aite33]

pas de soucis, je vais faire l'exo et après vous communiquez les résultats
merci pour votre aide

[aite33]

je pense qu'il y'a un soucis dans la 1ère équation (j'espére me tromper)..... on a a 341,9 K ps=p0 et ça nous donne une équation de la forme A* (1/t0 - 1/T)=0
et au passage, ne faut il pas linéariser le système d'équation ?

[petitmousse49]

Cela conduit tout simplement à To=341,9K !
Attention tout de même, la pression normale vaut 1,0135bar et non 1bar, ce qui, selon moi conduit à une valeur de To proche de 341,9K mais pas rigoureusement égale à 341,9K.
Le système d'équation n'est pas linéaire et, si tu veux une précision acceptable, il ne faut pas linéariser...