mappings de Minkowski vers Euclide

[Mailou75]

##split en provenance du fil https://forums.futura-sciences.com/q...-dunivers.html on n'est plus vraiment dans le registre de la section pédagogique, mach3, pour la modération##

Salut,

Pas entièrement d’accord avec mach3. Le fait que pour un angle donné on ait :
Cosinus=B (beta, vitesse relative)
Sinus=1/Y (gamma, facteur de Lorentz)
n’est surement pas un hasard... cette histoire de cercle permet d’imager qu’au delà de 90° (c) la vitesse n’augmentera plus. (On peut retrouver toutes les égalités dans cette figure car «l’hyperbole est à la droite ce que la droite est au cercle»)

Certes ce n’est peut être pas le meilleur moyen d’aborder la relativité, mais je ne jetterai pas l’ensemble aux orties. Les vidéos que tu cites (idées froides) sont assez jolies mais pas toujours très claires... le seul moyen pour aller plus loin que le survol du sujet reste à mon avis de mettre les mains dedans : effectuer quelques calculs concrets (et si possible les traduire en géométrie car la relativité décrit avant tout la nature hyperbolique de la géométrie de l’espace temps).

Bon courage dans tes recherches

Mailou
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[mach3]

Salut,

Pas entièrement d’accord avec mach3. Le fait que pour un angle donné on ait :
Cosinus=B (beta, vitesse relative)
Sinus=1/Y (gamma, facteur de Lorentz)
n’est surement pas un hasard... cette histoire de cercle permet d’imager qu’au delà de 90° (c) la vitesse n’augmentera plus. (On peut retrouver toutes les égalités dans cette figure car «l’hyperbole est à la droite ce que la droite est au cercle»)

Il y a plusieurs mappings partiels de l'espace-temps de Minkowski vers l'espace euclidien à 4 dimensions (R^4).
Ici on a un mapping qui envoie les évènements de l'espace de Minkowski de coordonnées de Lorentz (t,x,y,z) avec t²-x²-y²-z²=T² positif ou nul et t positif ou nul (cône futur, genre temps+genre nul) vers les points de R^4 de coordonnées cartésiennes (T,x,y,z) avec T positif ou nul (on a t²=x²+y²+z²+T², ce qui est bien la métrique d'Euclide si T,x,y,z sont des coordonnées cartésiennes). On note que le genre nul occupe alors le plan T=0 et que le genre temps occupe tout ce qui est en T>0, rien ne mappant vers T<0 (le mapping se fait du cône vers un demi-espace).
Un autre mapping envoie les évènements de l'espace de Minkowski de coordonnées de Lorentz (t,x,y,z) avec t²-x²-y²-z²=T² positif ou nul et t négatif ou nul (cône passé, genre temps+genre nul) vers les points de R^4 de coordonnées cartésiennes (T,x,y,z) avec T négatif ou nul. On note que le genre nul occupe alors le plan T=0 et que le genre temps occupe tout ce qui est en T<0, rien ne mappant vers T>0 (le mapping se fait du cône vers un demi-espace).

Il y a un troisième mapping des évènements de l'espace de Minkowski un peu plus tordu qui renvoie l'ailleurs (genre espace uniquement) vers R^4 moins une droite. Il n'est pas super facile à expliquer mais j'essaie (pas sûr de moi). On prend un évènement de l'ailleurs, (t,x,y,z) avec t²-x²-y²-z²<0. On définit pour cet évènement s_x=signe(x)sqrt(x²-t²/3), s_y=signe(yx)sqrt(y²-t²/3) et s_z=signe(z)sqrt(z²-t²/3), tel que s²=s_x²+s_y²+s_z²=x²+y²+z²-t². On peut mapper cet évènement de l'espace-temps de Minkowski (t,x,y,z) sur un point de R^4 (t,s_x,s_y,s_z), ce qui donne t²+s_x²+s_y²+s_z²=x²+y²+z² : une sphère statique (un cylindre dont l'axe est le temps en 2+1) est mappée sur une 3-sphère (une sphère en 3D) et un hyperboloide de révolution autour de l'axe t est mappé sur un cylindre sphérique d'axe t.

On ne peut pas effectuer ces 3 mapping en même temps sur R^4 : les images vont se chevaucher salement, des lignes continues dans l'espace de Minkowski seront représentées par des lignes discontinues, et inversement, des lignes de R^4 vont correspondre à plusieurs lignes discontinues dans l'espace-temps de Minkowski. Ou alors, si on fait les trois en même temps, c'est sur 3 instances différentes de R^4, 3 cartes différentes, avec identification des bords entre elles.

m@ch3

[JPL]

Tu t’écartes quand même un peu d’une réponse à une question de base ! D’accord tu réponds à Mailou...

[Mailou75]

Salut,

Rien compris... C’est le genre de truc qui peut être parlant si on le voit dessiné mais là c’est du chinois, désolé. De toute façon cette représentation (en cercle) est très difficile à manipuler, je n’ai jamais réussi à changer de repère avec. Elle me vaut un hors charte quand je l’applique à la cosmo et une abscence de réponse quand je l’applique aux trous noir. Trop ésotérique (même si dans le fond je suis intimement persuadé que c’est physiquement plus juste qu’un espace temps de Minko). Bref, rien que de dire ceci est hors charte donc je m’abstiens la plupart du temps... J’intervenais juste pour dire que c’est mathématiquement/geometriquement équivalent et que tu portes un jugement de valeur, non dissimulé puisque tu as dit «je n’aime pas...»

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

De toute façon cette représentation (en cercle) est très difficile à manipuler, je n’ai jamais réussi à changer de repère avec.

normal, ce n'est pas fait pour, les symétries de R^4 ne coïncident pas avec les symétries de l'espace-temps.

(même si dans le fond je suis intimement persuadé que c’est physiquement plus juste qu’un espace temps de Minko) J’intervenais juste pour dire que c’est mathématiquement/geometriquement équivalent et que tu portes un jugement de valeur, non dissimulé puisque tu as dit «je n’aime pas...»

non, ce n'est pas globalement équivalent, l'équivalence n'est que d'un morceau de l'espace-temps vers un morceau de R^4 et en plus on perd des symétries en route. Ca ne peut pas être physiquement plus juste que l'espace-temps de Minkowski.

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

normal, ce n'est pas fait pour, les symétries de R^4 ne coïncident pas avec les symétries de l'espace-temps

Effectivement si un cône de Minko devient une demi-sphère en Trigo, les mettre "pointe à pointe" (cone passé et cone futur) va faire disparaitre l'ailleurs. Très honnêtement je n'ai jamais poussé l'analogie car, comme déjà dit, c'est pas facile à manipuler la Trigo, étrangement…

Mais quel est le but de ce fil que tu as crée en mon nom ?
Si tu veux je j'essaies de représenter ce que tu décris au message 2, je ne suis pas contre mais il va falloir m'aiguiller avec quelques croquis pour que je comprenne ce que tu racontes. En l'état j'ai du mal.

(Et tu sais que je suis actuellement sur le sujet inachevé des vitesses "non nulles à l'infini" + tout le retard que j'ai dans nos discussions en off avec "tu-sais-qui" donc ne charge pas trop la mule, après je me trouve devant des montagnes et je ne fais plus rien, j'me connais…)

Ca ne peut pas être physiquement plus juste que l'espace-temps de Minkowski.

Tout dépend de l'échelle considérée, l'absence d'ailleurs n'est pas un problème quand la sphère représente l'espace 2D en cosmo. Bon voilà que tu me pousses vers le hors charte… je m'auto-bâillonne.

A plus

Mailou

[mach3]

Mais quel est le but de ce fil que tu as crée en mon nom ?

aucun, c'est juste que suite à la remarque de JPL, j'ai jugé que ton message (qui entame une dérive dans des interprétations personnelles et non consensuelles) et la réponse que j'y ai faite (un peu technique) n'ont pas leur place dans le forum pédagogie. Le sujet n'étant pas sans intérêt, j'ai déplacé en discussions plutot que de simplement supprimer.

Si tu veux je j'essaies de représenter ce que tu décris au message 2, je ne suis pas contre mais il va falloir m'aiguiller avec quelques croquis pour que je comprenne ce que tu racontes. En l'état j'ai du mal.

moi je ne veux rien, mais si toi tu as envie...

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

moi je ne veux rien, mais si toi tu as envie...

Oui, je crois que cette version géométrique (que je défends) doit présenter des avantages sous certains aspects. J’ai un tas de trucs a régler avant mais on pourra y revenir, avec plaisir, d’ici quelque temps

A bientot

Mailou