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Cohérence sur les unités de Omega_k dans les équations de Friedmann



  1. #1
    fabio123

    Cohérence sur les unités de Omega_k dans les équations de Friedmann


    ------

    Bonjour,

    il y a quelque chose qui m'a toujours gêné dans les équations de Friedmann, concernant les unités du dernier terme dans l'équation suivante (issue du livre initiation à la cosmologie de Lachieze-Rey) :



    avec le facteur d'échelle.

    En prenant cette équation à t=t0 (aujourd'hui), on peut écrire :



    et du coup, on définit : avec la somme de tous les Omega_i qui vaut donc 1.

    1) Mais si est sans unités, comment le justifier. En effet, au numérateur on a un nombre sans dimension "k" et au dénominateur, on a :

    la constante de Hubble a une unité de seconde^-1 et quelle est l'unité de : une longueur ?

    2) Si c'est le cas, je préfèrerais écrire pour Omega_k : , car alors, ça rendrait Omega_k adimensionnel si l'unité du facteur d'échelle R(t) a la dimension d'une longueur.

    3) Mais je vois souvent la notation pour le facteur d'échelle qui serait défini par tout en gardant la même forme pour l'équation de Friemann ci-dessus, à savoir :



    Mais là aussi, le membre de gauche a une unité de seconde^-2 et à droite est sans dimension si j'utilise le facteur d'échelle normalisé.

    Si j'utilise le facteur dans ce Omega_k, ça n'arrange rien à l'affaire car le facteur d'échelle a(t) est normalisé.

    4) Tout ça pour vous demander quelle forme d'équation de Friedmann est à utiliser et cohérente pour avoir un Omega_k adimensionnel ?

    5) Souvent, je vois les distances physiques comme la distance diamètre angulaire définie par : . Mais là aussi, quel est le facteur qui a la dimension d'une longueur : , ou ?

    Merci pour vos précisions

    -----

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  3. #2
    yves95210

    Re : Cohérence sur les unités de Omega_k dans les équations de Friedmann

    Bonjour,

    Il manque un facteur c2 dans les termes Omega_Lambda et Omega_k (ou une note précisant qu'on a choisi un système d'unité dans lequel c=1).

    Et le facteur d'échelle R a la dimension d'une longueur. Dans le cas k=0 on pourrait le choisir sans dimension et donner à la coordonnée r la dimension d'une longueur. Mais les cas k=+1 ou -1 imposent de choisir la coordonnée r sans dimension à cause du dénominateur (1-kr2) du terme en dr2 de la métrique.

    Avec tout ça, c'est homogène, et Omega_k prend bien la forme que tu indiques dans ton point 2.
    Dernière modification par yves95210 ; 15/09/2020 à 16h15.

  4. #3
    fabio123

    Re : Cohérence sur les unités de Omega_k dans les équations de Friedmann

    Merci yves pour ces info.

    Juste une dernière chose :

    3) Mais je vois souvent la notation pour le facteur d'échelle qui serait défini par tout en gardant la même forme pour l'équation de Friemann ci-dessus, à savoir :



    Mais là aussi, le membre de gauche a une unité de seconde^-2 et à droite est sans dimension si j'utilise le facteur d'échelle normalisé.

    Si j'utilise le facteur dans ce Omega_k, ça n'arrange rien à l'affaire car le facteur d'échelle a(t) est normalisé.
    Si je prends le facteurd'échelle normalisé , alors je ne peux plus retrouver la formule que j'ai mis en début de post, c'est-à-dire :

    .

    En effet, en utilisant le facteur d'échelle normalisé, ça donnerait :

    .

    .

    C'est ce facteur qui met le bazard dans le terme terme du membre de droite (Omega_k).

    Quelle est la forme correcte de cette équation de Friedmann , l'équation (avec facteur d'échelle R(t)) OU alors (avec le facteur d'échelle normalisé a(t)) ?

    Cordialement

  5. #4
    fabio123

    Re : Cohérence sur les unités de Omega_k dans les équations de Friedmann

    excusez moi pour l'oubli du facteur c^2 tout en bas du dernier post :

    Merci yves pour ces info.

    Juste une dernière chose :

    3) Mais je vois souvent la notation pour le facteur d'échelle qui serait défini par tout en gardant la même forme pour l'équation de Friemann ci-dessus, à savoir :



    Mais là aussi, le membre de gauche a une unité de seconde^-2 et à droite est sans dimension si j'utilise le facteur d'échelle normalisé.

    Si j'utilise le facteur dans ce Omega_k, ça n'arrange rien à l'affaire car le facteur d'échelle a(t) est normalisé.
    Si je prends le facteurd'échelle normalisé , alors je ne peux plus retrouver la formule que j'ai mis en début de post, c'est-à-dire :

    .

    En effet, en utilisant le facteur d'échelle normalisé, ça donnerait :

    .

    .

    C'est ce facteur qui met le bazard dans le terme terme du membre de droite (Omega_k).

    Quelle est la forme correcte de cette équation de Friedmann , l'équation (avec facteur d'échelle R(t)) OU alors (avec le facteur d'échelle normalisé a(t)) ?

    Cordialement

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    yves95210

    Re : Cohérence sur les unités de Omega_k dans les équations de Friedmann

    Salut,

    La forme (1) est correcte et c'est habituellement comme ça qu'on présente l'équation de Friedmann.

    Mais la forme (2) est correcte aussi... Ton facteur d'échelle étant normalisé, il vaut 1 à t=t0, et tu retrouves donc bien

    sans dimension.

    PS : au passage, essaie d'écrire les dérivées par rapport au temps plutôt que . Ici ça ne prête pas à confusion, du moins quand on connaît les équations, mais ailleurs ça peut être gênant.

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