Cohérence sur les unités de Omega_k dans les équations de Friedmann

[fabio123]

Bonjour,

il y a quelque chose qui m'a toujours gêné dans les équations de Friedmann, concernant les unités du dernier terme dans l'équation suivante (issue du livre initiation à la cosmologie de Lachieze-Rey) :



avec le facteur d'échelle.

En prenant cette équation à t=t0 (aujourd'hui), on peut écrire :



et du coup, on définit : avec la somme de tous les Omega_i qui vaut donc 1.

1) Mais si est sans unités, comment le justifier. En effet, au numérateur on a un nombre sans dimension "k" et au dénominateur, on a :

la constante de Hubble a une unité de seconde^-1 et quelle est l'unité de : une longueur ?

2) Si c'est le cas, je préfèrerais écrire pour Omega_k : , car alors, ça rendrait Omega_k adimensionnel si l'unité du facteur d'échelle R(t) a la dimension d'une longueur.

3) Mais je vois souvent la notation pour le facteur d'échelle qui serait défini par tout en gardant la même forme pour l'équation de Friemann ci-dessus, à savoir :



Mais là aussi, le membre de gauche a une unité de seconde^-2 et à droite est sans dimension si j'utilise le facteur d'échelle normalisé.

Si j'utilise le facteur dans ce Omega_k, ça n'arrange rien à l'affaire car le facteur d'échelle a(t) est normalisé.

4) Tout ça pour vous demander quelle forme d'équation de Friedmann est à utiliser et cohérente pour avoir un Omega_k adimensionnel ?

5) Souvent, je vois les distances physiques comme la distance diamètre angulaire définie par : . Mais là aussi, quel est le facteur qui a la dimension d'une longueur : , ou ?

Merci pour vos précisions
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[yves95210]

Bonjour,

Il manque un facteur c² dans les termes Omega_Lambda et Omega_k (ou une note précisant qu'on a choisi un système d'unité dans lequel c=1).

Et le facteur d'échelle R a la dimension d'une longueur. Dans le cas k=0 on pourrait le choisir sans dimension et donner à la coordonnée r la dimension d'une longueur. Mais les cas k=+1 ou -1 imposent de choisir la coordonnée r sans dimension à cause du dénominateur (1-kr²) du terme en dr² de la métrique.

Avec tout ça, c'est homogène, et Omega_k prend bien la forme que tu indiques dans ton point 2.

[fabio123]

Merci yves pour ces info.

Juste une dernière chose :

3) Mais je vois souvent la notation pour le facteur d'échelle qui serait défini par tout en gardant la même forme pour l'équation de Friemann ci-dessus, à savoir :



Mais là aussi, le membre de gauche a une unité de seconde^-2 et à droite est sans dimension si j'utilise le facteur d'échelle normalisé.

Si j'utilise le facteur dans ce Omega_k, ça n'arrange rien à l'affaire car le facteur d'échelle a(t) est normalisé.

Si je prends le facteurd'échelle normalisé , alors je ne peux plus retrouver la formule que j'ai mis en début de post, c'est-à-dire :

.

En effet, en utilisant le facteur d'échelle normalisé, ça donnerait :

.

.

C'est ce facteur qui met le bazard dans le terme terme du membre de droite (Omega_k).

Quelle est la forme correcte de cette équation de Friedmann , l'équation (avec facteur d'échelle R(t)) OU alors (avec le facteur d'échelle normalisé a(t)) ?

Cordialement

[fabio123]

excusez moi pour l'oubli du facteur c^2 tout en bas du dernier post :

Merci yves pour ces info.

Juste une dernière chose :

3) Mais je vois souvent la notation pour le facteur d'échelle qui serait défini par tout en gardant la même forme pour l'équation de Friemann ci-dessus, à savoir :



Mais là aussi, le membre de gauche a une unité de seconde^-2 et à droite est sans dimension si j'utilise le facteur d'échelle normalisé.

Si j'utilise le facteur dans ce Omega_k, ça n'arrange rien à l'affaire car le facteur d'échelle a(t) est normalisé.

Si je prends le facteurd'échelle normalisé , alors je ne peux plus retrouver la formule que j'ai mis en début de post, c'est-à-dire :

.

En effet, en utilisant le facteur d'échelle normalisé, ça donnerait :

.

.

C'est ce facteur qui met le bazard dans le terme terme du membre de droite (Omega_k).

Quelle est la forme correcte de cette équation de Friedmann , l'équation (avec facteur d'échelle R(t)) OU alors (avec le facteur d'échelle normalisé a(t)) ?

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[yves95210]

Salut,

La forme (1) est correcte et c'est habituellement comme ça qu'on présente l'équation de Friedmann.

Mais la forme (2) est correcte aussi... Ton facteur d'échelle étant normalisé, il vaut 1 à t=t₀, et tu retrouves donc bien

sans dimension.

PS : au passage, essaie d'écrire les dérivées par rapport au temps plutôt que . Ici ça ne prête pas à confusion, du moins quand on connaît les équations, mais ailleurs ça peut être gênant.